備戰(zhàn)2018年高考數學 糾錯筆記系列 專題08 立體幾何 理

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1、 專題08 立體幾何 易錯點1 對空間幾何體的結構認識不準確致錯 有一種骰子，每一面上都有一個英文字母，如圖是從3個不同的角度看同一粒骰子的情形，請畫出骰子的一個側面展開圖，并根據展開圖說明字母H對面的字母是 . 【錯解】P 【錯因分析】空間想象能力差而亂猜一氣，實際上可以動手制作模型，通過折疊得出答案. 【試題解析】將原正方體外面朝上展開，得其表面字母的排列如圖所示，易得H對面的字母是O. 【參考答案】O 1．對于平面圖形折疊或空間圖形展開的問題，空間想象能力是解題的關鍵，正確識圖才能有效折疊平面圖形、展開空間圖形.而對于簡

2、單幾何體的展開圖，可以通過制作模型來解答. 2．關于空間幾何體的結構特征問題的注意事項： (1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定． (2)通過舉反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可. 1．如圖，最左邊的幾何體由一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是 A．①② B．②③ C．③④ D

3、．①⑤ 【答案】D 讀題不準，上底面已挖去，截面就不會出現②的情況，另外，空間想象能力差且憑主觀臆斷，考慮不全面容易導致錯解. 易錯點2 不能正確畫出三視圖或還原幾何體而致錯 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是 【錯解】A或B或C 【錯因分析】選A，俯視圖判斷出錯，從俯視圖看，幾何體的上、下部分都是旋轉體； 選B，下部分幾何體判斷出錯，誤把旋轉體當多面體； 選C，上部分幾何體判斷出錯，誤把旋轉體當多面體. 【試題解析】由三視圖可知幾何體上部是一個圓臺，下部是一個圓柱，選D. 【參考答案】D 1．當已知三視圖去還原成幾何體時，要充分關

4、注圖形中關鍵點的投影，先從俯視圖來確定是多面體還是旋轉體，再從正視圖和側視圖想象出幾何體的大致形狀，然后通過已知的三視圖驗證幾何體的正確性，最后檢查輪廓線的實虛． 2．三視圖問題的常見類型及解題策略： (1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖． (2)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示． (3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為

5、選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合. 2．如圖，在正方體中，分別為棱的中點，用過點的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體（下半部分）的左視圖為 【答案】C 【誤區(qū)警示】對于簡單幾何體的組合體，在畫其三視圖時首先應分清它是由哪些簡單幾何體組成的，再畫其三視圖．另外要注意交線的位置，可見的輪廓線都畫成實線，存在但不可見的輪廓線一定要畫出， 但要畫成虛線，即一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線，避免出現錯誤． 易錯點3 空間幾何體的直觀圖與原圖面積之間的關系 如圖是水平放置的平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的面積為 A．3

6、 B． C．6 D． 【錯解】B 【錯因分析】錯解中把直觀圖認為是原平面圖形，則平面圖形的面積為.實際上，題圖為直觀圖，必須根據直觀圖還原得到平面圖形，再利用三角形的面積公式求解. 【方法點晴】本題主要考查了平面圖形的直觀圖及其原圖形與直觀圖面積之間的關系，屬于基礎題，解答關鍵是牢記原圖形與直觀圖的面積比為． 【參考答案】C 1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”： “三變”； “三不變”. 2．原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，直觀圖面積是原圖面積的倍. 3．如圖，△A′B′C′是△AB

7、C的直觀圖，那么△ABC中最長的邊為________． 【答案】AC 本題容易忽視了圖形中的平行關系，從而得不到原圖中邊與坐標軸的平行關系，判斷不出直角三角形而導致錯誤． 易錯點4 空間幾何體的表面積或體積計算不全致錯 一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為 A．21+ 　　 B．18+ C．21 D．18 【錯解】B或C或D 【錯因分析】由三視圖可知原幾何體應該是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐，B項計算三角形面積時出錯；截取小正三棱錐，即除去了六個全等的等腰直角三角形，但C項忽略了幾何體多了

8、兩個等邊三角形面；由三視圖可知原幾何體應該是一個正方體截取兩個全等的小正三棱錐的組合體，D項計算三角形面積時出錯，且計算時還少加了三棱錐的底面. 【參考答案】A 1．柱體、錐體、臺體的表面積 （1）已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據題目所給數據與幾何體的表面積公式，求其表面積． （2）多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理，以確保不重復、不遺漏. （3）求多面體的側面積時，應對每一個側面分別求解后再相加；求旋轉體的側面積時，一般要將旋轉體展開為平面圖形后再求面積. 2．柱體、錐體、臺體的體積 空間

