簡(jiǎn)明彈性力學(xué)教程 徐芝綸 復(fù)習(xí)PPT課件

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1、 平面問(wèn)題的基本理論 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答 空間問(wèn)題的基本理論 空間問(wèn)題的解答大 綱1第1頁(yè)/共105頁(yè)第二章 平面問(wèn)題的基本理論第2頁(yè)/共105頁(yè)目錄 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變 平衡微分方程 平面應(yīng)力狀態(tài) 幾何方程 剛體位移 物理方程 邊界條件 圣維南原理及其應(yīng)用 按位移求解平面問(wèn)題 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程 常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)提 要3第3頁(yè)/共105頁(yè)1. 平衡微分方程平衡微分方程00yxxxxyyyfxyfxy（2-2）2. 幾何方程幾何方程yuxvyvxuxyyx（2-8）3. 物理方程物理方程（平面應(yīng)力問(wèn)題）（平面應(yīng)力問(wèn)題）)(1xyyE)(1yxxE

2、xyxyE)1 (2（2-12）4. 邊界條件邊界條件位移：位移：vvuuss（2-14）應(yīng)力：應(yīng)力：()()( )()()( )xsxysxysxysylmf smlfs（2-15）平面問(wèn)題的基本方程4平面問(wèn)題基本方程221()11()12(1)xxyyyxxyxyEEE（2-13）（平面應(yīng)變問(wèn)題）（平面應(yīng)變問(wèn)題）平面應(yīng)力平面應(yīng)變：.1 ,12EE第4頁(yè)/共105頁(yè)按位移求解平面問(wèn)題的基本方程（1 1）平衡方程：）平衡方程：222222222222110122110122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y （2-18）（2）邊界條件：）邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：vvuu

3、ss,（2-14）應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：221( )121( )12xssyssEuvuvlmfsxyyxEvuvumlfsyxxy（2-19）5按位移求解平面問(wèn)題的基本方程（平面應(yīng)力問(wèn)題）（平面應(yīng)力問(wèn)題）平面應(yīng)力平面應(yīng)變：.1 ,12EE第5頁(yè)/共105頁(yè)按應(yīng)力求解平面問(wèn)題的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yxyyfxy0 xyxxfxy（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）2222()(1)yxxyffyxxy （3）邊界條件：）邊界條件：()()()()xsxysxysxysylmfmlf（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）6按應(yīng)力求解平面問(wèn)題22221()1yxxy

4、ffxyxy （平面應(yīng)變情形）（平面應(yīng)變情形）第6頁(yè)/共105頁(yè)（1）平衡方程）平衡方程0yxyyfxy0 xyxxfxy（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件）邊界條件()()()()xsxysxysxysylmfmlf0)(2yx常體力下平面問(wèn)題的基本方程7常體力下平面問(wèn)題的基本方程全解全解 = 齊次方程齊次方程通解通解+非齊次方程的非齊次方程的特解特解。,0;xxyyxyf xf y 0,0,;xyxyxyf yf x ,xxyyxyf xf yf xf y 1 特解特解常體力下特解形式：常體力下特解形式：2 通解通解yxxy2,22yx,22xy02442

5、2444yyxx 040)(22第7頁(yè)/共105頁(yè)第三章平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解答第8頁(yè)/共105頁(yè)目錄 逆解法與半逆解法 多項(xiàng)式解答 矩形梁的純彎曲 位移分量的求出 簡(jiǎn)支梁受均布載荷 楔形體受重力和液體壓力提 要9第9頁(yè)/共105頁(yè)應(yīng)力函數(shù)的求解方法1逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-25）的(x,y) 的形式；（2） 主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問(wèn)題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-24），求出 （具有待定系數(shù)）；xyyx,（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-15），來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)(x,y) 對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問(wèn)題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)(x,y)

6、 可以求解什么問(wèn)題。應(yīng)力函數(shù)的求解方法10第10頁(yè)/共105頁(yè)多項(xiàng)式解答適用性：適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)(x,y) ，能解決，能解決什么樣的力學(xué)問(wèn)題。什么樣的力學(xué)問(wèn)題。逆解法多項(xiàng)式解答11第11頁(yè)/共105頁(yè)應(yīng)力函數(shù)的求解方法2半逆解法（1）根據(jù)問(wèn)題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量 的某種函數(shù)形式 ；xyyx,（2）根據(jù) 與應(yīng)力函數(shù)(x,y)的關(guān)系及 ，求出(x,y) 的形式；xyyx,04（3）最后利用式（2-24）計(jì)算出 并讓其滿足邊界條件和位移

