彈性力學(xué) 知識要點

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1、. . 彈性力學(xué)是研究彈性體由于受到外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而引起的應(yīng)力、形變和位移。外力分為體積力和面積力。體力是分布在物體體積內(nèi)的力，重力和慣性力。體積分量，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。面力是分布在物體外表上的力，面力分量以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。內(nèi)力

2、，即物體本身不同局部之間相互作用的力。但凡符合連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性等假定的物體稱之為理想彈性體。連續(xù)性，假定整個物體的體積被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。完全彈性，指的是物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余形變。均勻性，整個物體時統(tǒng)一材料組成。各向同性，物體的彈性在所有各個方向都一樣。 求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件上，根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。彈性力學(xué)、材料力學(xué)、構(gòu)造力學(xué)的研究對象分別是彈性體，桿狀構(gòu)件和桿件系統(tǒng)。解釋在物體內(nèi)同一點，不同截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力的符號不同：在彈性力學(xué)和材料力學(xué)中，正應(yīng)力規(guī)定一樣，拉為正，壓

3、為負。切應(yīng)力：彈性力學(xué)中，正面沿坐標軸正方向為正，沿負方向為負。負面上沿坐標軸負方向為正，沿正方向為負。材料力學(xué)中，所在的研究對象上任一點彎矩轉(zhuǎn)向順時針為正，逆時針為負。試述彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的主要特征及區(qū)別。平面應(yīng)力問題：幾何形狀，等厚度薄板。外力約束，平行于版面且不沿厚度變化。 平面應(yīng)變問題：幾何形狀，橫斷面不沿長度變化，均勻分布。外力約束，平行于橫截面并不沿長度變化。 平衡微分方程表示的是彈性體內(nèi)任一點應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式。在推導(dǎo)平衡微分方程時我們主要用了連續(xù)性假定。幾何方程表示的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系

4、式。試根據(jù)幾何方程分析，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，并解釋原因。 當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定，反之，等形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。在推導(dǎo)幾何方程主要用了小變形假定。在平面問題中，為了完全確定位移，就必須有3個適當?shù)膭傮w約束條件。為什么？既然物體在形變?yōu)榱銜r可以有剛體位移，可見，當物體發(fā)生一定形變時，由于約束條件的不同，他可能具有不同的剛體位移，因而它的位移并不是完確定的，在平面問題中，常數(shù)U0 V0 W的任意性就反響位移的不確定性，而為了平安確定位移，就必須有三個何時得剛體約束來確定這三個常數(shù)。物理方程表示的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的

5、關(guān)系式。兩種平面問題的物理方程是不一樣的，然而如果在平面應(yīng)力問題的物理方程，降換為，將換為，就可以得到平面應(yīng)變問題的物理方程。推導(dǎo)物理方程時，主要用了完全彈性、各向同性以及均勻性〔此處寫小變形假定也可以〕等假設(shè)。 邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件以及混合邊界條件。試簡述圣維南原理的內(nèi)容，并利用該原理解釋“當沒有體力作用時，離邊界較遠處的小孔口邊界上有平衡力系作用，只能在小孔口附近產(chǎn)生局部應(yīng)力。〞“在構(gòu)造中開設(shè)孔口或不開孔口，兩者的應(yīng)力也只在孔口附近區(qū)域有顯著的差異〞。如果把物體的一小局部邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力

6、〔主矢量一樣，對于一點的主矩也一樣〕，那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著地變化，但是遠處所受的影響可以不計。如在小邊界上進展面力的靜力等效變換，只改變局部區(qū)域的應(yīng)力分布，對此外的不局部區(qū)域的應(yīng)力沒有什么影響。應(yīng)用時不能離開靜力等效的條件。按位移求解彈性力學(xué)平面問題，它是以位移為根本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含有位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件。應(yīng)力法是以應(yīng)力分量為根本未知函數(shù)。按應(yīng)力求解函數(shù)解答時，通常只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。也可以出簡答題，為什么應(yīng)力法通常只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題？按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量 取為根本未知函數(shù)。其他未知函數(shù)中形變

7、分量可以簡單的用應(yīng)力分量表示，即物理方程。為了用應(yīng)力分量表示位移分量，須將物理方程帶入幾何方程，通過積分等運算求出位移與分量。因此，用應(yīng)力分量表示位移分量的表達式較為復(fù)雜，且其中包含了待定的積分項。從而使位移邊界條件用應(yīng)力分量表示的式子很復(fù)雜，且難求接。按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量、、必須滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、在區(qū)域內(nèi)的相容方程〔用應(yīng)力分量表示的〕、在邊界上的應(yīng)力邊界條件，對于多連體，還必須滿足位移單值條件。在用實驗方法量測構(gòu)造或構(gòu)件上的應(yīng)力分量、、時，為什么可以用便于量測的材料來制造模型，以代替原來不便量測的構(gòu)造或構(gòu)件材料。〔可以用平面應(yīng)力情況下的薄板模型，來代替平面應(yīng)變情況下的長柱形

