2017-2018版高中數學 第一章 計數原理 4 簡單計數問題學案 北師大版選修2-3

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1、 4 簡單計數問題 學習目標　1.進一步理解和掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理.2.進一步深化排列與組合的概念.3.能綜合運用排列、組合解決計數問題． 知識點一　兩個計數原理 1．分類加法計數原理(加法原理) 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝__________種方法． 2．分步乘法計數原理(乘法原理) 完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝____________

2、種方法． 3．分類加法計數原理與分步乘法計數原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數．它們的區(qū)別在于：分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成. 知識點二　排列 1．排列 從n個________的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的________排成一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列． 2．排列數 排列數定義及表示 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作________

3、____ 排列數公式 乘積式 A＝____________ 階乘式 A＝________________________ 排列數的性質 A＝________；A＝________，0！＝1 知識點三　組合 1．組合 一般地，從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素為一組，叫作從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合． 2．組合數 (1)組合數定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的____________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號________表示． (2)組合數公式 組合數公式 乘積形式 C＝＝______________

4、 階乘形式 C＝ 備注 n，m∈N＋，且m≤n，規(guī)定C＝________ 特別提醒：1.排列組合綜合題的一般解法 一般堅持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時注意按元素性質分類或按事件的發(fā)生過程分類． 2．解決有限制條件的排列、組合問題的一般策略 (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略． (2)正難則反，等價轉化的策略． (3)相鄰問題捆綁處理的策略． (4)不相鄰問題插空處理的策略． (5)定序問題除法處理的策略． (6)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略． (7)平均分組問題，除法處理的策略． (8)構造模型的策略． 類型一　兩個計數原理的應用 命題角

5、度1　“類中有步”的計數問題 例1　電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有________種不同的結果． 反思與感悟　用流程圖描述計數問題，類中有步的情形如圖所示： 具體意義如下： 從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數如圖所示． 所以，完成這件事的方法數為m1m2m3＋m4m5， “類”與“步”可進一步地理解為： “類”用“＋”號連接，“步”用“×”號連接

6、，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標志一件事的完成，“步”缺一不可． 跟蹤訓練1　現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(　　) A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 命題角度2　“步中有類”的計數問題 例2　有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測一人，則不同的安排方式共有________種．(用數字作答) 反思與感

7、悟　用流程圖描述計數問題，步中有類的情形如圖所示： 從計數的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡單地記為A→D. 完成A→D這件事，需要經歷三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C這步又分為三類，這就是步中有類． 其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相應步的方法數． 完成A→D這件事的方法數為m1(m2＋m3＋m4)m5. 以上給出了處理步中有類問題的一般方法． 跟蹤訓練2　如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式共有(　　) A．11 B．12 C．20 D．21 類型二　排列與組合的綜合應用 命題角度1　不同元素的排列、組合問題 例3　有4張分別標有數

8、字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標的數字之和等于10，則不同的排法共有多少種？ 　 　 　 反思與感悟　(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列． (2)解排列、組合綜合問題時的注意點 ①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題． ②對于有多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法． 跟蹤訓練3　從

9、1,3,5,7,9中任取3個數字，從0,2,4,6,8中任取2個數字，一共可以組成多少個沒有重復數字的五位偶數？ 　 　 　 命題角度2　含有相同元素的排列、組合問題 例4　今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加區(qū)分，將這9個球排成一列，有________種不同的方法． 　 　 反思與感悟　針對對部分元素相同的n個不同元素進行排列的問題，有兩種解決方法：(1)先把這些元素看作全不相同的元素進行排列，再設法消去相同元素的順序．(2)從位置進行分析，因為位置全不相同，可以分別給相同的每一類元素找位置． 跟蹤訓練4　為減輕學生經濟負擔且又能滿足學生求知要求，某班級

10、利用班費買了4本相同的數學資料書、3本相同的外語資料書、2本相同的物理資料書作為班級圖書供同學們學習使用．現(xiàn)有8人去借閱圖書，每人只能借閱一本，則有多少種借閱方法？ 　 　 　 　 1．李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙．“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳的不同的選擇方式有(　　) A．24種 B．14種 C．10種 D．9種 2．設4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動的可能結果有a種，這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結果有b種，則(a，b)為(　　) A．(3

11、4,34) B．(43,34) C．(34,43) D．(A，A) 3．三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為凹數，如524,746等都是凹數，那么，各個數位上無重復數字的三位凹數有(　　) A．72個 B．120個 C．240個 D．360個 4．某電視臺連續(xù)播放5個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有________種． 5．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，則滿足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的

12、數組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個數為________． 1．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個基本計數原理作最后處理． 2．對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏． 3．對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數的重復或遺漏． 答案精析 知識梳理 知識點一 1．m1＋m2＋…＋mn 2．m1×m2×…×mn 知識點二 1．不同　順序 2．A　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　(n，m∈N＋，m≤n)　n！　1 知識點三 2

13、．(1)所有組合的個數　C (2)　1 題型探究 例1　28 800 解析　在甲箱或乙箱中抽取幸運之星，決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：(1)幸運之星在甲箱中抽，先確定幸運之星，再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，有30×29×20＝17 400(種)結果；(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(種)結果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(種)不同結果． 跟蹤訓練1　D 例2　264 跟蹤訓練2　D 例3　解　分三類： 第一類，當取出的4張卡片分別標有數字1,2,3,4時，不同的排法有C·C·C·C·A種． 第二類，當取出

14、的4張卡片分別標有數字1,1,4,4時，不同的排法有C·C·A種． 第三類，當取出的4張卡片分別標有數字2,2,3,3時，不同的排法有C·C·A種． 故滿足題意的所有不同的排法種數為C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432. 跟蹤訓練3　解　(1)五位數中不含數字0. 第1步，選出5個數字，共有CC種選法． 第2步，排成偶數——先排末位數，有A種排法，再排其他四位數字，有A種排法． 所以N1＝C·C·A·A. (2)五位數中含有數字0. 第1步，選出5個數字，共有C·C種選法． 第2步，排順序又可分為兩小類： ①末位排0，有A·A種排列方法； ②末位不排0.這時末位數有C

15、種選法，而因為0不能排在首位，所以首位有A種排法，其余3個數字則有A種排法． 所以N2＝C·C(A·A＋A·A)． 所以符合條件的偶數個數為 N＝N1＋N2＝CCAA＋CC(AA＋AA) ＝4 560. 例4　1 260 跟蹤訓練4　解　第一類：剩下的一本書是數學資料書，此時相當于把8個人分成個數分別為3,3,2的三堆，這三堆分別借閱數學、外語、物理資料書，其借法共有CCC＝560(種)． 第二類：剩下的一本書是外語資料書，此時相當于把8個人分成個數分別為4,2,2的三堆，這三堆分別借閱數學、外語、物理資料書，其借法共有CCC＝420(種)． 第三類：剩下的一本書是物理資料書，此時相當于把8個人分成個數分別為4,3,1的三堆，這三堆分別借閱數學、外語、物理資料書，其借法共有CCC＝280(種)． 根據分類加法計數原理，可得借閱方法共有560＋420＋280＝1 260(種)． 當堂訓練 1．B　2.C　3.C　4.36　5.90 7