2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧用矩形面積公式

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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧用矩形面積公式 　　同學(xué)們都知道求正方形和長方形面積的公式： 　　正方形的面積=a×a(a為邊長)， 　　長方形的面積=a×b(a為長，b為寬)。 　　利用這兩個(gè)公式可以計(jì)算出各種各樣的直角多邊形的面積。例如，對(duì)左下圖，我們無法直接求出它的面積，但是通過將它分割成幾塊，其中每一塊都是正方形或長方形(見右下圖)，分別計(jì)算出各塊面積再求和，就得出整個(gè)圖形的面積。 例1 右圖中的每個(gè)數(shù)字分別表示所對(duì)應(yīng)的線段的長度(單位：米)。這個(gè)圖形的面積等于多少平方米？ 　 分析與解：將此圖形分割成長方形有下面兩種較簡單的方法，圖形都被分割成三個(gè)長

2、方形。根據(jù)這兩種不同的分割方法，都可以計(jì)算出圖形的的面積。 　　5×2＋(5＋3)×3＋(5＋3＋4)×2=58(米2)； 　　或 　　5×(2＋3＋2)＋3×(2＋3)＋4×2＝58(米2)。 　　上面的方法是通過將圖形分割成若干個(gè)長方形，然后求圖形面積的。實(shí)際上，我們也可以將圖形“添補(bǔ)”成一個(gè)大長方形(見下圖)，然后利用大長方形與兩個(gè)小長方形的面積之差，求出圖形的面積。 　　(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米2)； 　　或 　　(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米2)。 　　由例1看出，計(jì)算直角多邊形面積，主

3、要是利用“分割”和“添補(bǔ)”的方法，將圖形演變?yōu)槎鄠€(gè)長方形的和或差，然后計(jì)算出圖形的面積。其中“分割”是最基本、最常用的方法。 例2 右圖為一個(gè)長50米、寬25米的標(biāo)準(zhǔn)游泳池。它的四周鋪設(shè)了寬2米的白瓷地磚(陰影部分)。求游泳池面積和地磚面積。 分析與解：游泳池面積=50×25＝1250(米2)。 　　求地磚面積時(shí)，我們可以將陰影部分分成四個(gè)長方形(見下圖)，從而可得白瓷地磚的面積為 　　(2＋25＋2)×2×2＋50×2×2＝316(米2)； 　　或 　　(2＋50＋2)×2×2＋25×2×2＝316(米2)。 　　求地磚的面積，我們還可以通過“挖”的方法，即從大長方形內(nèi)

4、“挖掉”一個(gè)小長方形(見右圖)。從而可得白瓷地磚面積為 　　(50＋2＋2)×(25＋2＋2)-50×25 　　=316(米2)。 例3 下圖中有三個(gè)封閉圖形，每個(gè)封閉圖形均由邊長為1厘米的小正方形組成。試求各圖形的面積。 　 解：每個(gè)小方格的面積為1厘米2。 　圖(1)可分成四個(gè)凸出塊和一個(gè)中間塊，這五塊的面積都是2×2＝4(厘米2)。圖(1)的面積為 　　4×5＝20(厘米2)。 　　圖(2)可以看成是從長7厘米、寬6厘米的長方形中，“挖掉”4個(gè)邊長為2厘米的正方形。它的面積等于 　　7×6-(2×2)×4=26(厘米2)。 　　圖(3)像個(gè)寶鼎，豎行分割，從左至右

5、分成五塊，每塊面積依次為2，5，3，5，2厘米2，總面積為 　　2＋5＋3＋5＋2＝17(厘米2)。 例3中分割成正方形、長方形的方法很多，因而具體計(jì)算面積的方法也很多。由于圖形內(nèi)所含方格數(shù)不多，所以也可以通過數(shù)圖中小方格的數(shù)目來求得面積。 例4 一個(gè)長方形的周長是22厘米。如果它的長和寬都是整數(shù)厘米，那么這個(gè)長方形的面積(單位：厘米2)有多少種可能值？最大、最小各是多少？ 解：因?yàn)殚L方形的周長是22厘米，所以它的長、寬之和是22÷2＝11(厘米)?？紤]到長、寬都是整數(shù)厘米，只有如下情形： 　　所以，這個(gè)長方形的面積有五種可能值：10，18，24，28，30厘米2。最大是30厘米2，

