13、(2)v2>v1時：合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河。確定方法如下：如圖所示，以v2矢量末端為圓心，以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向航程最短。由圖可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d。
[針對訓練]
1.質量為2 kg的質點在x－y平面上做曲線運動，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖所示，下列說法正確的是( )
A.質點的初速度為3 m/s
B.2 s末質點速度大小為6 m/s
C.質點做曲線運動的加速度為3 m/s2
D.質點所受的合外力為3 N
解析 x軸方向初速度為vx＝3 m/s，y軸方向初速度
14、vy＝－4 m/s，質點的初速度v＝＝5 m/s，故A錯誤；2 s末質點x軸方向初速度為vx＝6 m/s，y軸方向初速度vy＝－4 m/s，質點2 s末的速度v＝＝2 m/s，B錯誤；x軸方向的加速度a＝1.5 m/s2，質點的合力F合＝ma＝3 N，故C錯誤，D正確。
答案 D
2.如圖所示，某登陸艦船頭垂直海岸從A點出發(fā)，分別沿路徑AB、AC在演練島嶼的BC兩點登陸。已知登陸艦在靜水中速度恒定且大于水速，則下列說法正確的是( )
A.沿AC航行所用時間較長
B.沿AC航行時水速較大
C.實際航速兩次大小相等
D.無論船頭方向如何，登陸艦都無法在A點正對岸登陸
解析 由航
15、行時間t＝可知，兩次航行時間相等，沿AC航行沿水流方向的位移大，說明此過程的水速度大，故A錯誤，B正確；根據速度的合成可知，實際航速兩次大小不相等，故C錯誤；當船頭偏向上游時，可以在A點正對岸登陸，故D錯誤。
答案 B
3.如圖所示，人拉繩在水平面上做勻速直線運動，下列情況中關于繩對物體的拉力與物體重力的比較，說法正確的是( )
A.若人向左運動，繩對物體的拉力大于物體重力；若人向右運動，則繩對物體的拉力小于物體重力
B.若人向左運動，繩對物體的拉力小于物體重力；若人向右運動，則繩對物體的拉力大于物體重力
C.不論人向左或向右運動，繩對物體的拉力均大于物體重力
D.不論人向左
16、或向右運動，繩對物體的拉力均小于物體重力
解析 設繩與水平方向夾角為α，人勻速運動速度的大小為v，則物體運動速度的大小為vcos α。人向左運動時，α增大，cos α減小，物體向下減速，處于超重狀態(tài)；人向右運動時，α減小，cos α增大，物體向上加速，也是超重狀態(tài)，故不論人向左或向右運動，繩對物體的拉力均大于物體重力，選項C正確。
答案 C
考點三 平拋運動(d/d)
[要點突破]
1.平拋運動的求解方略——運動分解
(2)時間相等是聯(lián)系兩個分運動的橋梁。
(3)注意速度、位移的合成與分解。
2.平拋運動的分解方法與技巧
(1)如果知道速度的大小或方向，應首先考慮分解速度
17、。
(2)如果知道位移的大小或方向，應首先考慮分解位移。
(3)兩種分解方法：
①沿水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動。
②沿斜面方向的勻加速運動和垂直斜面方向的勻減速運動。
3.平拋運動的兩個推論
(1)做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點和B點所示。
(2)做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ。
[典例剖析]
【例1】 如圖所示，兩個相對的斜面，傾角分別為α＝37°和β＝53°。在頂點把兩個小球以同樣大小的初
18、速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在斜面上。若不計空氣阻力，則a、b兩個小球的運動時間之比為( )
