2013高考數(shù)學總復習 10-4事件與概率基礎鞏固強化練習 新人教A版

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1、 10-4事件與概率 基礎鞏固強化 1.(文)(2011·長沙調研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件．那么(　　) A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 [答案]　B [解析]　∵互斥事件一定是對立事件，∴甲?乙，但對立不一定互斥，∴乙?/ 甲，故選B. (理)袋中裝有白球3個，黑球4個，從中任取3個 ①恰有1個白球和全是白球； ②至少有1個白球和全是黑球； ③至少有1個白球和至少有2個白球； ④至少有1個白球和至少有1個黑球． 在上述事件中，是對立事件的為

2、(　　) A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ [答案]　B [解析]　∵“至少一個白球”和“全是黑球”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生． 2．(文)甲、乙兩人隨意入住兩個房間，則甲乙兩人恰住在同一間房的概率為(　　) A.　　 　B.　　 　C.　　 　D．1 [答案]　B [解析]　將兩個房間編號為(1,2)，則所有可能入住方法有：甲住1號房，乙住2號房，甲住2號房，乙住1號房，甲、乙都住1號房，甲、乙都住2號房，共4種等可能的結果，其中甲、乙恰住在同一房間的情形有2種， ∴所求概率P＝. (理)從集合{1,3,6,8}中任取兩個數(shù)相乘，積是偶數(shù)的概率是(　　)

3、 A. B. C. D. [答案]　A [解析]　所有可能取法有{(1,3)，(1,6)，(1,8)，(3,6)，(3,8)，(6,8)}，只有(1,3)構不成積是偶數(shù)， ∴P＝，故選A. 3．(2012·皖南八校第三次聯(lián)考)某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質檢人員從中隨機抽取2聽進行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　記4聽合格的飲料分別為A1、A2、A3、A4,2聽不合格的飲料分別為B1、B2，則從中隨機抽取2聽有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B

4、1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15種不同取法，而至少有一聽不合格飲料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9種，故所求概率為P＝＝，選B. 4．(文)(2011·安徽“江南十?！甭?lián)考)第16屆亞運會于2010年11月12日在中國廣州舉行，運動會期間有來自A大學2名和B大學4名的大學生志愿者，現(xiàn)從這6名志愿者中隨機抽取2人到體操比賽場

5、館服務，至少有一名A大學志愿者的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　若這2名大學生來自兩所大學，則P1＝＝；若這2名大學生均來自A大學，則P2＝.故至少有一名A大學生志愿者的概率是＋＝. [點評]　由對立事件概率公式知，有另解P＝1－＝. (理)(2012·山西聯(lián)考)連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角記為α，則α∈(0，)的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　依題意得，連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，可得到的向量a＝(m，n)共有6×6＝

6、36個，由向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈(0，)得nn與m

7、數(shù)字鍵，則它敲擊兩次(每次只敲擊一個數(shù)字鍵)得到的兩個數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　0～9這十個數(shù)字鍵，任意敲擊兩次共有10×10＝100種不同結果，在0～9中是3的倍數(shù)的數(shù)字有0,3,6,9，敲擊兩次都是3的倍數(shù)共有4×4＝16種不同結果，∴P＝＝. 6．(2012·安徽文，10)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　1個紅球記作R,2個白球記作B1、B2,3個黑球

8、記作H1、H2、H3，則從中任取2個球的所有方法種數(shù)有如下15種：RB1，RB2，RH1，RH2，RH3，B1B2，B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，H1H2，H1H3，H2H3，而兩球顏色為一黑一白的種數(shù)有如下6種：B1H1，B1H2，B1H3，B2H1，B2H2，B2H3，所以所求概率為＝. [點評]　準確求出古典概型概率公式p＝中的m、n是解題關鍵，通常有列舉法、樹狀圖法、坐標系法等． 7．(文)某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則他們在同一個食堂用餐的概率為________． [答案]　 [解析]　每人用餐有兩種情況，

9、故共有23＝8種情況．他們在同一食堂用餐有2種情況，故他們在同一食堂用餐的概率為＝. (理)拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為x，y，則為整數(shù)的概率是________． [答案]　 [解析]　將拋擲甲、乙兩枚質地均勻的正四面體所得的數(shù)字x，y記作有序實數(shù)對(x，y)，共包含16個基本事件，其中為整數(shù)的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8個基本事件，故所求概率為 P＝＝. 8．(2011·廣東高州模擬)某市派出甲、乙兩支球隊參加全省足球冠軍賽，甲、乙兩隊奪

