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1、
一題多解專題三：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題
1.構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法
(1) 對于(或可化為)左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式,構(gòu)造函數(shù)f(x),使原不等式成為形如
f(a)>f(b)的形式.
(2)對形如f(x)>g(x),構(gòu)造函數(shù)F(x)= f(x)-g(x).
(3)對于(或可化為)的不等式,可選(或)為主元,構(gòu)造函數(shù)(或
).
2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形. (2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x).
(3)對h(x)求導(dǎo). (4)利用判斷h(x)的單調(diào)性或最值. (5)結(jié)論.
例：設(shè)為常數(shù)），曲線與直線在(0，0)點相切.
2、
(1)求的值. (2)證明：當(dāng)時，.
【解題指南】(1)點在曲線上，則點的坐標(biāo)滿足曲線方程；同時據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立 另一個方程，求出a,b;
(2) 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式
【解析】方法一：（1）由的圖象過點（0，0）得b=-1；
由在點（0，0）的切線斜率為，
則.
（2）當(dāng)時，，
令，則
.
令，則當(dāng)時，
因此在（0,2）內(nèi)是
3、遞減函數(shù)，又，
則時，
所以時，，即在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)，
由，則時，，
故時，，即.
方法二：由（1）知，
由基本不等式，當(dāng)時， （i)
令，則，
故，即 （ii）
由（i)、（ii）得，當(dāng)時，，
記，則當(dāng)時，
因此在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)
4、，又，得，
故時，.
針對性練習(xí)：
1．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞ln 2－1且x＞0時，ex＞x2－2ax＋1.
解析 (1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞減
2(1－ln 2＋a)
單調(diào)遞增
故f(x)的
5、單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．
(2)設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知當(dāng)a＞ln 2－1時，g′(x)的最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.
于是對任意x∈R都有g(shù)′(x)＞0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當(dāng)a＞ln 2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
6、即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.
2. 設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)。
（1） 求正實數(shù)的取值范圍；
（2） 設(shè)，求證：
解：（1）對恒成立，
對恒成立 又 為所求。
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，
,即；
另一方面，設(shè)函數(shù)
∴在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又
∴當(dāng)時，, ∴, 即
綜上所述，。
3.已知函數(shù)，
7、 證明：對于任意的兩個正數(shù)，總有成立；
解：由：，
而：，
又因為：所以：，即：成立。
4.設(shè)，函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，函數(shù) 取得極值，證明：對于任意的
.
解：(1)
①當(dāng)時，恒成立，在上是增函數(shù)；
② 當(dāng)時，令，即，解得.
因此，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，
在區(qū)間 內(nèi)也單調(diào)遞增.
令，解得.
因此，函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時，函數(shù)取得極值，即 ，
由(Ⅰ)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
在時取得極大值；在時取得極小值，
故在上，的最大值是，最小值是；
對于任意的
5
2022高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 一題多解專題三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題