9、幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題. 求柱體、錐體、臺體體積的一般方法有： （1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． （2） 若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進行求解． ①等體積法： 一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體積. ②割補法： 運用割補

10、法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關鍵是能根據幾何體中的線面關系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關系，如果是由幾個規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積之和；如果是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積．因此，從一定意義上說，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法． （3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解. 4．如圖所示，已知等腰

11、梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，現繞腰AB旋轉一周，則所得的旋轉體的體積是 A．246π B．248π C．249π D．250π 【答案】B 【解析】過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，所得旋轉體是以CF為底面半徑的圓錐和圓臺，挖去以A為頂點，以DE為底面半徑的圓錐的組合體． 本題易將所得旋轉體漏掉扣除以圓臺上底面為底面，高為1 cm的圓錐的體積而錯選C. 易錯點5 問題考慮不全面致錯 已知半徑為10的球的兩個平行截面圓的周長分別是12π和16π，則這兩

12、個截面圓間的距離為 . 【錯解】2 如圖，設球的大圓為圓O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經過點C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中，.在Rt△DOF中，.所以CD=OC?OD=8?6=2，故這兩個截面圓間的距離為2. 【錯因分析】錯解中由于對球的結構把握不準，考慮問題不全面而導致錯誤.事實上，兩個平行截面既可以在球心的同側，也可以在球心的兩側. 【參考答案】2或14 1．球的有關問題 （1）確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其

13、半徑. （2）球與幾種特殊幾何體的關系： ①長方體內接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長； ②正四面體的外接球與內切球的球心重合，且半徑之比為3∶1； ③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點； ④球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑； ⑤球與圓臺的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓臺的高． （3）與球有關的實際應用題一般涉及水的容積問題，解題的關鍵是明確球的體積與水的容積之間的關系，正確建立等量關系. （4）有關球的截面問題，常畫出過球心的

14、截面圓，將空間幾何問題轉化為平面中圓的有關問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關系式：. 2．求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個思路： 一是根據幾何體的結構特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉化為平面圖形中的有關最值，根據平面圖形的有關結論直接進行判斷； 二是利用基本不等式或是建立關于表面積和體積的函數關系式，然后利用函數的方法或者利用導數方法解決. 5．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 m，BC＝3 m，BB1＝5 m，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，則螞蟻爬行的最短路程為________． 【答案】 m 【

15、解析】沿長方體的一條棱剪開，使點A和點C1展在同一個平面上，求線段AC1的長即可，如圖所示有三種剪法： ①如圖(1)所示，若沿C1D1剪開，使面AB1與面A1C1在同一個平面內， 可求得(m). 將空間幾何體的表(側)面展開，化折(曲)為直，使空間圖形問題轉化為平面圖形問題，即空間問題平面化，是解決立體幾何問題最基本的、最常用的方法，將空間圖形展開成平面圖形后，弄清幾何中的有關點和線在展開圖中的相應關系是解題的關鍵． 本題容易忽略長方體表面具有不同的展開方式，不同的展開方式具有不同的最短路程，將各值比較后，所得的最小值就是最短路程． 易錯點6 應用公理或其推論時出錯

16、 已知A，B，C，D，E五點中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點一定共面嗎？ 【錯解】A，B，C，D，E五點一定共面. 因為A，B，C，D共面，所以點A在B，C，D所確定的平面內， 因為B，C，D，E共面，所以點E也在B，C，D所確定的平面內， 所以點A，E都在B，C，D所確定的平面內，即A，B，C，D，E五點一定共面. 【錯因分析】錯解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件.實際上B，C，D三點有可能共線. （2）若B，C，D三點共線于l， 若Al，El，則A，B，C，D，E五點一定共面； 若A，E中有且只有一個在l上，則A，

17、B，C，D，E五點一定共面； 若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能不共面. 【參考答案】見試題解析. 在立體幾何中，空間點、線、面之間的位置關系不確定時，要注意分類討論，避免片面地思考問題.對于確定平面問題，在應用公理2及其三個推論時一定要注意它們成立的前提條件. 1．證明點共線問題，就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據是公理3.常用方法有： ①首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據公理3知這些點都在這兩個平面的交線上； ②選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上. 2．證明三線共點問題，一般先證明待證的三條直

