2016年秋人教版八年級數學上名校課堂練習13.4課題學習-最短路徑問題.doc

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13.4　課題學習　最短路徑問題 基礎題 知識點　最短路徑問題 1．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，G，H分別是AF和CD的中點，P是GH上的動點，連接AP，BP，則AP＋BP的值最小時，BP與HG的夾角(銳角)度數為________． 2．已知，如圖，在直線l的同側有兩點A，B. (1)在圖1的直線上找一點P使PA＋PB最短； (2)在圖2的直線上找一點P，使PA－PB最長． 3．如圖均是由相同的小正方形組成的網格圖，點A、B、C、D均落在格點上．請只用無刻度的直尺在格線CD上確定一點Q，使QA與QB的長度之和最?。? 4．如圖，村莊A，B位于一條小河的兩側，若河岸a，b彼此平行，現在要建設一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？ 中檔題 5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N點是AB上的一定點，M是AD上一動點，要使MB＋MN最小，請找點M的位置． 6．如圖，在△ABC的一邊AB上有一點P. (1)能否在另外兩邊AC和BC上各找一點M、N，使得△PMN的周長最短？若能，請畫出點M、N的位置，若不能，請說明理由； (2)若∠ACB＝52，在(1)的條件下，求出∠MPN的度數． 7．如圖，已知∠AOB，點P是∠AOB內部的一個定點，點E、F分別是OA、OB上的動點． (1)要使得△PEF的周長最小，試在圖上確定點E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周長的最小值為4，則∠AOB＝________． 8．(蘭州中考改編)如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120，∠B＝∠D＝90，在BC，CD上分別找一點M，N，使△周長最小，求∠AMN＋∠ANM的度數． 綜合題 9．已知：如圖，在∠POQ內部有兩點M、N，∠MOP＝∠NOQ. (1)畫圖并簡要說明畫法：在射線OP上取一點A，使點A到點M和點N的距離和最??；在射線OQ上取一點B，使點B到點M和點N的距離和最小； (2)直接寫出AM＋AN與BM＋BN的大小關系． 參考答案 1．60　2.(1)作點B關于直線l的對稱點C，連接AC交直線l于點P，連接BP.點P即為所求．圖略．(2)連接AB并延長，交直線l于點P.圖略．　3.作B關于CD的對稱點B′，連接AB′，交格線CD于Q，此時QA＋QB＝QA＋QB′＝AB′，根據兩點之間線段最短，得此時QA＋QB最小．　4.①過點A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的長等于河的寬度；②連接A′B交b于點D；③過點D作DE∥AA′交a于點C；④連接AC.則CD即為橋的位置．圖略．　5.連接NC與AD的交點為M點．點M即為所求．圖略．　6.(1)①作出點P關于AC、BC的對稱點D、G.②連接DG交AC、BC于點M、N.點M、N即為所求．(2)設PD交AC于E，PG交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90.∴∠C＋∠EPF＝180.∵∠C＝52，∴∠EPF＝128.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180，∴∠D＋∠G＝52.由對稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN＋∠DPM＝52.∴∠MPN＝128－52＝76.　7.(1)圖略，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F.此時，△PEF的周長最?。?2)30　8.作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，連接AM，AN，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH.∵∠DAB＝120，∴∠HAA′＝60.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60.∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝260＝120.　9.(1)圖略，點A，B即為所求．畫法：①作點M關于射線OP的對稱點M′；②連接M′N交OP于點A；③作點N關于射線OQ的對稱點N′；④連接N′M交OQ于點B.(2)AM＋AN＝BM＋BN.