8、的構(gòu)造或構(gòu)件〕試采用彈性力學(xué)原理解釋。 當體力為常量時，在單連體的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個彈性體具有一樣的邊界形狀、并受到同樣分布的外力，那么就不管這兩個彈性體的材料是否一樣、也不管它們是在平面應(yīng)力情況下還是平面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量的分布是一樣的。 在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題，可以歸納為求解一個應(yīng)力函數(shù)。它必須滿足在區(qū)域內(nèi)的相容方程，在邊界上的應(yīng)力邊界條件，在多連體中，還必須滿足位移單值條件。 在推導(dǎo)物理方程時應(yīng)用了哪些假定？試具體說明。 為什么應(yīng)力法通常只用來求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題？ 檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？ 檢驗平面問題中的應(yīng)力分量是否

9、為正確解答的條件是什么？ 檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？ 一般而言，產(chǎn)生軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的條件是，彈性體的形狀和應(yīng)力邊界條件必須是軸對稱的。如果位移邊界條件也是軸對稱的，那么位移也是軸對稱的。繞z軸對稱的應(yīng)力，在極坐標平面內(nèi)應(yīng)力分量為的函數(shù)，不隨變化；切應(yīng)力為0。 “小孔口問題〞，即孔口的尺寸 遠小于 彈性體尺寸，并且孔邊距彈性體的邊界比較遠，約大于 1.5 倍孔口尺寸。半逆解法：就是先設(shè)定各種形式的，滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù) ，并求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。線性

10、應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力的狀態(tài)。把平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，不影響應(yīng)力。如果有任意形狀的薄板，受有任意面力，而在距邊界較遠處有一小圓孔，那么，只要有了無孔時的應(yīng)力解答，也就可以計算孔邊應(yīng)力。為此，只須先求出無孔時相應(yīng)于圓孔中心處的應(yīng)力分量，從而求出相應(yīng)的兩個應(yīng)力主向以及主應(yīng)力1和2。如果圓孔確定很小，圓孔的附近局部就可以當做是沿兩個主向分別受均布拉力 及 ，也就是可以應(yīng)用前面所說的疊加法。接觸問題：即兩個彈性體在邊界上相互接觸的問題，必須考慮交界面上的接觸條件。 彈性力學(xué)是研究彈性體由于受到外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而引起的應(yīng)力、形變和位移。外力分為體積力

11、和面積力。體力是分布在物體體積內(nèi)的力，重力和慣性力。體積分量，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。面力是分布在物體外表上的力，面力分量以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。內(nèi)力，即物體本身不同局部之間相互作用的力。但凡符合連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性等假定的物體稱之為理想彈性體。連續(xù)性，假定整個物體的體積被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。完全彈性，指的是物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余形變。均勻性，整個物體時統(tǒng)一材料組成。各向同性，物體的彈性在所有各個方向都一樣。 求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件上，根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量

12、。彈性力學(xué)、材料力學(xué)、構(gòu)造力學(xué)的研究對象分別是彈性體，桿狀構(gòu)件和桿件系統(tǒng)。解釋在物體內(nèi)同一點，不同截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力的符號不同：在彈性力學(xué)和材料力學(xué)中，正應(yīng)力規(guī)定一樣，拉為正，壓為負。切應(yīng)力：彈性力學(xué)中，正面沿坐標軸正方向為正，沿負方向為負。負面上沿坐標軸負方向為正，沿正方向為負。材料力學(xué)中，所在的研究對象上任一點彎矩轉(zhuǎn)向順時針為正，逆時針為負。試述彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的主要特征及區(qū)別。平面應(yīng)力問題：幾何形狀，等厚度薄板。外力約束，平行于版面且不沿厚度變化。 平面應(yīng)變問題：幾何形狀，橫斷面不沿長度變化，均勻分布。外力約束，平行于橫截面并不沿長度

13、變化。 平衡微分方程表示的是彈性體內(nèi)任一點應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式。在推導(dǎo)平衡微分方程時我們主要用了連續(xù)性假定。幾何方程表示的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系式。試根據(jù)幾何方程分析，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系，并解釋原因。 當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定，反之，等形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。在推導(dǎo)幾何方程主要用了小變形假定。在平面問題中，為了完全確定位移，就必須有3個適當?shù)膭傮w約束條件。為什么？既然物體在形變?yōu)榱銜r可以有剛體位移，可見，當物體發(fā)生一定形變時，由于約束條件的不同，他可能具有不同的剛體位移，因而它

