2017-2018版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應(yīng)用 1.4.2 微積分基本定理（一）學案 新人教B版選修2-2

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1、 1.4.2　微積分基本定理(一) 明目標、知重點　1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會利用微積分基本定理求函數(shù)的積分． 1．微積分基本定理 如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可積，則?f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)． 2．定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系 設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則 (1)當曲邊梯形的面積在x軸上方時，如圖(1)，則?f(x)dx＝S上． (2)當曲邊梯形的面積在x軸下方時，如圖(2)，則?f(x)dx＝－S下． 　　　 (3)當曲邊梯形的面積在x軸上方、x

2、軸下方均存在時，如圖(3)，則?f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，則?f(x)dx＝0. [情境導學] 從前面的學習中可以發(fā)現(xiàn)，雖然被積函數(shù)f(x)＝x3非常簡單，但直接用定積分的定義計算?x3dx的值卻比較麻煩．有沒有更加簡便、有效的方法求定積分？另外，我們已經(jīng)學習了兩個重要的概念——導數(shù)和定積分，這兩個概念之間有沒有內(nèi)在的聯(lián)系？我們能否利用這種聯(lián)系求定積分？ 探究點一　微積分基本定理 思考1　如下圖，一個做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是y＝y(tǒng)(t)，并且y(t)有連續(xù)的導數(shù)，由導數(shù)的概念可知，它在任意時刻t的速度v(t)＝y(tǒng)′(t)．設(shè)這個物體在時間段[a，b]內(nèi)的位移為

3、s，你能分別用y(t)，v(t)表示s嗎？ 答　由物體的運動規(guī)律是y＝y(tǒng)(t)知：s＝y(tǒng)(b)－y(a)， 通過求定積分的幾何意義，可得s＝?v(t)dt＝?y′(t)dt， 所以?v(t)dt＝?y′(t)dt＝y(tǒng)(b)－y(a)．其中v(t)＝y(tǒng)′(t)． 小結(jié)　(1)如果f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，且F′(x)＝f(x)，則?f(x)dx＝F(b)－F(a)．這個結(jié)論叫做微積分基本定理． (2)運用微積分基本定理求定積分?f(x)dx很方便，其關(guān)鍵是準確寫出滿足F′(x)＝f(x)的F(x)． 思考2　對一個連續(xù)函數(shù)f(x)來說，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝

4、f(x)？若不唯一，會影響微積分基本定理的唯一性嗎？ 答　不唯一，根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，若F′(x)＝f(x)，則對任意實數(shù)c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)． 不影響，因為?f(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)． 例1　計算下列定積分： (1)?dx；(2)?(2x－)dx；(3)?(cos x－ex)dx. 解　(1)因為(ln x)′＝， 所以?dx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2. (2)因為(x2)′＝2x，()′＝－， 所以?(2x－)dx＝?2xdx－?dx ＝x2|＋|＝(9－1)＋(－1)＝. (3)?(

5、cos x－ex)dx＝?cos xdx－?exdx ＝sin x|－ex|＝－1. 反思與感悟　求簡單的定積分關(guān)鍵注意兩點： (1)掌握基本函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當原函數(shù)不易求時，可將被積函數(shù)適當變形后再求解； (2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限． 跟蹤訓練1　計算下列定積分： (1)(x－1)5dx； (3)dx. 解　(1)因為′＝(x－1)5， 所以(x－1)5dx＝ ＝×(2－1)6－×(1－1)6＝. (2)因為′＝sin3xcos x， 所以＝ ＝sin4－sin40＝. (3)令f(x)＝＝－， 取

6、F(x)＝ln x－ln(x＋1)＝ln ， 則F′(x)＝－. 所以dx＝(－)dx ＝＝ln . 探究點二　分段函數(shù)的定積分 例2　已知函數(shù)f(x)＝先畫出函數(shù)圖象，再求這個函數(shù)在[0,4]上的定積分． 解　圖象如圖． ＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－. 反思與感悟　求分段函數(shù)的定積分，分段標準是使每一段上的函數(shù)表達式確定，按照原分段函數(shù)的分段情況即可；對于含絕對值的函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)． 跟蹤訓練2　設(shè)f(x)＝ 求?f(x)dx. 解　?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx ＝x3|＋(sin x－x)|＝sin 1－. 探究點三　

7、定積分的應(yīng)用 例3　計算下列定積分： ?sin xdx，?sin xdx，?sin xdx.由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論． 解　因為(－cos x)′＝sin x， 所以?sin xdx＝(－cos x)| ＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ?sin xdx＝(－cos x)| ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ?sin xdx＝(－cos x)| ＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0. 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0： 定積分的值與曲邊梯形面積之間的關(guān)系：(1)位于x軸上方的曲邊梯

8、形的面積等于對應(yīng)區(qū)間的積分；(2)位于x軸下方的曲邊梯形的面積等于對應(yīng)區(qū)間的積分的相反數(shù)；(3)定積分的值就是位于x軸上方曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積． 反思與感悟　求平面圖形面積的步驟： (1)畫函數(shù)的圖象，聯(lián)立方程組求出曲線的交點坐標． (2)將曲邊形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積． (3)確定被積函數(shù)和積分區(qū)間，計算定積分，求出面積． 跟蹤訓練3　求曲線y＝sin x與直線x＝－，x＝π，y＝0所圍圖形的面積(如圖所示)． 解　所求面積為 S＝?π－|sin x|dx ＝－?0－sin xdx＋?sin xdx－?ππsin xdx ＝1＋2＋(1－)＝4

9、－. 1．定積分?(2x＋ex)dx的值為(　　) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1 答案　C 解析　?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝e.故選C. 2．若?(2x＋)dx＝3＋ln 2，則a的值是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　D 解析　?(2x＋)dx＝?2xdx＋?dx ＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 解得a＝2. 3．?(x2－x)dx＝________. 答案　 解析　?(x2－x)dx＝?x2dx－?xdx ＝|－|＝－＝. 4．已知f(x)＝，計算?f(x)dx. 解　 取F1(x)＝2x2－2πx，則F1′(x)＝4x－2π； 取F2(x)＝sin x，則F2′(x)＝cos x. 所以 即?f(x)dx＝－π2－1. [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1．求定積分的一些常用技巧 (1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分． (2)若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和． (3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分． 2．由于定積分的值可取正值，也可取負值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數(shù)對應(yīng)圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數(shù)． 6