6、最小是10厘米2。 附送： 2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 差倍應(yīng)用題 　　與和倍應(yīng)用題相似的是差倍應(yīng)用題。它的“基本數(shù)學(xué)格式”是： 　　已知大、小二數(shù)之“差”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。 　　上面的問題中，有“差”、有“倍數(shù)”，所以叫做差倍應(yīng)用題。差倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖表示： 　　從線段圖知，“差”是小數(shù)(即“1倍”數(shù))的(倍數(shù)-1)倍，所以， 　　小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。 　　上式稱為差倍公式。由此得到 　　大數(shù)=小數(shù)+差， 　　或 　　大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。 　　例如，大、小數(shù)之差是152，大數(shù)是小數(shù)的5

7、倍，則 　　小數(shù)=152÷(5-1)=38， 　　大數(shù)=38＋152=190或38×5＝190。 例1 王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個(gè)，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？ 　　分析：師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個(gè)。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù)，“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。 解：徒弟一天生產(chǎn)零件 　　128÷(3-1)=64(個(gè))， 　　師傅一天生產(chǎn)零件 　　128＋64＝192(個(gè))或64×3＝192(個(gè))。 　　答：徒弟、師傅一天分別生產(chǎn)零件64個(gè)和192個(gè)。 例2 兩根電線的長相差30米，長的那根的長是短

8、的那根的長的4倍。這兩根電線各長多少米？ 解：“差”＝30，倍數(shù)=4，由差倍公式得短的電線長 　　30÷(4-1)＝10(米)， 　　長的電線長 　　10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。 　　答：短的電線長10米，長的電線長40米。 　　解差倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)是誰，“差”是什么。上兩例中，“1倍”數(shù)及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個(gè)稍有變化，不直接給出“差”和“1倍”數(shù)的例子。 例3 甲、乙二工程隊(duì)，甲隊(duì)有56人，乙隊(duì)有34人。兩隊(duì)調(diào)走同樣多人后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的3倍。問：調(diào)動(dòng)后兩隊(duì)各還有多少人？ 　　分析：畫線段圖如下： 　　由上圖可知，“

9、1倍”數(shù)是乙隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊(duì)調(diào)走的人數(shù)相同(不影響他們二隊(duì)人數(shù)之差)，所以，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)之差仍是56-34=22(人)。 解：由差倍公式得調(diào)動(dòng)后乙隊(duì)有 　　(56-34)÷(3-1)=11(人)。 　　調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有 　　11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。 　　答：調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有33人，乙隊(duì)有11人。 例4 甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時(shí)，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？ 分析與解：畫線段圖如下： 　 　　從上圖知，當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的

10、3倍，所以，“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的油?！安睢笔鞘裁茨兀繌膱D中可知，“1倍”與“3倍”之間的差26＋14＝40(千克)就是我們要找的“差”。所以，由差倍公式知， 　　“1倍”數(shù)=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。 　　故甲、乙桶原來各有油 　　20＋26＝46(千克)， 　　或 20×3-14＝46(千克)。 　　答：原來各有46千克。 例5 小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時(shí)小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？ 分析與解：“小雨的書比小云的書多2倍”，即小雨的書是小云的書的3倍。這個(gè)“倍數(shù)”是變化后的，所以“1倍”數(shù)應(yīng)是小云變化后的書(見下圖)。“差”是 　　20＋5＋11＝36(本)。 　　根據(jù)和差公式得： 　　小云現(xiàn)有書 　　(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)。 　　小云原來有書18＋5＝23(本)， 　　小雨原來有書23＋20＝43(本)。 　　答：原來小云有23本書，小雨有43本書。