2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被25整除的數(shù)的特征

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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被2，5整除的數(shù)的特征 　　同學(xué)們都知道，自然數(shù)和0統(tǒng)稱為(非負(fù))整數(shù)。同學(xué)們還知道，兩個(gè)整數(shù)相加，和仍是整數(shù)；兩個(gè)整數(shù)相乘，乘積也是整數(shù)；兩個(gè)整數(shù)相減，當(dāng)被減數(shù)不小于減數(shù)時(shí)，差還是整數(shù)。兩個(gè)整數(shù)相除時(shí)，情況就不那么簡(jiǎn)單了。如果被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)，我們就說這個(gè)被除數(shù)能被這個(gè)除數(shù)整除；否則，就是不能整除。例如， 　　84能被2，3，4整除，因?yàn)?4÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整數(shù)。 　　而84不能被5整除，因?yàn)?4÷5=16……4，有余數(shù)4。也不能被13整除，因?yàn)?4÷13=6……6，有余數(shù)6。 　　因

2、為0除以任何自然數(shù)，商都是0，所以0能被任何自然數(shù)整除。 　　這一講的內(nèi)容是能被2和5整除的數(shù)的特征，也就是討論什么樣的數(shù)能被2或5整除。 　　1.能被2整除的數(shù)的特征 　　因?yàn)槿魏握麛?shù)乘以2，所得乘數(shù)的個(gè)位數(shù)只有0，2，4，6，8五種情況，所以，能被2整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是0，2，4，6或8。也就是說，凡是個(gè)位數(shù)是0，2，4，6，8的整數(shù)一定能被2整除，凡是個(gè)位數(shù)是1，3，5，7，9的整數(shù)一定不能被2整除。 　　例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。 　　能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。 　　0，2，4，6，8，10

3、，12，14，…就是全體偶數(shù)。 　　1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全體奇數(shù)。 　　偶數(shù)和奇數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)： 　　偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)， 　　奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)， 　　偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)， 　　奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)， 　　偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)， 　　偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)， 　　奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。 例1在1～199中，有多少個(gè)奇數(shù)？有多少個(gè)偶數(shù)？其中奇數(shù)之和與偶數(shù)之和誰大？大多少？ 分析與解：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶數(shù)交替排列的，從小到大兩兩配對(duì)： 　　(1，2)，(3，4)，…，(197，198)， 　　還剩一個(gè)199。共有198÷2=99(對(duì)

4、)，還剩一個(gè)奇數(shù)199。所以 　　奇數(shù)的個(gè)數(shù)=198÷2+1=100(個(gè))， 　　偶數(shù)的個(gè)數(shù)=198÷2=99(個(gè))。 　　因?yàn)槊繉?duì)中的偶數(shù)比奇數(shù)大1，99對(duì)共大99，而199-99=100，所以奇數(shù)之和比偶數(shù)之和大，大100。 　　如果按從大到小兩兩配對(duì)： 　　(199，198)，(197，196)，…，(3，2)，那么怎樣解呢？ 例2(1)不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？ (2)數(shù)(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么數(shù)？ (3)下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？ 　　1×3×5×7×9×11×13×14×15。 解：根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算

5、性質(zhì)： (1)因?yàn)?24，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)。又因?yàn)?29是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)。 (2)數(shù)(42□+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)。因?yàn)?47是奇數(shù)，所以數(shù)(42□+30)必是奇數(shù)。又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù)，所以，數(shù)42□必為奇數(shù)。于是，□里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9。 (3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由1×3為奇數(shù)，推知1×3×5為奇數(shù)……推知 　　1×3×5×7×9×11×13×15 　　為奇數(shù)。因?yàn)?4為偶數(shù)，所以 　　(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數(shù)，即 　　1×3×5×7×9×1

6、1×13×14×15為偶數(shù)。 　　由例2得出： (1)在全部是加、減法的運(yùn)算中，若參加運(yùn)算的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則結(jié)果是偶數(shù)；若參加運(yùn)算的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則結(jié)果是奇數(shù)。 (2)在連乘運(yùn)算中，只要有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，則整個(gè)乘積一定是偶數(shù)。 例3在黑板上先寫出三個(gè)自然數(shù)3，然后任意擦去其中的一個(gè)，換成所剩兩個(gè)數(shù)的和。照這樣進(jìn)行100次后，黑板上留下的三個(gè)自然數(shù)的奇偶性如何？它們的乘積是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？ 解：根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知： 　　第一次擦后，改寫得到的三個(gè)數(shù)是6，3，3，是“二奇一偶”； 　　第二次擦后，改寫得到的三個(gè)數(shù)是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”

7、。 　　以后若擦去的是偶數(shù)，則改寫得到的數(shù)為二奇數(shù)之和，是偶數(shù)；若擦去的是奇數(shù)，則改寫得到的數(shù)為一奇一偶之和，是奇數(shù)?？傊?，黑板上仍保持“二奇一偶”。 　　所以，無論進(jìn)行多少次擦去與改寫，黑板上的三個(gè)數(shù)始終為“二奇一偶”。它們的乘積 　　奇數(shù)×奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。 　　故進(jìn)行100次后，所得的三個(gè)自然數(shù)的奇偶性為二奇數(shù)、一偶數(shù)，它們的乘積一定是偶數(shù)。 　　2.能被5整除的數(shù)的特征 　　由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，…可以推想任何一個(gè)偶數(shù)乘以5，所得乘積的個(gè)位數(shù)都是0。 　　由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 4

