七年級數(shù)學(xué)競賽講座15 容斥原理

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1、七年級數(shù)學(xué)競賽系列講座(15)容斥原理一、 一、知識要點1、容斥原理 在計數(shù)時，常常遇到這樣的情況，作合并運算時會把重復(fù)的部分多算，需要減去；作排除運算時會把重復(fù)部分多減，需要加上，這就是容斥原理。它的基本形式是： 記A、B是兩個集合，屬于集合A的東西有個，屬于集合B的東西有個，既屬于集合A又屬于集合B的東西記為，有個；屬于集合A或?qū)儆诩螧的東西記為，有個，則有：=+-ABAB容斥原理可以用一個直觀的圖形來解釋。如圖，左圓表示集合A，右圓表示集合B，兩圓的公共部分表示，兩圓合起來的部分表示，由圖可知：=+- 容斥原理又被稱作包含排除原理或逐步淘汰原則。二、 二、例題精講例1 在1到200的整

2、數(shù)中，既不能被2整除，又不能被3整除的整數(shù)有多少個？分析：根據(jù)容斥原理，應(yīng)是200減去能被2整除的整數(shù)個數(shù)，減去能被3整除的整數(shù)個數(shù)，還要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整數(shù)個數(shù)。解：在1到200的整數(shù)中，能被2整除的整數(shù)個數(shù)為：21，22，2100，共100個； 在1到200的整數(shù)中，能被3整除的整數(shù)個數(shù)為：31，32，366，共66個；在1到200的整數(shù)中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整數(shù)個數(shù)為： 61，62，633，共33個；所以，在1到200的整數(shù)中，既不能被2整除，又不能被3整除的整數(shù)個數(shù)為：200-100-66+33=67(個)例2 求1到100的自然數(shù)中，

3、所有既不是2的倍數(shù)又不是3的倍數(shù)的整數(shù)之和S。解：1到100的自然數(shù)中，所有自然數(shù)的和是：1+2+3+100=50501到100的自然數(shù)中，所有2的倍數(shù)的自然數(shù)和是：21+22+250=2(1+2+3+50)= 21275=25501到100的自然數(shù)中，所有3的倍數(shù)的自然數(shù)和是：31+32+333=3(1+2+3+33)= 3561=16831到100的自然數(shù)中，所有既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)的自然數(shù)和是：61+62+616=6(1+2+3+16)= 6136=816所以，1到100的自然數(shù)中，所有既不是2的倍數(shù)又不是3的倍數(shù)的整數(shù)之和S=5050-2550-1683+816=16

4、33例3求不大于500而至少能被2、3、5中一個整除的自然數(shù)的個數(shù)。ABC分析：如圖，用3個圓A、B、C分別表示不大于500而能被2、3、5整除的自然數(shù)， 表示既能被2整除又能被3整除的自然數(shù) 表示既能被2整除又能被5整除的自然數(shù) 表示既能被3整除又能被5整除的自然數(shù) 表示既能被2整除又能被3整除，還能被5整除的自然數(shù)由圖可看出：屬于A、B、C之一的數(shù)的個數(shù)為：+-(+)+解：不大于500且能被2整除的自然數(shù)的個數(shù)是：250不大于500且能被3整除的自然數(shù)的個數(shù)是：166不大于500且能被5整除的自然數(shù)的個數(shù)是：100不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然數(shù)的個數(shù)是：83不大

5、于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然數(shù)的個數(shù)是：50不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然數(shù)的個數(shù)是：33不大于500既能被2整除又能被3整除，還能被5整除，即能被30整除的自然數(shù)的個數(shù)是：16由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一個整除的自然數(shù)的個數(shù)是： 250+166+100-(83+50+33)+16=366例4 求前200個正整數(shù)中，所有非2、非3、非5的倍數(shù)的數(shù)之和。解：前200個正整數(shù)的和是：1+2+3+200=20100前200個正整數(shù)中，所有2的倍數(shù)的正整數(shù)和是：21+22+2100=2(1+2+3+100)= 25050=10

6、100前200個正整數(shù)中，所有3的倍數(shù)的正整數(shù)和是：31+32+366=3(1+2+3+66)= 6633前200個正整數(shù)中，所有5的倍數(shù)的正整數(shù)和是：51+52+540=5(1+2+3+40)= 4100前200個正整數(shù)中，所有既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，即是6的倍數(shù)的正整數(shù)和是：61+62+633=6(1+2+3+33)= 3366前200個正整數(shù)中，所有既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，即是10的倍數(shù)的正整數(shù)和是：101+102+1033=10(1+2+3+20)= 2100前200個正整數(shù)中，所有既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，即是15的倍數(shù)的正整數(shù)和是：151+152+1513=15(1+2+3+1