18、線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.常結合公理3，證明該點在不重合的兩個平面內，故該點在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點. 3．證明點或線共面問題，主要有兩種方法： ①首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內； ②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合. 6．已知直線l與三條平行直線a、b、c都相交．求證：四條直線l、a、b、c共面． 【答案】見解析. 解法二：∵a∥b，∴a、b確定一個平面α， 設l∩a＝A，l∩b＝B，則A∈α，B∈α， ∴AB?α. ∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α，即a

19、、b、l在同一個平面內， 故b在a、l確定的平面內． ∵a∥c，∴a、c確定一個平面β. 設l∩c＝C， ∵l∩a＝A，∴A∈β，C∈β， ∴AC?β. ∵A∈l，C∈l，∴l(xiāng)?β，即a、c、l在同一個平面內， 故c在a、l確定的平面內． 又∵l∩a＝A，∴a和l只能確定一個平面， ∴a、b、c、l共面． 本題常出現錯誤的原因是：若l與a共面于α，l與b共面于β，但α，β卻不是同一平面，則推不出l與a，b共面． 易錯點7 忽略空間角的范圍或不能正確找出空間角致誤 如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角

20、為30°，則BC與AD所成的角為 . 【錯解】120° 如圖，連接BD，并取中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故為BC與MN所成的角，∠MEN為BC與AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°， ∴，即BC與AD所成的角為120°. 【錯因分析】在未判斷出∠MEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直線所成的角，因為異面直線所成的角α的取值范圍是，如果∠MEN為鈍角，那么它的補角才是異面直線所成的角. 【試題解析】以上同錯解，求得∠MEN=120°，即BC與AD所成的角為60°.

21、 【參考答案】60° 求異面直線所成的角的時候，要注意異面直線所成的角α的取值范圍是. 1．求異面直線所成的角的常見策略： （1）求異面直線所成的角常用平移法． 平移法有三種類型，利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移，利用補形平移． （2）求異面直線所成角的步驟 ①一作：即根據定義作平行線，作出異面直線所成的角； ②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角. （3）判定空間兩條直線是異面直線的方法 ①判定定理

22、：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線． ②反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 2．求直線與平面所成的角的方法： （1）求直線和平面所成角的步驟 ①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線； ②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角； ③把該角歸結在某個三角形中，通過解三角形，求出該角． （2）求線面角的技巧 在上述步驟中，其中作角是關鍵，而確定斜線在平面內的射影是作角的關鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據，射影一般都是一些特殊的點，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步

23、驟： 簡稱為“一作二證三求”． 作平面角時，一定要注意頂點的選擇． 7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且，，則二面角的大小為 ． 【答案】45° 在找二面角的平面角時，一般按照先找后作的原則，避免盲目地按三垂線法作二面角的平面角． 易錯點8 對線面位置關系不能正確應用定理作出判斷 如果兩條平行直線a，b中的a∥α，那么b∥α.這個命題正確嗎？為什么？ 【錯解】這個命題正確． ∵a∥α，∴在平面α內一定存在一條直線c，使a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 【錯因分析】忽略了b?

24、α這種情況，從而導致錯誤，本題條件中的直線b與平面α有兩種位置關系：b∥α和b?α. 【參考答案】見試題解析. 錯誤的原因是利用線面平行的判定定理時，忽略了定理使用的前提條件必須是平面外的一條直線與平面內的一條直線平行． 1．點、線、面之間的位置關系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系，準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直． 2．熟練應用線面位置關系中的判定定理與性質定理即可順利解決此類問題. 8．已知兩個平面垂直，下列命題： ①一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線. ②一個

25、平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線. ③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面. ④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面. 其中正確命題的個數是 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 對于④，很容易認為是正確的，其實與面面垂直的性質定理是不同的，“兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“兩個平面垂直，則過一個平面內任意一點作交線的垂線，此垂線與另一個平面垂直”是不同的，關鍵是過點作的直線不一定在平面內. 易錯點9 證明線面位置關系時不能正確應用定理致