7、單值條件。xyyx, 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。應(yīng)力函數(shù)的求解方法12第12頁(yè)/共105頁(yè)多項(xiàng)式解答cbyaxyx),(其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程：是否滿足雙調(diào)和方程：0244224444yyxx顯然顯然(x,y) 滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1. 一次多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：02yxxy22xxf xy0 xxf xf x 0yyf yf y 22yyf yx若體力：若體力：fx = fy=0，則有：，則有：0 xyyx多項(xiàng)式解答

8、13結(jié)論結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)體力、無(wú)面力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；無(wú)體力、無(wú)面力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。第13頁(yè)/共105頁(yè)多項(xiàng)式解答2. 二次多項(xiàng)式二次多項(xiàng)式（1）22cybxyax其中：其中： a、b、c 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。(假定：假定：fx =fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )（3）由式（由式（2-

9、24）計(jì)算應(yīng)力分量：）計(jì)算應(yīng)力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy多項(xiàng)式解答14結(jié)論結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。均勻應(yīng)力分布。第14頁(yè)/共105頁(yè)多項(xiàng)式解答結(jié)論結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。均勻應(yīng)力分布。xy020( , )2x yy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：例：xy00 xyyx0),(2. 二次多項(xiàng)式二次多項(xiàng)式多項(xiàng)式解答15第15頁(yè)/共105頁(yè)3. 三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式（1）3223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)

10、和方程，顯然有是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作為應(yīng)力函數(shù)可作為應(yīng)力函數(shù) )(假定：假定：fx =fy = 0)（3）由式（由式（2-24）計(jì)算應(yīng)力分量：）計(jì)算應(yīng)力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222結(jié)論結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。線性應(yīng)力分布。多項(xiàng)式解答多項(xiàng)式解答16第16頁(yè)/共105頁(yè)討論：討論：3,ay取(0)xyff可算得：可算得：0 xy6xay0yxy12h2hll圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：:2hy 0, 0 xyy: lx6,0 xxyaymin3ahmax3a

11、hMM3ay可見：可見： 對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問(wèn)題純彎曲問(wèn)題應(yīng)力分布。應(yīng)力分布。常數(shù)常數(shù) a 與彎矩與彎矩 M 的關(guān)系：的關(guān)系：220hhxdy(1)由梁端部的邊界條件：由梁端部的邊界條件：2260hhay ay多項(xiàng)式求解多項(xiàng)式解答17第17頁(yè)/共105頁(yè)(2)Mdyyhhx222226hhay dyM32ahM32()Mah或yIMxyhMx312yhMx)12/(3此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。多項(xiàng)式求解多項(xiàng)式解答18xy12h2hllmin3ahmax3ahMM220hhx

12、dy(1)由梁端部的邊界條件：由梁端部的邊界條件：2260hhay ay第18頁(yè)/共105頁(yè)多項(xiàng)式求解0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max說(shuō)明：說(shuō)明：(1)組成梁端力偶組成梁端力偶 M 的面力的面力須須線性分布線性分布，且中心處為零，且中心處為零，結(jié)果才是結(jié)果才是精確的精確的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)當(dāng) l 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 h 時(shí)，誤差較?。环粗`差較大。時(shí)，誤差較小

13、；反之誤差較大。多項(xiàng)式解答19第19頁(yè)/共105頁(yè)4. 四次多項(xiàng)式四次多項(xiàng)式（1）432234eydxyycxybxax檢驗(yàn)檢驗(yàn)(x,y) 是否滿足雙調(diào)和方程是否滿足雙調(diào)和方程（2）42228cxy ax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca多項(xiàng)式求解432234eydxyycxybxax可見，對(duì)于函數(shù)：可見，對(duì)于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：033eca多項(xiàng)式解答20第20頁(yè)/共105頁(yè)（3）應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262a