7、3)= 1365前200個正整數(shù)中，所有既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)還是5的倍數(shù)，即是30的倍數(shù)的正整數(shù)和是：301+302+306=30(1+2+3+4+5+6)= 630所以，前200個正整數(shù)中，所有非2、非3、非5的倍數(shù)的數(shù)之和是S=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630例5 某班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學(xué)生在這三個項目都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球1718156652求這個班的學(xué)生數(shù)。(第三

8、屆華杯賽復(fù)賽試題)解：有4名學(xué)生在這三個項目都沒有達(dá)到優(yōu)秀，在每個單項上達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)分別是17、18、15，因而，總?cè)藬?shù)是17+18+15+4=54。但其中有人獲得兩項優(yōu)秀，所以上面的計數(shù)產(chǎn)生了重復(fù)，重復(fù)人數(shù)應(yīng)當(dāng)減去，即總?cè)藬?shù)變?yōu)椋?4-6-6-5=37又考慮到獲得三項優(yōu)秀的人，他們一開始被重復(fù)計算了三次，但在后來又被重復(fù)減去了三次，所以最后還要將他們加進(jìn)去。即這個班學(xué)生數(shù)為：37+2=39。例6 從1到1000000這一百萬個自然數(shù)中，能被11整除而不能被13整除的數(shù)多還是能被13整除而不能被11整除的數(shù)多？(第20屆全俄九年級試題)解：設(shè)1到1000000這一百萬個自然數(shù)中，能被11整除

9、而不能被13整除的數(shù)有m個， 能被13整除而不能被11整除的數(shù)有n個，既能被11又能被13整除的數(shù)有p個。 而在1到1000000這一百萬個自然數(shù)中，能被11整除數(shù)有90909個，m+p=90909 在1到1000000這一百萬個自然數(shù)中，能被13整除數(shù)有76923個，n+p=76923 m+p n+p mn，即能被11整除而不能被13整除的數(shù)比能被13整除而不能被11整除的數(shù)多。例7 50名學(xué)生面向老師站成一行，老師先讓大家從左到右按1，2，3，依次報數(shù)，再讓報數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)同學(xué)向后轉(zhuǎn)，問此時還有多少同學(xué)面向老師？(1995年華杯賽試題)分析：首先沒有轉(zhuǎn)的同

10、學(xué)仍面向老師，即報數(shù)既不是4的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的同學(xué)仍面向老師，其次，報數(shù)既是4的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)，即是12的倍數(shù)同學(xué)連續(xù)轉(zhuǎn)了兩次，仍面向老師。解：報數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)有12個，報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)有8個，報數(shù)是12的倍數(shù)的同學(xué)有4個， 所以根據(jù)容斥原理得：報數(shù)既不是4的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的同學(xué)有50-12-8+4=34個。報數(shù)既是4的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)，即是12的倍數(shù)同學(xué)有4個。所以此時還應(yīng)有34+4=38個同學(xué)面向老師。評注：若將同學(xué)數(shù)50改成n，問此時還有多少同學(xué)面向老師？可以得出一個一般的結(jié)論：例8 已知某校共有學(xué)生900名，其中男生528人，高中學(xué)生312人，團(tuán)員670人，高

11、中男生192人，男團(tuán)員336人，高中團(tuán)員247人，高中男團(tuán)員175人，試問這些數(shù)據(jù)統(tǒng)計有無錯誤？解：用I表示全校學(xué)生，A表示該校男生，B表示該校高中學(xué)生，C表示團(tuán)員，則有： =900，=528，=312，=670， 且=192，=336，=247，=175 這樣，初中女生的非團(tuán)員數(shù)是：-+-=900-528-312-670+192+336+247-175= -100因人數(shù)做到負(fù)數(shù)，所以數(shù)據(jù)統(tǒng)計有錯誤。例9 從自然數(shù)序列：1，2，3，4，中依次劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)，但其中5的倍數(shù)均保留。劃完后剩下的數(shù)依次組成一個新的序列：1，2，5，7，求該序列中第2002個數(shù)。分析：因為3，4，5的最小公倍

12、數(shù)是60，所以可將自然數(shù)序列：1，2，3，4，以60的倍數(shù)來分段，先考慮1到60的整數(shù)，其中3的倍數(shù)有20個，4的倍數(shù)有15個，既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)的數(shù)有5個，則劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)還剩60-20-15+5=30個，又還要保留其中的5的倍數(shù)6個，這樣還剩36個，即1到60的整數(shù)中，劃完后剩下36個，由此推得，每60個一段中，劃完后剩下36個。因2002=3655+22，說明2002是56段中的第22個數(shù)。解：先考慮1到60的整數(shù) 在1到60的整數(shù)中，3的倍數(shù)有20個，4的倍數(shù)有15個，既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)的數(shù)有5個，所以劃去3的倍數(shù)和4的倍數(shù)還剩60-20-15+5=30個。 又因為