26、錯 如圖，，點P在所確定的平面γ外，于點，于點. 求證：. 【錯解】因為，，所以. 所以，所以. 【錯因分析】本題錯解的原因在于沒有正確使用線面垂直的判定定理，由 得，而忽略了“垂直于平面內兩條相交直線”這一條件，即. 【參考答案】見試題解析. 應用直線與平面垂直的判定定理時，要熟記定理的應用條件，不能忽略“兩條相交直線”這一關鍵點. 1．判斷或證明線面平行的常用方法有： ①利用線面平行的定義(無公共點)； ②利用線面平行的判定定理()； ③利用面面平行的性質()； ④利用面面平行的性質(). 2．判定面面平行的常見策略： ①利用定義：即證兩

27、個平面沒有公共點(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)． ③利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)． ④利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用). 3．證明直線和平面垂直的常用方法： ①線面垂直的定義； ②判定定理； ③垂直于平面的傳遞性()； ④面面平行的性質()； ⑤面面垂直的性質． 4．判定面面垂直的常見策略： ①利用定義(直二面角)． ②判定定理：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直． ③在運用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交

28、線的垂線，這樣就把面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直． 9．如圖，B為△ACD所在平面外一點，M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，求證：平面MNG∥平面ACD. 【答案】見解析. 【解析】如圖所示，連接BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于點P、F、H. 面面平行的判定定理中的條件，缺一不可，若沒有兩“相交”直線這個條件，則不一定有面面平行，也可能相交． 易錯點10 對空間向量理解不正確致誤 已知下列命題： ①若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量； ②若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量； ③若向量

29、與是共線向量，則A，B，C，D四點必在一條直線上； ④若向量與是共線向量，則A，B，C三點必在一條直線上． 其中是真命題的有____________（填序號）． 【錯解】①②③④ 【錯因分析】因為向量為自由向量，所以平行向量就是共線向量，但是向量所在的直線卻不一定重合，也有可能平行，關鍵是看這兩個向量所在的直線有沒有公共點，如果沒有公共點，那么對應的兩條直線平行；否則，對應的兩條直線重合． 【參考答案】①④ 平行直線與平行向量的區(qū)別與聯(lián)系： ①平行向量所在的直線既可以平行也可以重合； ②平行直線是指任何不重合的兩條平行直線．因此，兩條平行直線的方向向量一定是平行向量，非零的

30、平行向量所在的直線若不重合，則一定是平行直線． 1．判斷兩非零向量平行，就是判斷是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線. 2．證明空間三點P、A、B共線的方法： ①(λ∈R)； ②對空間任一點O，(t∈R)； ③對空間任一點O，． 3．證明空間四點P、M、A、B共面的方法： ①； ②對空間任一點O，； ③對空間任一點O，(x＋y＋z＝1)； ④(或或). 10．已知向量，，若向量同向，則實數的值為 A． B． C． 或 D．或 【答案】A 綜上，，． 由于向量可以任意平移，所以有關向量的平行問題與直線的平行問題是

31、有區(qū)別的，并且兩向量同向與兩向量平行也是不等價的．“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件．若兩向量平行，則兩向量可能同向、也可能反向． 易錯點11 不能正確利用空間向量解決立體幾何問題 已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2PA，E是線段BC中點． （1）判斷PE與AD的關系； （2）在線段PD上是否存在一點F，使得CF∥平面PAE，說明你的理由． 【錯解】（1）取A為坐標原點，AB、AC、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設PA＝1，則P(0，0，1)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2

32、，2，0)，E(2，1，0)， ∴＝(2，1，－1)，＝(0，2，0)，∴·＝2≠0， ∴PE與AD不垂直． （2）設＝λ＝(0，2λ，－λ)，則＝－＝(－2，2λ－2，1－λ)． 又＝(0，0，1)，＝(2，1，0)． 設＝m＋n，則，∴，即＝－， ∴、、共面，∴CF∥平面PAE， ∴存在點F為PD中點，使CF∥平面PAE. 【錯因分析】因為AB與AC不垂直，故以AB、AC、AP所在直線分別為x、y、z軸建立的坐標系不是直角坐標系，另外我們建立坐標系應為右手系． （1）∵＝(0，，－1)，＝(2，0，0)， ∴·＝0， ∴PE⊥AD. （2）假設線段PD上存在