14、xbxycy 應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為 x、y 的二次函數(shù)。的二次函數(shù)。（4）特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy（須滿足：（須滿足：a + e =0）多項(xiàng)式求解多項(xiàng)式解答214. 四次多項(xiàng)式四次多項(xiàng)式432234eydxyycxybxax第21頁(yè)/共105頁(yè)總結(jié) 多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù) 的性質(zhì)的性質(zhì)（1） 多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。04多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式次數(shù) n 4 時(shí)，則系數(shù)時(shí)，則系數(shù)須滿足須滿足一定條件，才能滿足一定條件，才能滿足 。04多項(xiàng)式次數(shù)多項(xiàng)式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。

15、越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)任意應(yīng)力函數(shù)(x,y)上加上上加上或減去一個(gè)或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。二次多項(xiàng)式二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力線性分布應(yīng)力。（3） （4） 用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)(x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解決簡(jiǎn)單逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直直線應(yīng)力邊界線應(yīng)力邊界問(wèn)題）。問(wèn)題）。多項(xiàng)式解答總結(jié)22第22頁(yè)/共105頁(yè)（1）討論

16、：討論：常數(shù)00 xEIMyuxx當(dāng)當(dāng) x = x0 =常數(shù)常數(shù)xEIMyuxyl1hMM u 關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。常數(shù)00 xEIMyuxxyu0|xx說(shuō)明：說(shuō)明： 同一截面上的各鉛垂線同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面橫截面保持平面 材力中材力中“平面假設(shè)平面假設(shè)” 成立。成立。23矩形梁的純彎曲0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)第23頁(yè)/共105頁(yè)（2）常數(shù)EIMxv22102222vxxEIMyEIMv將下式中的第二式對(duì)將下式中的第二式對(duì) x 求二階導(dǎo)數(shù)：求二階導(dǎo)數(shù)：0uy

17、xyEIMu說(shuō)明：說(shuō)明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即率相同。即EIMxv221 材料力學(xué)中的撓曲線微分方程材料力學(xué)中的撓曲線微分方程24矩形梁的純彎曲第24頁(yè)/共105頁(yè)（1）兩端簡(jiǎn)支）兩端簡(jiǎn)支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其邊界條件：其邊界條件：000yxu000yxv將其代入將其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2將其代回將其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的撓曲線方程：梁的撓曲線方程：xxlEIMvy)(20 與材力中結(jié)果相同與材力中結(jié)果相同

18、00ylxv位移邊界條件的利用25位移邊界條件的利用第25頁(yè)/共105頁(yè)位移邊界條件的利用（2）懸臂梁）懸臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)邊界條件邊界條件0lxv0lxu22hyh由式（由式（f）可知，此邊界條件無(wú)法滿足。）可知，此邊界條件無(wú)法滿足。邊界條件改寫為：邊界條件改寫為：0, 000ylxylxvu（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)不動(dòng)）00ylxxv（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）h/2h/226位移邊界條件的利用第26頁(yè)/共105頁(yè)h/2h/2代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxl

19、EIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv位移邊界條件的利用27位移邊界條件的利用第27頁(yè)/共105頁(yè)位移邊界條件的利用yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)撓曲線方程：撓曲線方程：20)(2|xlEIMvy與材料力學(xué)中結(jié)果相同與材料力學(xué)中結(jié)果相同h/2h/228位移邊界條件的利用第28頁(yè)/共105頁(yè)h/2h/2說(shuō)明：說(shuō)明：（1）求位移的過(guò)程：求位移的過(guò)程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程）將應(yīng)力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程）再將應(yīng)變分量代入幾何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。）再利

20、用位移邊界條件，確定常數(shù)。位移邊界條件的利用29位移邊界條件的利用第29頁(yè)/共105頁(yè)（2） 若為平面應(yīng)變問(wèn)題，則將材料常若為平面應(yīng)變問(wèn)題，則將材料常數(shù)數(shù)E、作相應(yīng)替換。作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：若取固定端邊界條件為：h/2h/20, 000ylxylxvu（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)不動(dòng)）00ylxyu（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl求得：求得：00uEIMlv220EIMl此結(jié)果與前面情形相同。此結(jié)果與前面情形相同。（為什么？為什么？）位移邊界條件的利用30位移邊界條件的利用第30頁(yè)/共105頁(yè)應(yīng)力函數(shù)的確定xyllq