14、的位移并不是完確定的，在平面問題中，常數(shù)U0 V0 W的任意性就反響位移的不確定性，而為了平安確定位移，就必須有三個何時得剛體約束來確定這三個常數(shù)。物理方程表示的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系式。兩種平面問題的物理方程是不一樣的，然而如果在平面應(yīng)力問題的物理方程，降換為，將換為，就可以得到平面應(yīng)變問題的物理方程。推導(dǎo)物理方程時，主要用了完全彈性、各向同性以及均勻性〔此處寫小變形假定也可以〕等假設(shè)。 邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為應(yīng)力邊界條件、位移邊界條件以及混合邊界條件。試簡述圣維南原理的內(nèi)容，并利用該原理解釋“當沒有體力作用時，離邊界較遠處的小孔口邊界上

15、有平衡力系作用，只能在小孔口附近產(chǎn)生局部應(yīng)力。〞“在構(gòu)造中開設(shè)孔口或不開孔口，兩者的應(yīng)力也只在孔口附近區(qū)域有顯著的差異〞。如果把物體的一小局部邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力〔主矢量一樣，對于一點的主矩也一樣〕，那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著地變化，但是遠處所受的影響可以不計。如在小邊界上進展面力的靜力等效變換，只改變局部區(qū)域的應(yīng)力分布，對此外的不局部區(qū)域的應(yīng)力沒有什么影響。應(yīng)用時不能離開靜力等效的條件。按位移求解彈性力學(xué)平面問題，它是以位移為根本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含有位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件。應(yīng)力法是以應(yīng)力分量為根本未知函數(shù)。按應(yīng)力求解

16、函數(shù)解答時，通常只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。也可以出簡答題，為什么應(yīng)力法通常只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題？按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量 取為根本未知函數(shù)。其他未知函數(shù)中形變分量可以簡單的用應(yīng)力分量表示，即物理方程。為了用應(yīng)力分量表示位移分量，須將物理方程帶入幾何方程，通過積分等運算求出位移與分量。因此，用應(yīng)力分量表示位移分量的表達式較為復(fù)雜，且其中包含了待定的積分項。從而使位移邊界條件用應(yīng)力分量表示的式子很復(fù)雜，且難求接。按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量、、必須滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、在區(qū)域內(nèi)的相容方程〔用應(yīng)力分量表示的〕、在邊界上的應(yīng)力邊界條件，對于多連體，還必須滿足位移單值條

17、件。在用實驗方法量測構(gòu)造或構(gòu)件上的應(yīng)力分量、、時，為什么可以用便于量測的材料來制造模型，以代替原來不便量測的構(gòu)造或構(gòu)件材料?！部梢杂闷矫鎽?yīng)力情況下的薄板模型，來代替平面應(yīng)變情況下的長柱形的構(gòu)造或構(gòu)件〕試采用彈性力學(xué)原理解釋。 當體力為常量時，在單連體的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個彈性體具有一樣的邊界形狀、并受到同樣分布的外力，那么就不管這兩個彈性體的材料是否一樣、也不管它們是在平面應(yīng)力情況下還是平面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量的分布是一樣的。 在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題，可以歸納為求解一個應(yīng)力函數(shù)。它必須滿足在區(qū)域內(nèi)的相容方程，在邊界上的應(yīng)力邊界條件，在多連體中，還必須滿足位移單值條件。 在

18、推導(dǎo)物理方程時應(yīng)用了哪些假定？試具體說明。 為什么應(yīng)力法通常只用來求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題？ 檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？ 檢驗平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？ 檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？ 一般而言，產(chǎn)生軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的條件是，彈性體的形狀和應(yīng)力邊界條件必須是軸對稱的。如果位移邊界條件也是軸對稱的，那么位移也是軸對稱的。繞z軸對稱的應(yīng)力，在極坐標平面內(nèi)應(yīng)力分量為的函數(shù)，不隨變化；切應(yīng)力為0。 “小孔口問題〞，即孔口的尺寸 遠小于 彈性體尺寸，并且孔邊距彈性體的邊界比較遠，約大于 1.5 倍孔口尺寸。 半逆解法

19、：就是先設(shè)定各種形式的，滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù) ，并求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力的狀態(tài)。把平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，不影響應(yīng)力。如果有任意形狀的薄板，受有任意面力，而在距邊界較遠處有一小圓孔，那么，只要有了無孔時的應(yīng)力解答，也就可以計算孔邊應(yīng)力。為此，只須先求出無孔時相應(yīng)于圓孔中心處的應(yīng)力分量，從而求出相應(yīng)的兩個應(yīng)力主向以及主應(yīng)力1和2。如果圓孔確定很小，圓孔的附近局部就可以當做是沿兩個主向分別受均布拉力 及 ，也就是可以應(yīng)用前面所說的疊加法。接觸問題：即兩個彈性體在邊界上相互接觸的問題，必須考慮交界面上的接觸條件。 - 優(yōu)選