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1、第3講數列的綜合問題專題四數列、推理與證明熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一利用Sn，an的關系式求an1.數列an中，an與Sn的關系2.求數列通項的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數列求通項公式.(2)在已知數列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數列的通項an.(3)在已知數列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數列的通項an.(4)將遞推關系進行變換，轉化為常見數列(等差、等比數列).例例1已知等差數列an中，a22，a3a58，數列bn中，b12，其前n項和Sn滿足： bn1Sn2(nN*).(1
2、)求數列an，bn的通項公式；解答解解a22，a3a58，2d23d8，d1，ann.bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2).由，得bn1bnSnSn1bn (nN*，n2)，bn12bn (nN*，n2).b12，b22b1，bn為首項為2，公比為2的等比數列，bn2n.解答思維升華思維升華給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.思維升華兩式相減，得證明跟蹤演練跟蹤演練1(2017天津市紅橋區(qū)重點中學八校聯考)已知數列an的前n項和為Sn，且滿足
3、Snn2(an2)(nN*).(1)證明：數列an1為等比數列；證明證明Snn2(an2)，當n2時，Sn1(n1)2(an12)，兩式相減，得an12an2an1，an2an11，an12(an11)，又當n1時，a112(a12)，得a13，a112，數列an1是以2為首項，2為公比的等比數列.(2)若bnanlog2(an1)，數列bn的前n項和為Tn，求Tn.解答解解由(1)知，an122n12n，an2n1，又bnanlog2(an1)，bnn(2n1)，Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n)，設An12222323(n1)2n1n2n，則2An122223(n1
4、)2nn2n1，兩式相減，得An222232nn2n1An(n1)2n12.熱點二數列與函數、不等式的綜合問題數列與函數的綜合問題一般是利用函數作為背景，給出數列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系，將條件進行準確的轉化.數列與不等式的綜合問題一般以數列為載體，考查最值問題，不等關系或恒成立問題.例例2設fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；解答解解方法一方法一由題設fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，
5、由得，fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.(n1)2n1.證明思維升華思維升華解決數列與函數、不等式的綜合問題要注意以下幾點(1)數列是一類特殊的函數，函數定義域是正整數，在求數列最值或不等關系時要特別重視.(2)解題時準確構造函數，利用函數性質時注意限制條件.(3)不等關系證明中進行適當的放縮.思維升華證明證明因為fn(0)10，又fn(x)12xnxn10，證明跟蹤演練跟蹤演練2(2016屆浙江省寧波市期末)已知數列an滿足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求證：bn是等比數列；證明證明a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*
6、)an2(Sn1n)(n2)，兩式相減，得an13an2(n2).經檢驗，當n1時上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比數列.(2)記數列nbn的前n項和為Tn，求Tn；解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，兩式相減，得2Tn332333nn3n1證明熱點三數列的實際應用用數列知識解相關的實際問題，關鍵是合理建立數學模型數列模型，弄清所構造的數列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數是多少，然后轉化為解數列問題.求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關系問
7、題，所求結論對應的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結果.例例3自從祖國大陸允許臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值an的表達式；解答解解當n6時，數列an是首項為120，公差為10的等差數列，故an1201
8、0(n1)13010n，當n7時，數列an從a6開始的項構成一個以a61306070為首項，以 為公比的等比數列，(2)設An ，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新.證明思維升華證明證明設Sn表示數列an的前n項和，由等差數列和等比數列的求和公式，得當1n6時，Sn120n5n(n1)，當n7時，由于S6570，因為an是遞減數列，所以An是遞減數列.所以必須在第九年年初對M更新.思維升華思維升華常見數列應用題模型的求解方法(1)產值模型：原來產值的基礎數為N，平均增長率為p，對于時間n的總產值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復利公式：按
9、復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數，則b .跟蹤演練跟蹤演練3(2017全國)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依
10、此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330 C.220 D.110答案解析設N是第n1組的第k項，若要使前N項和為2的整數冪，真題押題精練真題體驗1.(2016浙江)設數列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.1答案解析1212112當n2時，由已知可得an12Sn1，an2Sn11，由，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是以a11為首項，以q3為公比的等比數列.2.(2017山東)已知xn是各項均為正數的等比數列，且x1x23，x3x22.(1)求數列xn的通項
11、公式；解解設數列xn的公比為q.12所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此數列xn的通項公式為xn2n1.解答(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.12解答解解過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，12所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2， 則2Tn320521722(2n1)2n2(2n
12、1)2n1， 由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n112押題預測解答押題依據押題依據本題綜合考查數列知識，考查反證法的數學方法及邏輯推理能力.已知數列an的前n項和Sn滿足關系式Snkan1，k為不等于0的常數.(1)試判斷數列an是否為等比數列；押題依據解解若數列an是等比數列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3，于是a10，顯然矛盾，故數列an不是等比數列.解答押題依據押題依據本題綜合考查數列知識，高考的熱點問題，即數列與不等式的完美結合，其中將求數列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相減法”結合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力.押題依據從而Snan1.當n2時，由Sn1an，得anSnSn1an1an，即an12an，此時數列是首項為a2 、公比為2的等比數列.從而其前n項和Sn2n2 (nN*).解答解解由得bnn2，記C2121220n2n2，則2C2120221n2n1，即n2n900，因為nN*，故n9，從而最小正整數n的值是10.
數學四 數列、推理與證明 第3講 數列的綜合問題 理
