數(shù)學(xué)第二部分 九 選做大題 9.2 不等式選講 理 選修4-5

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1、9.29.2不等式選講不等式選講( (選修選修45)45)-2-3-4-5-6-1.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等號(hào)成立.-7-2.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-

2、a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想.通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.-8-3.基本不等式定理1:設(shè)a,bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.-9-4.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1)比較法:求差比較法,求商比較法.求差比較法:由于aba-b0,aba-bb,只要證明a-b0即可.(2)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等

3、).(3)綜合法:從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過推理論證,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,即“由因?qū)す钡姆椒?這種證明不等式的方法稱為綜合法.-10-5.柯西不等式 -11-考向一考向二考向三考向四解絕對(duì)值不等式、求參數(shù)范圍解絕對(duì)值不等式、求參數(shù)范圍解題策略一解題策略一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 例1(2017全國(guó),理23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.當(dāng)x2時(shí),由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.-12-考向一考向二考向三考向四(2)由f(

4、x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 解題心得1.解含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般解法是零點(diǎn)分段法.即令各個(gè)絕對(duì)值式子等于0,求出各自零點(diǎn),把零點(diǎn)在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對(duì)值,進(jìn)而將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取分離參數(shù),通過求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得.-13-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017山西太原二模,理23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)當(dāng)m=1時(shí),解不等式f(x)3;(2)當(dāng)xm,2m2時(shí),不等式 f(x)|x+1|恒成立,求實(shí)數(shù)m的

5、取值范圍.解 (1)m=1時(shí),f(x)=|x+1|+|2x-1|, f(x)3,解得x-1或x1. -14-考向一考向二考向三考向四-15-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍 例2(2017全國(guó),理23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(

6、x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)a無解f(x)mina.-17-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;解 (1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-30.設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,其圖象如圖所示.從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí),y0.所以原不等式的解集是x|0 x0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.解 (1)(

7、a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)38,因此a+b2. -20-考向一考向二考向三考向四解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí),主要是運(yùn)用基本不等式證明,與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.-21-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: -22-

8、考向一考向二考向三考向四(2)若|a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|0,b0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為1.(1)求證:2a+b=2;(2)若a+2btab恒成立,求實(shí)數(shù)t的最大值.-26-考向一考向二考向三考向四-27-考向一考向二考向三考向四解題策略二解題策略二利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值 例5(2017四川成都二診,理23)(1)已知函數(shù)f(x)=4-|x|-|x-3|.求不等式 0的解集.綜上

9、所述,不等式的解集為-2,2. -28-考向一考向二考向三考向四解題心得利用柯西不等式求最值時(shí),一定要滿足柯西不等式的形式.-29-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2017河南洛陽(yáng)一模,理23)(1)已知關(guān)于x的不等式|x+3|+|x+m|2m的解集為R.求m的最大值.(2)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求2a2+3b2+4c2的最小值及此時(shí)a,b,c的值.解 (1)|x+3|+|x+m|(x+3)-(x+m)|=|m-3|.當(dāng)-3x-m或-mx-3時(shí)取等號(hào),令|m-3|2m,m-32m或m-3-2m.解得m1,m的最大值為1.-30-考向一考向二考向三考向四(2)a+b

10、+c=1,由柯西不等式得 當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=4c,且a+b+c=1時(shí)等號(hào)成立. -31-考向一考向二考向三考向四絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用 (1)證明f(x)2;(2)若f(3)5,求a的取值范圍.-32-考向一考向二考向三考向四解題心得絕對(duì)值三角不等式、基本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用,無論運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式還是運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.-33-考向一考向二考向三考向四對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2017湖南長(zhǎng)沙一模,理23)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)3的解集非空,求a的取值范圍.解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-1|+|x-3|x-1-x+3|=2,f(x)的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)1x3時(shí)取得最小值.(2)xR時(shí),恒有|x-a|+|x-3|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,不等式f(x)3的解集非空,|3-a|3,0a6.