10、取冠軍的概率分別是和，則該市足球隊奪得全省足球冠軍的概率是________． [答案]　 [解析]　設事件A：甲球隊奪得全省足球冠軍，B：乙球隊奪得全省足球冠軍，事件C：該市足球隊奪得全省足球冠軍．依題意P(A)＝，P(B)＝，且C＝A＋B，事件A、B互斥，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 9．(文)(2012·寧夏三市聯(lián)考)將一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________． [答案]　 [解析]　圓心(2,0)到直線ax－by＝0的距離d＝，當d<時，直線與圓相交，解<得b>a，滿足題意的b>a共

11、有15種情況，又易知將一顆骰子投擲兩次分別得到點數(shù)a，b的基本情況共有36種，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為P＝＝. (理)已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一個數(shù)，則雙曲線的離心率大于3的概率是________． [答案]　 [解析]　e>3，即>3，∴>9， ∴>2，即m>2， ∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝. 10．(2012·河南六市模擬)某班50名學生在一次數(shù)學測試中，成績全部介于50與100之間，將測試結果按如下方式分成五組；第一組[50,

12、60)，第二組[60,70)，…，第五組[90,100]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖． (1)若成績大于或等于60且小于80，認為合格，求該班在這次數(shù)學測試中成績合格的人數(shù)； (2)從測試成績在[50,60)∪[90,100]內的所有學生中隨機抽取兩名同學，設其測試成績分別為m、n，求事件“|m－n|>10”的概率． [解析]　(1)由直方圖知，成績在[60,80)內的人數(shù)為50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以該班在這次數(shù)學測試中成績合格的有29人． (2)由直方圖知，成績在[50,60)的人數(shù)為50×10×0.004＝2，設成績?yōu)閤、y；成績在[90,

13、100]的人數(shù)為50×10×0.006＝3，設成績?yōu)閍、b、c， 若m，n∈[50,60)，則只有xy一種情況． 若m，n∈[90,100]，則有ab，bc，ac三種情況， 若m，n分別在[50,60)和[90,100]內，則有 　a　 b　　c x xa xb xc　　共6種情況． y ya yb yc 所以基本事件總數(shù)為10種，事件“|m－n|>10”所包含的基本事件有6種， ∴P(|m－n|>10)＝＝. [點評]　(1)在頻率分布直方圖中，組距是一個固定值，各矩形面積和為1；(2)通過頻率分布直方圖的識讀獲取信息是解決這一類問題的關鍵. 能力拓展提升

14、11.下面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損．則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　甲＝＝90，乙＝.由甲>乙，得x<96，故被污損的數(shù)字可能是0,1，…，5，共6個數(shù)字，故甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為＝. 12．(文)(2011·濱州月考)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P(m，n)落在直線x＋y＝5下方的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　試驗是連續(xù)擲兩次骰子．故共包含6×6＝36個基本事

15、件．事件“點P(m，n)落在直線x＋y＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6個基本事件，故P＝＝. (理)(2012·河南質量調研)在區(qū)間[0,1]上任意取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個零點的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　由已知a、b在區(qū)間[0,1]上，所以f ′(x)＝x2＋a≥0，函數(shù)f(x)在[－1,1]內是增函數(shù)， ∵f(x)在[－1,1]上有且僅有一個零點， ∴即 在坐標平面aOb中，畫出不等式組與不等式組表示的平面區(qū)域，易

16、知，這兩個不等式組表示的平面區(qū)域的公共區(qū)域的面積等于12－×(1－)×＝，而不等式組表示的平面區(qū)域的面積為1，因此所求的概率等于，選A. 13．(2012·龍巖質檢)若在區(qū)間[－5,5]內隨機地取出一個數(shù)a，則1∈{x|2x2＋ax－a2>0}的概率為________． [答案]　 [解析]　∵1∈{x|2x2＋ax－a2>0}，∴a2－a－2<0， ∴－1

17、個)元素．方程組只有一個解等價于直線ax＋by＝3與x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而滿足b＝2a的點只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3個，故方程組只有一個解的概率為＝. 15．(文)(2011·山東濟南一模)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率． [解析]　(1)設“a∥b”為事件A，由a∥b，得x＝2y.基本事件有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(

18、1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12個基本事件； 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2個基本事件． 故P(A)＝＝. (2)設“a，b的夾角是鈍角”為事件B，由a，b的夾角是鈍角，可得 a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y. Ω＝， B＝(x，y) ，作出可行域如圖， 可得P(B)＝＝＝. (理)已知直線l1：x－2y－1＝0，直線l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}． (1)求直線l1∥l2的概率； (2)求直線l1與l2的交點位于第一象限的概率． [解析]　(1)由題知，直線l1的斜率為k1＝

