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1、
小專題(五) 四邊形中的折疊問(wèn)題
1．(2017·廣州)如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，EF＝6，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的周長(zhǎng)為(C)
A．6
B．12
C．18
D．24
2．(2017·舟山)一張矩形紙片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下圖步驟折疊紙片，則線段DG長(zhǎng)為(A)
A. B．2
C．1 D．2
3．(2017·南寧)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝2，BD＝2，將菱形按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，折痕為EF，則五邊形A
2、EFCD的周長(zhǎng)為7．
4．如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA＝5，OC＝4.在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處．求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4，
∴BE＝3.∴CE＝2.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)．
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝.
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)．
5．(2017·鄂州)如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，F(xiàn)C交AD于E.
(
3、1)求證：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求圖中陰影部分的面積．
解：(1)證明：由翻折的性質(zhì)可得AF＝AB，∠F＝∠B＝90°.
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.
∴AF＝CD，∠F＝∠D.
又∵∠AEF＝∠CED，
∴△AFE≌△CDE(AAS).
(2)∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE.
根據(jù)翻折的性質(zhì)可知FC＝BC＝8.
在Rt△AFE中，AE2＝AF2＋EF2，
即(8－EF)2＝42＋EF2，
解得EF＝3.∴AE＝5.
∴S陰影＝EC·AF＝×5×4＝10.
6．(2017·濟(jì)寧)(教材P64“活動(dòng)
4、1”的變式)實(shí)驗(yàn)探究：
(1)如圖1，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN，MN.請(qǐng)你觀察圖1，猜想∠MBN的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論；
(2)將圖1中的三角紙紙片BMN剪下，如圖2.折疊該紙片，探究MN與BM的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合方案證明你的結(jié)論．
圖1 圖2
解：(1)∠MBN＝30°.
證明：連接AN.∵直線EF是AB的垂直平分線，點(diǎn)N在EF上，∴AN＝BN.
由折疊可知，BN＝AB，∴△ABN是等邊三角形．
∴∠ABN＝60°.
5、
∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°.
(2)MN＝BM.
折紙方案：折疊三角形紙片BMN，使點(diǎn)N落在BM上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，得到折痕MP，同時(shí)得到線段PO.
證明：由折疊知△MOP≌△MNP，
∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°.
∴∠BOP＝∠MOP＝90°.
又∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP.
∴MO＝BO＝BM.
∴MN＝BM.
小專題(六) 四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
——教材P68T13的變式與應(yīng)用
教材母題 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝
6、24 cm，BC＝26 cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分別需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？為什么？
解：①設(shè)經(jīng)過(guò)t s時(shí)，PQ∥CD，此時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形．
∵PD＝(24－t)cm，CQ＝3t cm，
∴24－t＝3t，∴t＝6.
∴當(dāng)t＝6 s時(shí)，PQ∥CD，且PQ＝CD.
②設(shè)經(jīng)過(guò)t s時(shí)，PQ＝CD，分別過(guò)點(diǎn)P，D作BC 邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn).
當(dāng)CF＝EQ 時(shí)，四邊形PQCD為梯形(腰相等
7、)或平行四邊形．
∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴四邊形ABFD是矩形．∴AD＝BF.
∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.
當(dāng)四邊形PQCD 為梯形(腰相等)時(shí)，
PD＋2(BC－AD)＝CQ，
∴(24－t)＋4＝3t.∴t＝7.
∴當(dāng)t＝7 s 時(shí)，PQ＝CD.
當(dāng)四邊形PQCD 為平行四邊形時(shí)，由①知當(dāng)t＝6 s時(shí)，PQ＝CD.
綜上所述，當(dāng)t＝6 s時(shí)，PQ∥CD；當(dāng)t＝6 s或t＝7 s時(shí)，PQ＝CD.
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，并且a，b滿足b＝＋＋16
8、.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，O同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．
(1)求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：(1)∵b＝＋
＋16，
∴a＝21，b＝16.
∵AB∥OC，A(0，12)，
∴c＝12.
∴B(21，12)，C(16，0)．
(2)由題意，得AP
9、＝2t，QO＝t，則PB＝21－2t，QC＝16－t.
∵當(dāng)PB＝QC時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形，
∴21－2t＝16－t.解得t＝5.
∴P(10，12)，Q(5，0)．
(3)當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，過(guò)Q作QN⊥AB，由題意，得PN＝t，則122＋t2＝(16－t)2.解得t＝3.5.
∴P(7，12)，Q(3.5，0)．
當(dāng)PQ＝PC時(shí)，過(guò)P作PM⊥x軸，由題意，得
QM＝t，CM＝16－2t，則t＝16－2t.
解得t＝.
∴P(，12)，Q(，0)．
綜上所述：P1(7，12)，Q1(3.5，0)；P2(，3)，Q2(，0)．
2．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角
10、線AC，BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，PO的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn)．
(1)求證：四邊形PBQD為平行四邊形；
(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，問(wèn)四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠PDO＝∠QBO.
在△POD和△QOB中，
∴△POD≌△QOB(ASA)．∴OP＝OQ.
又∵OB＝OD，
∴四邊形PBQD為平行四邊形．
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t s時(shí)，AP＝t cm，PD＝(4－t)cm.
當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB＝PD＝(4－t)cm.
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°.
在Rt△ABP中，AB＝3 cm，AP2＋AB2＝PB2，
即t2＋32＝(4－t)2，解得t＝.
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 s時(shí)，四邊形PBQD為菱形．
6
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