21、lql1yzh/2h/2q(1)分析：分析：y 主要由彎矩引起；主要由彎矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（擠壓應(yīng)力）。引起（擠壓應(yīng)力）。又又 q =常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，不隨不隨 x 變化。變化。y推得：推得：)(yfy(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù) 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy積分得：積分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函數(shù)任意的待定函數(shù)31簡(jiǎn)支梁受均布載荷 - 應(yīng)力函數(shù)的確定第31頁(yè)/共105頁(yè)xy

22、llqlql1yzh/2h/2q(3)由由 確定：確定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx應(yīng)力函數(shù)的確定32應(yīng)力函數(shù)的確定第32頁(yè)/共105頁(yè)xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：方程的特點(diǎn)：關(guān)于關(guān)于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 內(nèi)方程均成立。內(nèi)方程均成立。由由“高等代數(shù)高等代數(shù)”理論，須有理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。

23、即：的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf對(duì)前兩個(gè)方程積分：對(duì)前兩個(gè)方程積分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c) 此處略去了此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)第三個(gè)方程得：對(duì)第三個(gè)方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412積分得：積分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)33應(yīng)力函數(shù)的確定第33頁(yè)/共105頁(yè)GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)

24、將將(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此處略去了此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有式中含有9個(gè)待定常數(shù)。個(gè)待定常數(shù)。34應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q第34頁(yè)/共105頁(yè)應(yīng)力分量的確定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)35應(yīng)力函數(shù)的確定xyllqlql1yzh/2h/2q22yyf yx22xxf xy2xyx y (

25、2-24)第35頁(yè)/共105頁(yè)（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：）對(duì)稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 對(duì)稱、幾何對(duì)稱：對(duì)稱、幾何對(duì)稱：yx, x 的偶函數(shù)的偶函數(shù)xy x 的奇函數(shù)的奇函數(shù)由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式對(duì)任意的要使上式對(duì)任意的 y 成立，須有：成立，須有：0GFE36對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用第36頁(yè)/共105頁(yè)（2）邊界條件的應(yīng)用：）邊界條件的應(yīng)用：(a) 上下邊界（主要邊界）：上下邊界（主要邊界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此

26、解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入應(yīng)力公式代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/2h/2q37對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用第37頁(yè)/共105頁(yè)xyllqlql1yzh/2h/2q(b) 左右邊界（次要邊界）：左右邊界（次要邊界）：（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 難以滿足，需借助于圣維南原理。難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：靜力等效條件：軸力軸力 N = 0；彎矩彎矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx38對(duì)稱

27、條件與邊界條件的應(yīng)用第38頁(yè)/共105頁(yè)0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhq0)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx39對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q第39頁(yè)/共105頁(yè)KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )qllyhqyhqlhy223232362可見，這一條件自動(dòng)滿足?？梢?，這一條件自動(dòng)滿足。40對(duì)

28、稱條件與邊界條件的應(yīng)用xyllqlql1yzh/2h/2q0KhqhqlH1032第40頁(yè)/共105頁(yè)xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx22112hyhyqy22346yhxhqxyxyxy)()(103)(3222qxlhq三次拋物線三次拋物線q截面上的應(yīng)力分布：截面上的應(yīng)力分布：41對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用(p)第41頁(yè)/共105頁(yè)與材料力學(xué)結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy材力中幾個(gè)參數(shù)材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：截面寬：b=1 ,3

29、121hI截面慣矩：截面慣矩：靜矩：靜矩：2822yhS彎矩：彎矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ將其代入式將其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）42與材料力學(xué)結(jié)果比較第42頁(yè)/共105頁(yè)比較，得：比較，得：（1）xxy第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)?shù)诙?xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng) h / la），圓孔半徑為），圓孔半徑為 a，在無(wú)限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力在無(wú)限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力 q 作用。作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。求：孔邊附近的應(yīng)力。孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第79頁(yè)/

30、共105頁(yè)（2）問(wèn)題的求解）問(wèn)題的求解 問(wèn)題分析問(wèn)題分析坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。),(rA 取一半徑為取一半徑為 r =b (ba），在其），在其上取一點(diǎn)上取一點(diǎn) A 的應(yīng)力：的應(yīng)力：OxybAqxArrrA由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：無(wú)限大圓板中間開有一圓孔的新問(wèn)題。無(wú)限大圓板中間開有一圓孔的新問(wèn)題。rrb孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第80頁(yè)