8、5，…可以推想，任何一個(gè)奇數(shù)乘以5，所得乘積的個(gè)位數(shù)都是5。 　　因此，能被5整除的數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是0或5。也就是說，凡是個(gè)位數(shù)是0或5的整數(shù)一定能被5整除；凡是個(gè)位數(shù)不是0或5的整數(shù)一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。 例4由0，3，5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有哪些能被5整除？ 解：因?yàn)閭€(gè)位數(shù)為0或5的數(shù)才能被5整除，所以由0，3，5寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，只有350，530，305三個(gè)數(shù)能被5整除。 例5下面的連乘積中，末尾有多少個(gè)0？ 　　1×2×3×…×29×30。 解：因?yàn)?×5=10

9、，所以在連乘積中，有一個(gè)因子2和一個(gè)因子5，末尾就有一個(gè)0。連乘積中末尾的0的個(gè)數(shù)，等于1～30中因子2的個(gè)數(shù)與因子5的個(gè)數(shù)中較少的一個(gè)。而在連乘積中，因子2的個(gè)數(shù)比因子5的個(gè)數(shù)多(如4含兩個(gè)因子2，8含三個(gè)因子2)，所以，連乘積末尾0的個(gè)數(shù)與連乘積中因子5的個(gè)數(shù)相同。連乘積中含因子5的數(shù)有5，10，15，20，25，30，這些數(shù)中共含有七個(gè)因子 5(其中25含有兩個(gè)因子5)。所以，1×2×3×…×29×30的積中，末尾有七個(gè)0。 ? 附送： 2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征 　　上一講我們講了能被2，5整除的數(shù)的特征，根據(jù)這些特征，很容易就能判別出一

10、個(gè)數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會(huì)問，有沒有類似的簡(jiǎn)便方法，直接判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除？ 　　我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù)： 　　18，345，4737，25674 　　18能被3整除，1+8=9也能被3整除； 　　345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除； 　　4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除； 　　25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。 　　怎么這么巧？我們?cè)僭囈粋€(gè)：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再試了，同學(xué)們可能已經(jīng)在想：“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3

11、整除？”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹，我們用一個(gè)具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。 　　由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。 　　因此，判斷一個(gè)整數(shù)能否被3整除的簡(jiǎn)便方法是： 　　如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除，那么此整數(shù)不能被3整除。 例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除： 　　2574，38974，587931。 解：因?yàn)?+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；

12、 　　因?yàn)?+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除； 　　因?yàn)?+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。 　　為了今后使用方便，我們介紹一個(gè)表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母來表示時(shí)，為防止理解錯(cuò)誤，就在這個(gè)多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個(gè)多位數(shù)。例如，表示這個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位依次是3，a，5；又如，表示這個(gè)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位依次是a，b，c，d。 例2六位數(shù)能被3整除，數(shù)字a=？ 解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。

13、 例3由1，3，5，7這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)能被3整除？ 解：在1，3，5，7這四個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)，共有4組： 　　1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1，3，5可寫成135，153，315，351，513，531六個(gè)三位數(shù)；同理，由3，5，7也能寫成6個(gè)三位數(shù)。 　　所以，符合題意的三位數(shù)有6×2=12(個(gè))。 例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？ 解：除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是 　　3，5，7，9，11，…，27，2

14、9，31，33，… 　　被3除余1的所有整數(shù)是 　　4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，… 　　被5除余1的所有整數(shù)是 　　6，11，16，21，26，31，36，… 　　上面三列數(shù)中，第一個(gè)同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)是31，所以31是同時(shí)滿足被2，3，5除均余1且不等于1的最小數(shù)。 例4中使用的方法是解這類題型的基本方法，但不夠簡(jiǎn)捷。一個(gè)較簡(jiǎn)捷的方法是： 　　因?yàn)?大于2和3，所以先從被5除余1的數(shù) 　　1，6，11，16，21，26，31，36，… 　　中找出第一個(gè)(1除外)同時(shí)滿足被2和3除都余1的數(shù)31，就為所求。 　　到五年級(jí)學(xué)了更多的知識(shí)后，還可直接由2×

15、3×5+1=31得到所求數(shù)。 例5同時(shí)能被2，3，5整除的最小三位數(shù)是幾？ 解：能被5整除的三位數(shù)是 　　100，105，110，115，120，125，…其中，第一個(gè)能同時(shí)被2，3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù)，且1+2+0=3)，故120為所求。 ? 練習(xí) 　　1.直接判斷25874和978651能否被3整除。 　　3.由2，3，4，5這四個(gè)數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)能被3整除？ 　　4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？ (2)被3，5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾？ 　　5.同時(shí)能被2，3，5整除的最小自然數(shù)是幾？ 　　6.同時(shí)能被2，3，5整除的最大三位數(shù)是幾？ 　　7.一根鐵絲長(zhǎng)125厘米，要把它剪成長(zhǎng)2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段？