A.1∶1 B.4∶3
C.16∶9 D.9∶16
解析 對a有＝tan α，得ta＝①
對b有＝tan β，得tb＝②
將數值代入①②得ta∶tb＝9∶16。選項D正確。
答案 D
【例2】 如圖所示，一枚一元硬幣靜止在水平桌面上，被某學生用手指彈擊后(彈擊的時間很短)，以v0＝3 m/s的初速度在水平桌面上開始滑行x1＝0.5 m后離開桌面，硬幣落地點距桌面邊沿的水平距離為x2＝0.4 m，已知桌面高度h＝0.8 m，不計
19、空氣阻力，求：
(1)硬幣從桌面落到地面的時間；
(2)硬幣在桌面上滑行的時間；
(3)硬幣與桌面間的動摩擦因數。
解析 (1)從桌面落到地面，硬幣做平拋運動，
由h＝gt①
得t2＝，代入數據得t2＝0.4 s②
(2)設硬幣離開桌面時的速度為v，
由x2＝vt2，得v＝，代入數據得v＝1 m/s③
硬幣被彈擊后，做勻減速直線運動
由x1＝t1④
得t1＝，代入數據得t1＝0.25 s⑤
即硬幣在桌面上滑行的時間為0.25 s。
(3)硬幣在桌面上滑行的加速度大小
a＝＝8 m/s2
設硬幣與桌面間動摩擦因數為μ，
則μmg＝ma，故μ＝＝0.8。
答案
20、 (1)0.4 s (2)0.25 s (3)0.8
【方法總結】
平拋運動在豎直方向上分運動的規(guī)律
(1)速度的變化規(guī)律：任意相等時間間隔Δt內的速度變化量方向豎直向下，大小Δv＝gΔt相等。
(2)位移的變化規(guī)律：連續(xù)相等的時間間隔Δt內，豎直方向上的位移差不變，即Δy＝g(Δt)2。
[針對訓練]
1.(2016·浙江10月選考)一水平固定的水管，水從管口以不變的速度源源不斷地噴出，水管距地面高h＝1.8 m，水落地的位置到管口的水平距離x＝1.2 m。不計空氣及摩擦阻力，水從管口噴出的初速度大小是( )
A.1.2 m/s B.2.0 m/s
C.3.0 m/s
21、D.4.0 m/s
解析 水平噴出的水做平拋運動，根據平拋運動規(guī)律h＝gt2可知，水在空中的時間t＝＝0.6 s，根據x＝v0t可知水平速度為v0＝2 m/s 。因此選項B正確。
答案 B
2.如圖所示，以10 m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為θ＝30°的斜面上，g取10 m/s2，這段飛行所用的時間為( )
A. s B. s
C. s D.2 s
解析 如圖所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和豎直方向的分速度vy，則有＝。又vy＝gt，將數值代入以上兩式得t＝ s。選項C正確。
答案 C
3.如圖所示，從傾角為θ的足夠長
22、的斜面上的某點，先后將同一球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為α1，第二次初速度為v2，球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為α2，若v1>v2，則( )
A.α1>α2 B.α1＝α2
C.α1<α2 D.無法確定
解析 末速度與水平初速度的夾角為α＋θ，位移和水平初速度的夾角為θ，由平拋運動的推論有：2tan θ＝tan(α＋θ)，由上式可知α的大小與拋出速度的大小無關，即α1＝α2，選B。
答案 B
1.如圖所示，紅蠟塊可以在豎直玻璃管內的水中勻速上升，速度為v。若在紅蠟塊從A點開始勻速上升的同時，玻
23、璃管從AB位置由靜止開始水平向右做勻加速直線運動，加速度大小為a，則紅蠟塊的實際運動軌跡可能是圖中的( )
A.直線P B.曲線Q
C.曲線R D.無法確定
解析 蠟塊同時參與了兩個分運動，合運動的軌跡是直線還是曲線取決于合加速度與合初速度的方向關系：向上勻速運動，則向上的加速度為零，合加速度為水平向右的分運動的加速度，大小恒定且方向水平向右；水平向右初速度為零，則合初速度方向向上。由加速度恒定知蠟塊做勻變速運動；由初速度方向與加速度方向垂直知蠟塊做曲線運動，且軌跡向加速度的一側彎曲。