33、一點F，使直線CF∥平面PAE， ∵是平面PAE的一個法向量， ∴⊥， 設＝λ＝(2λ，0，－λ)(0≤λ≤1)，則＝－＝(2λ－1，－，－λ＋1)， ∴·＝(2λ－1，－，－λ＋1)·(2，0，0)＝4λ－2＝0，解得λ＝， 所以當F為線段PD的中點時，直線CF∥平面PAE. 【參考答案】見試題解析. 1．利用向量法證明平行問題 （1）證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行. （2）證明線面平行： ①該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； ②證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行； ③證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示. （

34、3）證明面面平行：兩個平面的法向量平行. 2．利用向量法證明垂直問題 （1）線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零． （2）線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示． 3．利用向量法求空間角 （1）用向量法求異面直線所成的角 ①建立空間直角坐標系； ②求出兩條直線的方向向量； ③代入公式求解，一般地，異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為. （2）用向量法求直線與平面所成的角 ①分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為

35、求兩個方向向量的夾角(或其補角)； ②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角． （3）用向量法求二面角 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 4．利用向量法求空間距離 （1）空間中兩點間的距離的求法 兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模．因此，要求兩點間的距離除使用距離公式外，還可轉化為求向量的模. （2）求點P到平面α的距離的三個步驟： ①在平面α內取一點A，確定向量的坐標． ②確定平面α的

36、法向量n. ③代入公式求解． 5．利用向量法求立體幾何中的探索性問題 （1）通常假設題中的數學對象存在(或結論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數據或事實，說明假設成立，即存在，并可進一步證明；若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論，則說明假設不成立，即不存在． （2）探索線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應用，這樣可減少坐標未知量． 11．如圖1，已知四邊形為矩形，平面，且，，則二面角的余弦值為 ． 圖1 【答案】 【解析】分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系，則，，，，

37、圖2 令，可得平面的一個法向量為， 所以， 觀察圖形易知二面角的平面角為鈍角， 所以二面角的余弦值為． 二面角的取值范圍是，線面角的取值范圍是，本題忽略了二面角既可能是銳角也可能是鈍角而導致錯誤，解題時應仔細觀察圖形，避免出錯． 一、空間幾何體的結構及其三視圖與直觀圖 1．空間幾何體的結構 （1）多面體 幾何體 結構特征 備注 棱柱 ①底面互相平行. ②側面都是平行四邊形. ③每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行. 按側棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特別地，底面是正多邊

38、形的直棱柱叫做正棱柱. 棱錐 ①底面是多邊形. ②側面都是三角形. ③側面有一個公共頂點. 三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可以看作底. 三棱錐又稱為四面體. 棱臺 ①上、下底面互相平行，且是相似圖形. ②各側棱的延長線交于一點. ③各側面為梯形. 可用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐 （2）旋轉體 幾何體 結構特征 備注 圓柱 ①圓柱有兩個大小相同的底面，這兩個面互相平行，且底面是圓面而不是圓. ②圓柱有無數條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等. ③平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(

39、軸截面)是全等的矩形. 圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉得到. 圓錐 ①底面是圓面. ②有無數條母線，長度相等且交于頂點. ③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形. 圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉得到. 圓臺 ①圓臺上、下底面是互相平行且不等的圓面. ②有無數條母線，等長且延長線交于一點. ③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形. 圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到. 球 ①球心和截面

40、圓心的連線垂直于截面. ②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關系式：. 球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉得到. 2．空間幾何體的三視圖 （1）三視圖的概念 ①光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖； ②光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側視圖； ③光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖. 幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖. （2）三視圖的畫法規(guī)則 ①排列規(guī)則：一般地，側視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖： 正 側 俯 ②畫法

41、規(guī)則 ⅰ)正視圖與俯視圖的長度一致，即“長對正”； ⅱ)側視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”； ⅲ)俯視圖與側視圖的寬度一致，即“寬相等”. ③線條的規(guī)則 ⅰ)能看見的輪廓線用實線表示； ⅱ)不能看見的輪廓線用虛線表示. （3）常見幾何體的三視圖 常見幾何體 正視圖 側視圖 俯視圖 長方體 矩形 矩形 矩形 正方體 正方形 正方形 正方形 圓柱 矩形 矩形 圓 圓錐 等腰三角形 等腰三角形 圓 圓臺 等腰梯形 等腰梯形 兩個同心的圓 球 圓 圓 圓 3．空間幾何體的直觀圖 （1）斜二測畫法及其規(guī)則 對于平面多邊

42、形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是： ①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面. ②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. ③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. （2）用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟 ①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸使∠xOz=9