19、，直線l2的概率為k2＝. 記事件A為“直線l1∩l2＝?”． a，b∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(5,6)，(6,6)}，其中共有36個基本事件． 若l1∥l2，即k1＝k2，則有b＝2a. 滿足條件的實數(shù)對(a，b)有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3種情形． 所以P(A)＝＝. 即直線l1∥l2的概率為. (2)設事件B為“直線l1與l2的交點位于第一象限”，由于直線l1與l2有交點，所以b≠2a. 由解得， 因為直線l1與l2的交點位于第一象限，所以 即解得

20、b>2a. ∵a，b∈{1,2,3,4,5,6}， ∴基本事件總數(shù)共有36種． 滿足b>2a的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6種，∴P＝＝， 即直線l1與l2交點在第一象限的概率為. 16．(文)已知實數(shù)a，b∈{－2，－1,1,2}． (1)求直線y＝ax＋b不經過第四象限的概率； (2)求直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點的概率． [解析]　由于實數(shù)對(a，b)的所有取值為： (－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1

21、)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16種． (1)設“直線y＝ax＋b不經過第四象限”為事件A 若直線y＝ax＋b不經過第四象限，則必須滿足a≥0，b≥0，則事件A包含4個基本事件， ∴P(A)＝＝， ∴直線y＝ax＋b不經過第四象限的概率為. (2)設“直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點”為事件B，則需滿足≤1，即b2≤a2＋1， ∴事件B包含12個基本事件，∴P(B)＝＝， ∴直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點的概率為. (理)(2011·山東聊城模擬)已知某單位有50名職工，現(xiàn)要從中抽取10名職工，將全體職工隨

22、機按1～50編號，并按編號順序平均分成10組，按各組內抽取的編號依次增加5進行系統(tǒng)抽樣． (1)若第5組抽出的號碼為22，寫出所有被抽出職工的號碼； (2)分別統(tǒng)計這10名職工的體重(單位：kg)，獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方差； (3)在(2)的條件下，從這10名職工的體重不輕于73kg(≥73kg)的職工中隨機抽取2名，求體重為76kg的職工被抽取到的概率． [解析]　(1)由題意，第5組抽出的號碼為22. 因為2＋5×(5－1)＝22， 所以第1組抽出的號碼為2，抽出的10名職工的號碼分別為：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)

23、因為10名職工的平均體重為 ＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59) ＝71 所以樣本方差為： s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122) ＝52. (3)解法1：從10名職工中的體重不輕于73kg的職工中隨機抽取2名，共有10種不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)． 設A表示“抽到體重為76kg的職工”，則A包含的基本事件有4個：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，

24、 故所求概率為P(A)＝＝. 解法2：10名職工中，體重不輕于73kg的職工有5名，從中任取2名有C＝10種不同取法，其中體重76kg的職工被抽到的有4種取法，∴所求概率P＝＝. 1．在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從到會教師中隨機挑選一人表演節(jié)目．如果每位教師被選到的概率相等，而且選到男教師的概率為，那么參加這次聯(lián)歡會的教師共有(　　) A．360人 B．240人 C．144人 D．120人 [答案]　D [解析]　設到會男教師x人，則女教師為x＋12人，由條件知，＝，∴x＝54，∴2x＋12＝120，故選D. 2．(2011·溫州八校期末)

25、已知α、β、γ是不重合平面，a、b是不重合的直線，下列說法正確的是(　　) A．“若a∥b，a⊥α，則b⊥α”是隨機事件 B．“若a∥b，a?α，則b∥α”是必然事件 C．“若α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β”是必然事件 D．“若a⊥α，a∩b＝P，則b⊥α”是不可能事件 [答案]　D [解析]　?b⊥α，故A錯；?b∥α或b?α，故B錯；當α⊥γ，β⊥γ時，α與β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C錯；如果兩條直線垂直于同一個平面，則此二直線必平行，故D為真命題． 3．(2011·奉賢區(qū)檢測)在一次讀書活動中，一同學從4本不同的科技書和2本不同的文藝書中任選3本，則所選的書中既有科技

26、書又有文藝書的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　因為文藝書只有2本，所以選取的3本書中必有科技書，這樣問題就等價于求選取的3本書中有文藝書的概率．設4本不同的科技書為a，b，c，d,2本不同的文藝書為e，f，則從這6本書中任選3本的可能情況有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20種，記“選取的3本書中有文藝書”為事件A，則事件包含的可能情況有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4種， 故P(A)＝1－P()＝1－＝. 4．已知a、b、c為集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三個不同的數(shù)，如下框圖給出的一個算法運行后輸出一個整數(shù)a，則輸出的數(shù)a＝5的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　由程序框圖知，輸入a、b、c三數(shù)，輸出其中的最大數(shù)，由于輸出的數(shù)為5，故問題為從集合A中任取三個數(shù)，求最大數(shù)為5的概率，∴P＝＝. - 12 -