答案 B
2.(2017·嘉興模擬)如圖所示，小船過河時，船頭偏向上游與水流方向成α角，
24、船相對于靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸?，F水流速度稍有增大，為保持航線不變，且準時到達對岸，下列措施中可行的是( )
A.減小α角，增大船速v
B.增大α角，增大船速v
C.減小α角，保持船速v不變
D.增大α角，保持船速v不變
解析 船相對靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸，當水流速度稍有增大，為保持航線不變，且準時到達對岸，如圖所示，可知B正確，A、C、D錯誤。
答案 B
3.(2016·浙江4月選考)某卡車在公路上與路旁障礙物相撞。處理事故的警察在泥地中發(fā)現了一個小的金屬物體，經判斷，它是相撞瞬間車頂上一個松脫的零件被拋出而陷在泥里的。為了判斷卡車是否超速
25、，需要測量的量是( )
A.車的長度，車的重量
B.車的高度，車的重量
C.車的長度，零件脫落點與陷落點的水平距離
D.車的高度，零件脫落點與陷落點的水平距離
解析 零件被拋出做平拋運動，且平拋運動的初速度等于卡車原來的速度，則
h＝gt2
x＝v0t
解得v0＝x
要測量卡車原來的速度，只要測出零件平拋運動的初速度，由上知，需要測量的量是車的高度h，零件脫落點與陷落點的水平距離x。故D正確。
答案 D
4.(2017·杭州模擬)如圖所示，三角尺緊貼在固定的刻度尺上方，使三角尺沿刻度尺水平向右勻速運動的同時，一支鉛筆沿著三角板直角邊，從最下端由靜止開始向上做勻加速直線運
26、動。關于鉛筆筆尖的運動，下列判斷中正確的是( )
A.筆尖的軌跡是一條傾斜的直線
B.筆尖的軌跡是一條拋物線
C.在運動過程中，筆尖運動的速度方向始終保持不變
D.在運動過程中，筆尖運動的加速度方向發(fā)生變化
解析 由運動的合成可知，筆尖的軌跡是一條拋物線，B選項正確；筆尖運動速度方向時刻改變，但加速度方向不變，C、D項錯誤。
答案 B
5.如圖所示，一艘炮艇沿長江由西向東快速行駛，在炮艇上發(fā)射炮彈射擊北岸正北方向的目標。要擊中目標，射擊方向應( )
A.對準目標
B.偏向目標的西側
C.偏向目標的東側
D.無論對準哪個方向都無法擊中目標
解析 炮彈的實際速度
27、方向沿目標方向，該速度是船的速度與射擊速度的合速度，根據平行四邊形定則，知射擊的方向偏向目標的西側。故B正確，A、C、D錯誤。
答案 B
6.(2017·湖州模擬)如圖所示，水平平臺AO長x＝2.0 m，槽寬d＝0.10 m，槽高h＝1.25 m，現有一小球從平臺上A點水平射出，已知小球與平臺間的阻力為其重力的0.1倍，空氣阻力不計。
(1)求小球在平臺上運動的加速度大??；
(2)為使小球能沿平臺到達O點，求小球在A點的最小出射速度和此情景下小球在平臺上的運動時間；
(3)若要保證小球不碰槽壁且恰能落到槽底上的P點，求小球離開O點時的速度大小。
解析 (1)小球在平臺上沿水平方
28、向只受到摩擦力的作用，所以ma＝kmg
解得a＝＝kg＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2。
(2)為使小球能射入槽中，小球的最小出射速度滿足到達O點速度為零
由運動學公式v＝2ax
代入數據解得v1＝2 m/s
由勻變速直線運動規(guī)律知0－v1＝－at1
聯(lián)立以上式子得t1＝2 s。
(3)小球不碰槽壁且恰能落到槽底上的P點
水平方向d＝v2t2，豎直方向h＝gt
解得t2＝0.5 s
聯(lián)立得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s。
答案 (1)1 m/s2 (2)2 m/s 2 s (3)0.2 m/s
[基礎過關]
1.下列對曲線運動的理解正確的是( )
A.
