2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 第一章 集合與函數(shù)概念 1　聚焦“集合”雙基 一、透析“集合”的基礎(chǔ)知識 (一)集合的含義 1．集合的含義是一個(gè)描述性的，我們可以理解為一些對象組成的總體就構(gòu)成集合，其中構(gòu)成集合的每一個(gè)對象稱為集合的元素．所以只要把對象看成整體就可以構(gòu)成集合． 2．集合的元素的三個(gè)特性 (1)確定性：對于一個(gè)集合中每一個(gè)元素都可以判斷該元素是不是集合中的元素．如“2012年中國效益較好的大型企業(yè)”就不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤?012年中國效益較好的大型企業(yè)”中的對象是不確定的，效益較好和大型企業(yè)都沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，無法判斷一些企業(yè)是否屬于這個(gè)范圍． (2)互異性：互異性是指集合中的元素必須是

2、互不相同的．如集合{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，而不能寫成{－2，－2}． (3)無序性：對于一個(gè)集合中的元素?zé)o先后順序，只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素一樣，這兩個(gè)集合就是相等的． (二)集合的表示 1．列舉法：列舉法是將集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合．用列舉法表示集合時(shí)，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合{1,2}與{(1,2)}是兩個(gè)完全不同的集合，{1,2}是由1,2這兩個(gè)元素所構(gòu)成的集合，{(1,2)}是以一個(gè)實(shí)數(shù)對(1,2)為元素構(gòu)成的集合．另外，用列舉法表示由許多元素或無限個(gè)元素組成的集合時(shí)，要注意充分體現(xiàn)元素間的規(guī)律，在花括號內(nèi)列舉出部

3、分元素，其余的元素用省略號表示．例如：所有正整數(shù)構(gòu)成的集合可記為{1,2,3,4，…，n，…}． 2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征來表示集合的方法．具體可這樣表示：在花括號“{　}”內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素(代表元素)的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式為{x∈A|p(x)}，豎線前的x就是代表元素．對于描述法中的代表元素應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： (1)應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4}不能寫成{2≤x≤4}，因?yàn)檫@樣少了代表元素． (2)豎線后邊應(yīng)對代表元素的取值有準(zhǔn)確的表示，比如下面的表示方法是錯(cuò)誤的：{

4、(x，y)|(－1,0)}，事實(shí)上，它應(yīng)表示為{(x，y)|x＝－1，y＝0}，或表示為{(－1,0)}． (三)集合間的基本關(guān)系 1．空集是不含任何元素的集合，它雖然不含任何元素，但這樣的集合是客觀存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合問題時(shí)，空集還是很活躍的，一不小心就會出錯(cuò)．如滿足B?A，就要分B＝?和B≠?進(jìn)行研究． 2．子集可以理解為集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則A是B的子集．比如任何一個(gè)整數(shù)都是有理數(shù)，也就是說整數(shù)集是有理數(shù)集的子集，可以表示為：Z?Q.但不要理解為A是B中部分元素組成的集合，因?yàn)锳＝?時(shí)，A也是B的子集，還有A＝

5、B時(shí)，A也是B的子集． 3．真子集可以從兩方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A.如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5,6}，由于6∈B，但6?A，且有A?B，則集合A是集合B的真子集． 4．若兩個(gè)集合互相包含，即A?B，且A?B，則稱集合A與集合B相等，記作A＝B. (四)集合的基本運(yùn)算 1．并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B. 符號表示：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． 相關(guān)結(jié)論：A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A. A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起構(gòu)成的

6、集合，要注意集合間元素的互異性，對于既屬于集合A又屬于集合B的元素只能出現(xiàn)一次． 2．交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B. 符號表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 相關(guān)結(jié)論：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A. A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，當(dāng)集合A，B沒有公共元素時(shí)，不能說集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?. 3．補(bǔ)集：由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補(bǔ)集，表示為?UA，實(shí)際上?UA＝{x|x∈U，且x?A}．補(bǔ)集的概念是在全集中定義的，是由屬于全集U但不屬于集合A的所有元素構(gòu)成，集合A和它

