2018年八年級數(shù)學(xué)下冊 17.1 勾股定理練習(xí) （新版）新人教版

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1、 17．1　勾股定理 第1課時　勾股定理 01　　基礎(chǔ)題 知識點1　勾股定理的證明 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．利用圖1或圖2兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個十分著名的定理，這個定理稱為勾股定理，該定理結(jié)論的數(shù)學(xué)表達式是a2＋b2＝c2. 2．4個全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.現(xiàn)把它們適當拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個圖形可以驗證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請試一試． 解：圖形的總面積可以表示為 c2＋2×ab＝c2＋ab， 也可以表示為a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab， ∴c2＋ab＝a2＋b2＋

2、ab. ∴a2＋b2＝c2. 知識點2　利用勾股定理進行計算 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對應(yīng)邊分別是a，b，c，若∠B＝90°，則下列等式中成立的是(C) A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a(chǎn)2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b2 4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，則AB的長為(C) A．4 B. C. D．5 5．已知直角三角形中30°角所對的直角的邊長是2 cm，則另一條直角邊的長是(C) A．4 cm B．4 cm C．6 cm D．6 cm 6

3、．(2016·阿壩)直角三角形斜邊的長是5，一直角邊的長是3，則此直角三角形的面積為6． 7．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b. (1)a＝7，b＝24，求c； (2)a＝4，c＝7，求b. 解：(1)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形． ∴a2＋b2＝c2. ∴72＋242＝c2. ∴c2＝49＋576＝625. ∴c＝25. (2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形． ∴a2＋b2＝c2. ∴42＋b2＝72. ∴b2＝72－42＝49－16＝33. ∴b＝. 8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，∠B＝60°，∠C

4、＝45°. (1)求∠BAC的度數(shù)； (2)若AC＝2，求AD的長． 解：(1)∠BAC＝180°－60°－45° ＝75°. (2)∵AD⊥BC， ∴△ADC是直角三角形． ∵∠C＝45°， ∴∠DAC＝45°. ∴AD＝CD. 根據(jù)勾股定理，得AD＝. 02　　中檔題 9．(2016·荊門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(C) A．5 B．6 C．8 D．10 第9題圖 第10題圖 10．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AE

5、B＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是(C) A．48 B．60 C．76 D．80 11．(2017·陜西)如圖，將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點A′與點A重合，點C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長為(A) A．3 B．6 C．3 D. 第11題圖 第14題圖 12．(2016·東營)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(C) A．10 B．8 C

6、．6或10 D．8或10 13．若一直角三角形兩邊長分別為12和5，則第三邊長為13或． 14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3． 15．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長(圖乙中的實線)是76. 16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15. (1)求AB的長； (2)求CD的長．

7、 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20， ∴AB＝＝＝25. (2)∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴AC·BC＝AB·CD. ∴20×15＝25CD.∴CD＝12. 17．(2016·益陽)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積． 某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程． 作AD⊥BC于點D， 設(shè)BD＝x，用含x 的代數(shù)式表示CD.→根據(jù)勾股定理，利用 AD作為“橋梁”，建 立方程模型求出x.→ 解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC

8、＝13， 設(shè)BD＝x，則CD＝14－x. 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2. ∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9. ∴AD＝12. ∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 03　　綜合題 18．如圖，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，則第2 017個等腰直角三角形的斜邊長是()2017． 　　 第2課時　勾股定理的應(yīng)用 01　　基

9、礎(chǔ)題 知識點1　勾股定理在平面圖形中的應(yīng)用 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5 m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12 m處，旗桿折斷之前的高度是(D) A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m 第1題圖 第2題圖 2．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行10米． 3．八(2)班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得如圖風(fēng)箏的高度CE，他們進行了如下操作： ①測得BD的長度為15米；(注：BD⊥CE) ②根

10、據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為25米； ③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米． 求風(fēng)箏的高度CE. 解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝＝＝20(米)． ∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米． 4．如圖，甲船以16海里/時的速度離開碼頭向東北方向航行，乙船同時由碼頭向西北方向航行，已知兩船離開碼頭1.5 h后相距30海里，問乙船每小時航行多少海里？ 解：設(shè)碼頭所在的位置為C，1.5 h后甲船所在位置為A，乙船所在位置為B，則 AC與正北方向的夾角為45°，BC與正北方向的夾角為45°， ∴∠ACB＝

11、90°. 在Rt△ABC中，∵AC＝16×＝24(海里)，AB＝30海里． 由勾股定理，得 BC2＝AB2－AC2＝302－242＝324.解得BC＝18. ∴18÷＝12(海里/小時)． 答：乙船每小時航行12海里． 知識點2　勾股定理與方程的應(yīng)用 5．印度數(shù)學(xué)家什迦邏(1141～1225年)曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”請用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識回答這個問題． 　　　 解：如圖，由題意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC. 設(shè)OA＝x，則OB＝O