13、其中5的倍數(shù)有6個，需要保留，所以劃完后剩下30+6=36個因為3，4，5的最小公倍數(shù)是60，所以每60個整數(shù)一段中，劃完后均剩下36個。 因為2002=3655+22，所以第2002個數(shù)是56段中的第22個數(shù)。因為第一段中的第22個數(shù)是37，所以該序列中第2002個數(shù)是5560+37=3337。三、 三、鞏固練習(xí)選擇題1、在1到40這四十個自然數(shù)中選一些數(shù)組成數(shù)集，使其中任何一個數(shù)不是另一個數(shù)的2倍，則這個數(shù)集最多有( )個數(shù)。A、20 B、26 C、30 D、402、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有( )種不同的排法。A、14 B、13 C、12 D、113、

14、從1到1000中，能被2，3，5之一整除的整數(shù)有( )個 A、767 B、734 C、701 D、6984、從1到200中，能被7整除但不能被14整除的整數(shù)有( )個A、12 B、13 C、14 D、155、A、B、C是面積分別為150、170、230的三張不同形狀的紙片，它們重疊放在一起的覆蓋面積是350，且A與B、B與C、A與C的公共部分面積分別是100、70、90。則A、B、C的公共部分面積是( )A、12 B、13 C、60 D、156、50束鮮花中，有16束插放著月季花，有15束插放著馬蹄蓮，有21束插放著白蘭花，有7束中既有月季花又有馬蹄蓮，有8束中既有馬蹄蓮又有白蘭花，有10束中

15、既有月季花又有白蘭花，還有5束鮮花中，月季花、馬蹄蓮、白蘭花都有。則50束鮮花中，這三種花都沒有的花束有( )A、17 B、18 C、19 D、20填空題7、一張正方形的紙片面積是50平方厘米，一張圓形的紙片面積是40平方厘米。兩張紙片覆蓋在桌面上的面積是60平方厘米，則這兩張紙片重合部分的面積是 。8、某班有學(xué)生45人，已知其次考試數(shù)學(xué)30人優(yōu)秀，物理28人優(yōu)秀，數(shù)理兩科都優(yōu)秀的有20人。則數(shù)理兩科至少有一科優(yōu)秀的有 人，一科都未達(dá)到優(yōu)秀的有 人。9、某班有學(xué)生50人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有35人，參加語文興趣小組的有30人，每人至少參加一個組，則兩個組都參加的有 人。10、一個數(shù)除以3余2，

16、除以4余1，則這個數(shù)除以12的余數(shù)是 。11、每邊長是10厘米的正方形紙片，正中間挖一個正方形的洞，成為一個邊寬是1厘米的方框。把5個這樣的方框放在桌上，成為如圖這樣的圖形。則桌面上被這些方框蓋住的部分面積是 平方厘米。12、200以內(nèi)的正偶數(shù)中與5互質(zhì)的數(shù)有 個。解答題ABCD13、在線段AB上取兩個點以C、D， 已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD長。14、求1到200的自然數(shù)中，所有既不是2的倍數(shù)又不是3的倍數(shù)的整數(shù)之和S。15、100名學(xué)生面向老師站成一行，老師先讓大家從左到右按1，2，3，依次報數(shù)，再讓報數(shù)是3的倍數(shù)的學(xué)生向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是7的倍數(shù)學(xué)生向后轉(zhuǎn)，問此時還有

17、多少學(xué)生面向老師？這些面向老師的學(xué)生的報數(shù)號的總和是多少？16、求前500個正整數(shù)中非5、非7、非11的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。17、某校初一年級有120名學(xué)生，參加體育、文學(xué)、數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)之和為135，其中，既參加了體育興趣小組又參加了文學(xué)興趣小組有15人，既參加了體育興趣小組又參加了數(shù)學(xué)興趣小組有10人，既參加了文學(xué)興趣小組又參加了數(shù)學(xué)興趣小組有8人，三個興趣小組都參加的有4人，求三個興趣小組都沒有參加的人數(shù)。18、某班語文、數(shù)學(xué)、外語三門考試成績統(tǒng)計結(jié)果如下：課程語文數(shù)學(xué)外語語、數(shù)數(shù)、外語、外至少一門得滿分人數(shù)911853418問：語文、數(shù)學(xué)、外語三門考試都得滿分的人數(shù)是多少？19、求出分母是111的最簡真分?jǐn)?shù)的和。20、有1997盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制著。現(xiàn)將其順序編號為1，2，3，1997。將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，拉完后還有幾盞燈是亮的？5