31、/共105頁(yè)rr新問(wèn)題的邊界條件可表示為：新問(wèn)題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）問(wèn)題問(wèn)題12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2sin2qrba問(wèn)題問(wèn)題2將外邊界條件（將外邊界條件（a）分解為兩部分：）分解為兩部分：孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第81頁(yè)/共105頁(yè)問(wèn)題問(wèn)題12qrba 問(wèn)題問(wèn)題1的解：的解：內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2qbrr0brr（b） 該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，其解為該問(wèn)題為軸對(duì)稱問(wèn)題，其解為2112222qbar

32、ar2112222qbara0r 當(dāng)當(dāng) ba 時(shí)，有時(shí)，有2122qrar2122qra0r（d）求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第82頁(yè)/共105頁(yè) 問(wèn)題問(wèn)題2的解：的解：rrba問(wèn)題問(wèn)題2（非軸對(duì)稱問(wèn)題）（非軸對(duì)稱問(wèn)題）內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrr2sin2qbrr（c）2sin2qr2cos2qr 由邊界條件（由邊界條件（c），可假設(shè)：），可假設(shè)： 為為 r 的某一函數(shù)的某一函數(shù)乘以乘以 ； 為為r 的某一函數(shù)乘以的某一函數(shù)乘以 。 r2cosr2sin 又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：22211rrrrrrr1 可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：可假

33、設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：2cos)(rf 將其代入相容方程：將其代入相容方程：011222222rrrr求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第83頁(yè)/共105頁(yè)02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd 與前面類似，與前面類似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 該方程的特征方程：該方程的特征方程：01644234特征根為：特征根為：, 41, 22, 0324方程的解為：方程的解為：tttDeCBeA

34、etf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrAr孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第84頁(yè)/共105頁(yè)2cos1224rDCBrArrrba問(wèn)題問(wèn)題22sin2qr2cos2qr 相應(yīng)的應(yīng)力分量：相應(yīng)的應(yīng)力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（對(duì)上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）, 有有內(nèi)邊界內(nèi)邊界0arr0arr外邊界外邊界2cos2qbrrsin2qarr（c） （e）孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題

35、的求解第85頁(yè)/共105頁(yè)孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解rrba問(wèn)題問(wèn)題22sin2qr2cos2qr264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a / b = 0，得，得, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入應(yīng)力分量式（代入應(yīng)力分量式（e）, 有有2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第86頁(yè)/共105頁(yè)將將問(wèn)題問(wèn)題1和和問(wèn)題問(wèn)題2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos31212

36、4422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-19）討論：討論： （1）沿孔邊，沿孔邊，r = a，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)2cos21 ( q3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 軸，軸， =90，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 基爾斯（基爾斯（G. Kirsch）解）解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第87頁(yè)/共105頁(yè)（3） 沿沿 x 軸，軸， =0，環(huán)向正應(yīng)力：，環(huán)向正應(yīng)力：

37、) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4）若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第88頁(yè)/共105頁(yè)（4）若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力若矩形薄板（或長(zhǎng)柱）受雙向拉應(yīng)力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：疊加后的應(yīng)力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19

38、）孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第89頁(yè)/共105頁(yè)（5） 任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力任意形狀薄板（或長(zhǎng)柱）受面力 作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。作用，在距邊界較遠(yuǎn)處有一小孔。只要知道無(wú)孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：只要知道無(wú)孔的應(yīng)力，就可計(jì)算孔邊的應(yīng)力，如：qqqqqqqq 45孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題的求解第90頁(yè)/共105頁(yè)用半逆解法求解。（1）假設(shè)應(yīng)力F為單位寬度上的力，按量綱分析，應(yīng)力 應(yīng)為:。rF 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力,0dd2dd122443fffr（2）推測(cè) 應(yīng)為).(rf （3）代入 ，得04 rrr第91頁(yè)/共1

39、05頁(yè)cos,(422)0rr2Fr 。當(dāng)當(dāng)F垂直于邊界垂直于邊界時(shí)，時(shí)， ，應(yīng)力解答應(yīng)力解答為為0半平面體在邊界上受集中力2(coscossinsin ),( )0rrFar 。相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的相應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力應(yīng)力 如式如式(4-23)所示。所示。xyyx,FxyOr2223)(2yxxFx2222)(2yxxyFy2222)(2yxyxFxy （4-24） 直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量第92頁(yè)/共105頁(yè)邊界沉陷計(jì)算PxyOrMM點(diǎn)的下沉量：2 uIEFrEF)1 (ln2 由于常數(shù) I 無(wú)法確定，所以只能求得的相對(duì)沉陷量。為此，在邊界上取一基準(zhǔn)點(diǎn)B，如圖所示。BsM點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)B