12、A＋AC＝x＋0.5. 在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2， ∴x2＋22＝(x＋0.5)2. 解得x＝3.75. ∴水深3.75尺． 6．如圖，在一棵樹(AD)的10 m高處(B)有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20 m(C)的池塘，而另一只則爬到樹頂(D)后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的路程相等，那么這棵樹有多高？ 解：B為猴子的初始位置，則AB＝10 m，C為池塘，則AC＝20 m. 設(shè)BD＝x m，則樹高AD＝(10＋x)m. 由題意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10. ∴CD＝(30－x)m. 在Rt△ACD中，∠A＝90°，

13、由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2， ∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5. ∴AD＝10＋5＝15(m)． 故這棵樹有15 m高． 知識點3　 兩次勾股定理的應(yīng)用 7．(2017·紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為(C) A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 第7題圖 第8題圖 8．如圖，滑竿在機械槽內(nèi)運動，∠ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂

14、點A在AC上滑動，量得滑竿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米時，滑竿頂端A下滑0.5米． 02　　中檔題 9．如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了__________步路(假設(shè)2步為1 m)，卻踩傷了花草 (D) A．4 B．6 C．7 D．8 　 第9題圖 第10題圖 10．如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少為(D) A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 11．如圖，長為8 cm的橡皮筋放置在x

15、軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3 cm到點D，則橡皮筋被拉長了2cm. 第11題圖 第12題圖 12．將一根24 cm的筷子，置于底面直徑為15 cm，高8 cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為h cm，則h的取值范圍是7≤h≤16． 13．如圖是一面長方形彩旗完全展平時的尺寸圖(單位：cm)．其中長方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上，旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?20 cm.在無風(fēng)的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度 h

16、. 解：彩旗自然下垂的長度就是長方形DCEF的對角線DE的長度，連接DE， 在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得 DE＝＝＝150. h＝220－150＝70(cm)． ∴彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度h為70 cm. 14．超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？ 解：在Rt△A

17、PO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°. ∴AP＝2OP＝200 m， AO＝＝＝100(m)． 在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100 m. ∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)． ∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h. ∴此車超過每小時80千米的限制速度． 03　　綜合題 15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1 cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t s. (1)求BC邊的長； (2)當△ABP為直角三角形時

18、，求t的值． 解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16. ∴BC＝4 cm. (2)由題意，知BP＝t cm， ①當∠APB為直角時，如圖1，點P與點C重合，BP＝BC＝4 cm， ∴t＝4； ②當∠BAP為直角時，如圖2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2. 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即52＋[32＋(t－4)2]＝t2. 解得t＝. ∴當△ABP為直角三角形時，t＝4或t＝. 第3課時　利用勾股定理作圖 01　　基礎(chǔ)

19、題 　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點1　在數(shù)軸上表示無理數(shù) 1．在數(shù)軸上作出表示的點(保留作圖痕跡，不寫作法)． 解：略． 知識點2　網(wǎng)格中的無理數(shù) 2．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長度為(A) A．5 B．6 C．7 D．25 知識點3　等腰三角形中的勾股定理 3．在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求等腰三角形的邊上的高與面積. 解：過點A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝13 cm， ∴BD＝CD＝BC＝×10 ＝5(cm)． ∴AD＝＝

20、 ＝12(cm)． ∴S△ABC＝BC·AD＝×10×12＝60(cm2)． 02　　中檔題 4．(2017·南充)如圖，等邊△OAB的邊長為2，則點B的坐標為(D) A．(1，1，) B．(，1) C．(，) D．(1，) 5．(2017·成都)如圖，數(shù)軸上點A所表示的實數(shù)是－1． 第5題圖 第6題圖 6．(2017·樂山)點A，B，C在格點圖中的位置如圖所示，格點小正方形的邊長為1，則點C到線段AB所在直線的距離． 7．如圖，△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，求BD的長．

21、 解：∵△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形， ∴CB＝CD， ∠CDE＝∠DCE＝60°. ∴∠BDC＝∠DBC＝∠DCE＝30°. ∴∠BDE＝90°. 在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8， DB＝＝＝4. 03　　綜合題 8．仔細觀察圖形，認真分析下列各式，然后解答問題. OA＝()2＋1＝2，S1＝； OA＝()2＋1＝3，S2＝； OA＝()2＋1＝4，S3＝； … 求： (1)請用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律； (2)推算出OA10的長； (3)求出S＋S＋S＋…＋S的值． 解：(1)OA＝()2＋1＝n，Sn＝(n為正整數(shù))． (2)OA＝()2＋1＝10，∴OA10＝. (3)S＋S＋S＋…＋S ＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2 ＝＋＋＋…＋＋ ＝ ＝ ＝. 15