7、的補(bǔ)集?UA都是集合U的子集，且A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，全集不同，則補(bǔ)集也不同． 二、盤點(diǎn)解集合問題的基本方法 (一)列舉法 對于一些有明顯特征的集合，可以將集合中的元素一一列舉出來． 例1 設(shè)集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍數(shù)}，則M∩N＝________. 解析　因?yàn)镹＝{x|x是2的倍數(shù)}＝{…，0,2,4,6,8，…}，所以M∩N＝{2,4,8}． 答案　{2,4,8} 評注　對于元素易于列舉的集合，通?？梢灾苯恿信e． (二)結(jié)構(gòu)相似法 對于用描述法給出的若干集合，判斷它們的關(guān)系時(shí)，可以把它們各自的屬性化為結(jié)構(gòu)相似的表達(dá)式．

8、例2 若集合A＝{x|x＝m＋，m∈Z}，B＝{x|x＝－，n∈Z}，C＝{x|x＝＋，p∈Z}，則A，B，C之間的關(guān)系是________． 解析　集合A中，x＝＋，m∈Z；集合B中，x＝＋，n∈Z；集合C中，x＝＋，p∈Z.不難判斷AB＝C. 答案　AB＝C (三)數(shù)軸法 當(dāng)集合中的元素與不等式相關(guān)時(shí)，可借助于數(shù)軸進(jìn)行運(yùn)算具有簡明的直觀效果． 例3 設(shè)集合A＝{x|－1＜x－a＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________． 解析　由－1＜x－a＜1，得a－1＜x＜a＋1. 如圖，可知a＋1≤1或a－1≥5

9、.所以a≤0，或a≥6. 答案　{a|a≤0或a≥6} 評注　不等式型集合的交集、并集通?？梢越柚鷶?shù)軸來解，解題時(shí)注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意． (四)Venn圖法 借助Venn圖的直觀顯示，?？墒辜蠁栴}化難為易． 例4 已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝________. 解析　如圖，因?yàn)锳∩B＝{3}，所以3∈A.又因?yàn)??UB)∩A＝{9}，所以9∈A. 答案　{3,9} 2　集合的基本關(guān)系與運(yùn)算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、子集——集合問題的核心 一般地，對

10、于兩個(gè)集合A與B，如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.記作：A?B或B?A.當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作A?B或B?A. 例1 設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－a)·(x2－1)＝0}，當(dāng)a為何值時(shí)，A?B? 分析　集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，為了比較A和B的關(guān)系，先考慮將A和B進(jìn)行化簡． 解　易得集合A＝{1,2}． 當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，B＝{－1,1}， 此時(shí)A?B； 當(dāng)a≠1且a≠－1時(shí)，B＝{－1,1，a}． 要使A?B，則a＝2. 故當(dāng)a＝2時(shí)，

11、A?B. 二、交集——兩集合間的“且運(yùn)算” 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集，記為A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，其中關(guān)鍵詞為“且”． 例2 設(shè)全集U＝Z，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2－x＝0}，則A∩(?UB)＝________. 分析　先求出集合B，再按集合相關(guān)運(yùn)算法則求解． 解析　因?yàn)锽＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}， 所以A∩(?UB)＝{－1,2}． 答案　{－1,2} 三、并集——兩集合間的“或運(yùn)算” 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B的并集，記為A∪B，即A∪B＝

12、{x|x∈A，或x∈B}，其中關(guān)鍵詞為“或”． 例3 若全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＝y(tǒng)＋1，y∈A}，求A∪B. 分析　欲求A∪B，先對B進(jìn)行化簡． 解　因?yàn)閥∈A，即－1＜y＜2，且x＝y(tǒng)＋1， 所以0＜x＜3，即B＝{x|0＜x＜3}． 所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}． 四、補(bǔ)集——全集對子集的“差運(yùn)算” 一般地，設(shè)U是一個(gè)集合，A是U的一個(gè)子集，即A?U，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做子集A在全集U中的補(bǔ)集，記為?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}，可以理解為全集對子集的差集． 例4 設(shè)全集U＝{2,9，a2＋2a－3}，集合

13、A＝{|2a－1|,2}，且?UA＝{5}，求實(shí)數(shù)a的值． 解　因?yàn)閁＝{2,9，a2＋2a－3}，?UA＝{5}， 所以a2＋2a－3＝5.解得a＝2或a＝－4. 若a＝2，則U＝{2,9,5}，A＝{2,3}，不合題意； 若a＝－4，則U＝{2,9,5}，A＝{2,9}，符合題意． 故a＝－4. 五、等集——一個(gè)集合的兩種表示 例5 已知集合M＝{2，a，b}與集合N＝{2a,2，b2}是同一個(gè)集合，求a、b. 分析　此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的性質(zhì)建立關(guān)系式． 解　兩個(gè)集合為同一個(gè)集合，則這兩個(gè)集合的元素完全相同且與元素的順序無關(guān)，于是 或 解