29、物體做曲線運動時，加速度一定變化
B.做曲線運動的物體不可能受恒力作用
C.曲線運動可以是勻變速曲線運動
D.做曲線運動的物體，速度的方向可以不變
解析 當物體受到恒力作用且力與速度方向不共線時，物體就做加速度恒定的曲線運動，故A、B錯誤，C正確；做曲線運動的物體速度方向一定變化，故D錯誤。
答案 C
2.如圖所示，某同學將一枚飛鏢從高于靶心的位置水平投向豎直懸掛的靶盤，結果飛鏢打在靶心的正下方。忽略飛鏢運動過程中所受空氣阻力，在其他條件不變的情況下，為使飛鏢命中靶心，他在下次投擲時可以( )
A.換用質量稍大些的飛鏢
B.適當增大投飛鏢的高度
C.到稍遠些的地方投飛鏢
30、
D.適當減小投飛鏢的初速度
解析 飛鏢做的是平拋運動，飛鏢打在靶心的正下方說明飛鏢豎直方向的位移太大，根據平拋運動的規(guī)律可得，水平方向上x＝v0t，豎直方向上h＝gt2，所以要想減小飛鏢豎直方向的位移，在水平位移不變的情況下，可以適當增大投飛鏢的初速度來減小飛鏢的運動時間，故D錯誤；初速度不變時，時間不變，適當增大投飛鏢的高度，可以使飛鏢命中靶心，飛鏢的質量不影響平拋運動的規(guī)律，故A錯誤，B正確；在稍遠些地方投飛鏢，則運動時間變長，下落的位移變大，不會擊中靶心，故C錯誤。
答案 B
3.已知河水自西向東流動，流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2＞v1，用小箭頭表示船頭的指向及
31、小船在不同時刻的位置，虛線表示小船過河的路徑，則下圖中可能的是( )
A.①③ B.②③
C.③④ D.①④
解析 小船的實際速度應該是v1和v2的合速度，根據速度合成的平行四邊形定則知只有③、④圖有可能。
答案 C
4.(2017·紹興模擬)如圖所示，塔吊臂上有一可以沿水平方向運動的小車A，小車下裝有吊著物體B的吊鉤，在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速向右運動的同時，吊鉤豎直向上(設為正方向)的運動規(guī)律為d＝H－2t2(SI)(SI表示國際單位制，式中d為A、B之間的距離，H為吊臂離地面的高度)，則物體( )
A.做加速度大小、方向均變化的曲線運動
32、
B.做速度增大的曲線運動，加速度為4 m/s2
C.受到的合力豎直向上，加速度為－4 m/s2
D.受到的合力向上偏右，加速度大于4 m/s2
解析 物體B參與水平方向的勻速運動和豎直向上的勻加速運動，加速度的大小為4 m/s2，方向豎直向上，加速度不變，合運動為曲線運動，速度一直增大，B正確。
答案 B
5.如圖所示，P是水平地面上的一點，A、B、C、D在同一條豎直線上，且AB＝BC＝CD。從A、B、C三點分別水平拋出一個物體，這三個物體都落在水平地面上的P點。則三個物體拋出時的速度大小之比vA∶vB∶vC為( )
A.∶∶ B.1∶∶
C.1∶2∶3 D.1∶1
33、∶1
解析 由平拋運動的規(guī)律可知豎直方向上：h＝gt2，水平方向上：x＝v0t，兩式聯(lián)立解得v0＝x，知v0∝。由于hA＝3h，hB＝2h，hC＝h，代入上式可知選項A正確。
答案 A
6.一階梯如圖所示，其中每級臺階的高度和寬度都是0.4 m，一小球以水平速度v飛出，g取10 m/s2，欲打在第四臺階上，則v的取值范圍是( )
A. m/s
34、.4
35、 m，2 m/s D.1.50 m，2 m/s
解析 由題意可知彈丸從P點射出時的速度方向就是半徑OP的方向。即與水平方向成37度夾角，由平拋運動規(guī)律＝，vy＝gt，h＋Rsin 37°＝，R＋Rcos 37°＝v0t解得h＝0.15 m，v0＝4 m/s，故選A。
答案 A
[能力提升]
8.(2017·金華模擬)斜面上有a、b、c、d四個點，如圖所示，ab＝bc＝cd，從a點正上方的O點以速度v水平拋出一個小球，它落在斜面上b點，若小球從O點以速度2v水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的( )
A.b與c之間某一點 B.c點
C.c與d之間某一點 D.d點
解
36、析 假設斜面是一層很薄的紙，小球落到斜面上就可穿透且不損失能量。過b點作水平線交Oa于點a′，由于小球從O點以速度v水平拋出時，落在斜面上b點，則小球從O點以速度2v水平拋出時，穿透斜面后應落在水平線a′b延長線上的c′點，且a′b＝bc′，如圖所示，因ab＝bc，則c′點在c點的正下方。顯然其軌跡交于斜面上b與c之間，所以本題應選A。
答案 A
9.(2016·浙江金華學考模擬)如圖所示，P是水平面上的圓弧凹槽。從高臺邊B點以某速度v0水平飛出的小球，恰能從固定在某位置的凹槽的圓弧道的左端A點沿圓弧切線方向進入軌道。O是圓弧的圓心，θ1是OA與豎直方向的夾角，θ2是BA與豎直方向的夾
37、角。則( )
A.＝2 B.tan θ1·tan θ2＝2
C.＝2 D.＝2
解析 由題意可知：tan θ1＝＝，tan θ2＝＝＝，所以tan θ1·tan θ2＝2，故B正確。