40、的沉陷為srrruu22IEFrEF)1 (ln2IEFsEF)1 (ln2rsEFln2簡(jiǎn)化后得：（4-25）符拉芒（A. Flamant）公式對(duì)平面應(yīng)變情形：rsEFln)1 (22邊界沉陷計(jì)算第93頁(yè)/共105頁(yè)應(yīng)力分量abxxdyxxqd2223)(2abyydyxyxqd2222)()(2abxyxydyxyxqd2222)()(2（4-26）式中，需將分布力集度 q 表示成 的函數(shù)，再進(jìn)行積分。應(yīng)力分量qddP OdMdP 作用在距原點(diǎn) 時(shí)，2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddxy第94頁(yè)/共105頁(yè)基本方程1. 平衡方程平衡方程rr1rrrr0rk021k

41、rrrrr（41）2. 幾何方程幾何方程rurrurrur1ruruurrr1（42）3. 物理方程物理方程)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21 平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形（43）4. 邊界條件邊界條件,rsruuuusrrrsslmfrsslmf位移邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：基本方程第95頁(yè)/共105頁(yè)按應(yīng)力求解基本步驟（1） 由問(wèn)題的條件求出滿足式（由問(wèn)題的條件求出滿足式（46）的應(yīng)力函數(shù)）的應(yīng)力函數(shù)),(r0112222224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：rr,（45）22r22211rrrrrrr1（

42、3） 將上述應(yīng)力分量將上述應(yīng)力分量rr,滿足問(wèn)題的邊界條件：滿足問(wèn)題的邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：,rsruuuus應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：rrrsslmfrsslmfuur,為邊界上已知位移，為邊界上已知位移，,rff為邊界上已知的面力分量。為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）（位移單值條件）按應(yīng)力求解基本步驟第96頁(yè)/共105頁(yè)平面軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法逆解法DCrrBrrA22lnln（411）CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：位移分量：位移分量：cossin4KIHrEBru（4-12）sincos)1

43、(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1平面軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法逆解法第97頁(yè)/共105頁(yè)圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題原問(wèn)題的轉(zhuǎn)換：原問(wèn)題的轉(zhuǎn)換：?jiǎn)栴}問(wèn)題12qrba2cos2qr2sin2qrba問(wèn)題問(wèn)題2軸對(duì)稱問(wèn)題軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱問(wèn)題非軸對(duì)稱問(wèn)題2cos)(rf2cos1224rDCBrAr非軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法半逆解法第98頁(yè)/共105頁(yè)4. 半平面問(wèn)題半平面問(wèn)題PxyOrxyOrMqxyOrqxyOraa)(xqxyOr)(rf)()(2fr)(3fr非軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法半逆解法非軸對(duì)稱問(wèn)題的求解方法半逆解法第99頁(yè)/共105頁(yè)第七章 空間

44、問(wèn)題的基本理論第100頁(yè)/共105頁(yè)目錄 平衡微分方程 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力 幾何方程及物理方程 軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程提 要第101頁(yè)/共105頁(yè)空間問(wèn)題結(jié)論總結(jié)0yxxzxxfxyz0yzyxyyfyzx0yzxzzzfzxy(7-1),xuxyzwvyz(7-8),yvyzxuwzx,zwzxyvuxy),(1zyxxE2(1)yzyzE1(),yyzxE2(1)zxzxE1(),zzxyE2(1)xyxyE(7-12)( 7-9 )( )svv 。( )suu 。( )sww 。()xyxzxsxl mnf()xyxzxsym nlf()xyxzxszn lmf(7-5)xyz(7-10)xyz 1 2E第102頁(yè)/共105頁(yè)第八章 空間問(wèn)題的解答第103頁(yè)/共105頁(yè) 按位移求解空間問(wèn)題 半空間體受重力及均布?jí)毫?半空間體在邊界上受法向集中力 按應(yīng)力求解空間問(wèn)題 等截面直桿的扭轉(zhuǎn) 扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)104提 要第104頁(yè)/共105頁(yè)感謝您的觀看！第105頁(yè)/共105頁(yè)