14、之，得或或 又當(dāng)a＝0，b＝0時(shí)，不滿足互異性，應(yīng)該舍去． 因此或 評注　解決集合相等的問題，易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)和修正. 3　集合中的數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過對圖形的認(rèn)識、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問題化難為易、化抽象為具體．通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題．集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法． 例1 已知全集為U，U＝{a|a∈N*且a≤9}，且(?UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,8}

15、，試確定集合A，B. 分析　若能將題設(shè)條件中所給出的各個(gè)集合中的元素，都能在Venn圖上表示出來，那么所要確定的集合A，B中的元素，將會從Venn圖上一目了然的得出． 解　將已知條件中的集合 U＝{a|a∈N*且a≤9}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， (?UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}， (?UA)∩(?UB)＝{4,6,8}，在Venn圖上表示出來，如圖所示． 由Venn圖可以直觀的得出 A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,9}． 例2 某學(xué)校藝術(shù)班有100名學(xué)生，其中學(xué)舞蹈的學(xué)生有67人，學(xué)唱歌的學(xué)生有45人，而學(xué)樂器的學(xué)生既不能學(xué)舞蹈，又不能學(xué)唱

16、歌，人數(shù)有21人，那么同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的學(xué)生有多少人？ 解　設(shè)只學(xué)舞蹈的學(xué)生有x人，只學(xué)唱歌的學(xué)生有y人，既學(xué)舞蹈又學(xué)唱歌的學(xué)生有z人，Venn圖如圖所示． 解得 所以同時(shí)學(xué)舞蹈和唱歌的有33人． 例3 已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a

17、利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解. 4　集合易錯(cuò)點(diǎn)剖析 一、符號意義不清致錯(cuò) 例1 已知集合X＝{0,1}，Y＝{x|x?X}，那么下列說法正確的是________．(填序號) ①X是Y的子集； ②X是Y的真子集； ③Y是X的真子集； ④X是Y的元素． 錯(cuò)解　② 剖析　集合中符號意義必須清楚． 正解　因?yàn)閅＝{x|x?X} ＝{{?}，{0}，{1}，{0,1}}， 所以X∈Y.故答案為④. 二、代表元素意義不清致錯(cuò) 例2 集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，則A∩B＝________

18、. 錯(cuò)解　由得或 剖析　導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒有弄清集合中元素的意義，A中的元素是實(shí)數(shù)y，而B中的元素是實(shí)數(shù)對(x，y)，也就是說，集合A為數(shù)集，集合B為點(diǎn)集，因此A、B兩個(gè)集合中沒有公共元素，從而這兩個(gè)集合的交集為空集． 三、忽視集合元素的互異性致錯(cuò) 例3 已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B. 錯(cuò)解　由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7， 解得a＝1或a＝－5. 當(dāng)a＝1時(shí)，集合B＝{0,7,3,1}； 當(dāng)a＝－5時(shí)，集合B＝{0,7,3}． 綜上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．

19、 剖析　由題設(shè)條件知集合B中有四個(gè)元素，集合中出現(xiàn)了相同的元素，與集合中元素的互異性矛盾，導(dǎo)致錯(cuò)解． 正解　應(yīng)將當(dāng)a＝－5時(shí)的集合B＝{0,7,3}舍去， 故集合B＝{0,7,3,1}． 四、忽視空集致錯(cuò) 例4 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 錯(cuò)解　由B?A，得解得2≤m≤3. 剖析　上述解法是初學(xué)者解此類問題的典型錯(cuò)誤解法． 原因是考慮不全面，由集合B的含義及B?A，忽略了集合為?的可能而漏掉解．因此題目若出現(xiàn)包含關(guān)系時(shí)，應(yīng)首先想到有沒有出現(xiàn)?的可能． 正解　A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A. ①若B＝?，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時(shí)有B?A； ②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2， 由B?A，得，解得2≤m≤3. 由①②得m≤3. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}． 8