答案 B
10.(2016·紹興一中9月)橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如圖所示。它們的豎直邊長都是底邊長的一半?，F有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋，最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c。下列判斷正確的是( )
A.三小球比較，落在a點的小球飛行時間最短
B.三小球比較，落在c點的小球飛行過程速度變化最大
C.三小球比較，落在c點的小
38、球飛行過程速度變化最快
D.無論小球拋出時初速度多大，落到斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直
解析 三個小球做平拋運動，從圖中可知落在a點的小球下落的高度最大，根據t＝可得落在a點的小球運動時間最長，A錯誤；三個小球都做平拋運動，加速度都等于重力加速度，所以三個小球在飛行過程中速度變化率是一樣的，根據公式Δv＝gt可得落在a點的小球的速度變化量最大，故B、C錯誤；首先落在a點的小球不可能與斜面垂直；b、c點豎直速度是gt，水平速度是v，然后斜面的夾角是θ，要合速度垂直斜面，把兩個速度合成后，需要＝tan θ＝，即v＝0.5gt，那么在經過t時間內，豎直位移為0.5gt2，水平位移為vt＝(
39、0.5gt)·t＝0.5gt2即若要滿足這個關系，需要水平位移和豎直位移都是一樣的，顯然在圖中b、c是不可能完成的，因為在b、c上水平位移必定大于豎直位移，所以落到兩個斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直，故D正確。
答案 D
11.如圖所示，民族運動會上有一個騎射項目，運動員騎在奔馳的馬背上沿跑道AB運動，拉弓放箭射向他左側的固定目標。假設運動員騎馬奔馳的速度為v1，運動員靜止時射出的箭速度為v2，跑道離固定目標的最近距離OA＝d。若不計空氣阻力的影響，要想命中固定目標且射出的箭在空中飛行時間最短，則( )
A.運動員放箭處離固定目標的距離為d
B.運動員放箭處離固定目標的距離為
40、d
C.箭射到固定目標的最短時間為
D.箭射到固定目標的最短時間為
解析 射出的箭同時參與了v1、v2兩個運動，要想命中目標且射出的箭在空中飛行時間最短，箭射出的方向應與馬運動的方向垂直，則由分運動與合運動的等時性關系可知最短時間t＝，箭的速度v＝，所以運動員放箭處離固定目標的距離為s＝vt＝d。
答案 A
12.如圖為一次洪災中，德國聯(lián)邦國防軍的直升機在小城洛伊寶根運送砂袋。該直升機A用長度足夠長的懸索(重力可忽略不計)系住一質量m＝50 kg的砂袋B，直升機A和砂袋B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向勻速運動，某時刻開始將砂袋放下，在5 s時間內，B在豎直方向上移動的距離以
41、y＝t2(單位：m)的規(guī)律變化，取g＝10 m/s2。求在5 s末砂袋B的速度大小及位移大小。
解析 砂袋在水平方向上做勻速直線運動，v0＝10 m/s
在豎直方向上砂袋的位移y＝t2，即砂袋在豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝2 m/s2
砂袋5 s末在豎直方向上的速度為vy＝at＝10 m/s
合速度v＝＝10 m/s
豎直方向上的位移y＝at2＝25 m
水平方向上的位移x＝v0t＝50 m
合位移s＝＝25 m。
答案 10 m/s 25 m
13.如圖所示為“快樂大沖關”節(jié)目中某個環(huán)節(jié)的示意圖。參與游戲的選手會遇到一個人造山谷AOB，AO是高h＝
42、3 m的豎直峭壁，OB是以A點為圓心的弧形坡，∠OAB＝60°，B點右側是段水平跑道。選手可以自A點借助繩索降到O點后再爬上跑道，但身體素質好的選手會選擇自A點直接躍上水平跑道。選手可視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若選手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若選手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求該選手在空中的運動時間。
解析 (1)若選手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，則
水平方向有hsin 60°≤v0t，
豎直方向中有hcos 60°＝gt2
解得v0≥ m/s
(2)若選手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1
（浙江專版）2019版高考物理大一輪復習 第四章 曲線運動 萬有引力與航天 第1課時 曲線運動 平拋運動學案