43、0°，且∠yOz=90°. ②畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面. ③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同. ④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话? ⑤畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 直觀圖的面積與原圖面積之間的關系 ①原圖形與直

44、觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍， ②直觀圖面積是原圖面積的倍. 二、空間幾何體的表面積與體積 1．旋轉體的表面積 圓柱（底面半徑為r，母線長為l） 圓錐（底面半徑為r，母線長為l） 圓臺（上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l） 側面展開圖 底面面積 側面面積 表面積 多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積. 棱錐、棱臺、棱柱的側面積公式間的聯(lián)系： 2．柱體、錐體、臺體的體積公式 幾何體 體積 柱體 (S為底面面積，h為高) (r為底面半徑，h為高) 錐體

45、 (S為底面面積，h為高) (r為底面半徑，h為高) 臺體 (S′、S分別為上、下底面面積，h為高)， (r′、r分別為上、下底面半徑，h為高) （1）柱體、錐體、臺體體積公式間的關系 （2）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差； （3）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等. 3．球的表面積和體積公式 設球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數，其表面積公式為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為. 球的切、接問題（常見結論） （1）若正方體的棱長為，則正方體的內切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體

46、所有棱相切的球的半徑是． （2）若長方體的長、寬、高分別為，，，則長方體的外接球半徑是． （3）若正四面體的棱長為，則正四面體的內切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是． （4）球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑． （5）球與圓臺的底面與側面均相切，則球的直徑等于圓臺的高． 三、空間點、直線、平面之間的位置關系 1．平面的基本性質 名稱 圖形 文字語言 符號語言 公理1 如果一條直線上的兩點在同一個平面內，那么這條直線在這個平面內 Al，Bl，且Aα，Bα?l?α 公理2 過不在同一條直

47、線上的三點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα 公理2的推論 推論1 經過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面 若點直線a，則A和a確定一個平面 推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面 ?有且只有一個平面，使， 推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面 ?有且只有一個平面，使， 公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 Pα，且Pβ?α∩β=l，Pl，且l是唯一的 公理4 ———l1 ———l2 ———l 平行于同一直線的兩條直線平行 l1∥l，l

48、2∥l?l1∥l2 2．等角定理 （1）自然語言：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補. （2）符號語言： 如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，，則或. 圖（1） 圖（2） 3．空間兩直線位置關系的分類 空間中兩條直線的位置關系有以下兩種分類方式： （1）從有無公共點的角度分類： （2）從是否共面的角度分類： 4．異面直線所成的角 （1）異面直線所成角的定義 如圖，已知兩異面直線a，b，經過空間任一點O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′

49、所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）. （2）異面直線所成角的范圍 異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是. （3）兩條異面直線垂直的定義 如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b. 5．直線與平面、平面與平面位置關系的分類 （1）直線和平面位置關系的分類 ①按公共點個數分類： ②按是否平行分類： ③按直線是否在平面內分類： （2）平面和平面位置關系的分類 兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種： （1）兩個平面平行——沒有公共點； （2）兩個平面相

50、交——有一條公共直線. （1）唯一性定理 ①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行． ②過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直． ③過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． ④過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直． （2）異面直線的判定方法 經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線． 四、直線、平面平行的判定及其性質 1．直線與平面平行的判定定理 文字語言 平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行. 簡記為：線線平行?線面平行 圖形語言 符號語言 a?α，b?α，且a∥b?a∥α 作用 證明直線

51、與平面平行 2．直線與平面平行的性質定理 文字語言 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行. 簡記為：線面平行?線線平行 圖形語言 符號語言 作用 ①作為證明線線平行的依據． ②作為畫一條直線與已知直線平行的依據. 3．平面與平面平行的判定定理 文字語言 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行. 簡記為：線面平行?面面平行 圖形語言 符號語言 a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β 作用 證明兩個平面平行 4．平面與平面平行的性質定理 文字語言 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那

52、么它們的交線平行. 簡記為：面面平行?線線平行 圖形語言 符號語言 作用 證明線線平行 1．平行問題的轉化關系 2．常用結論 （1）如果兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面． （2）如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線． （3）夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等． （4）經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． （5）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例． （6）如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行． （7）如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個

53、平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行． （8）如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行． 五、直線、平面垂直的判定及其性質 1．直線與平面垂直的定義 如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下： 定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數條直線”不是同義語． 2．直線與平面垂直的判定定理 文字語言 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直. 簡記為：線線垂直?線面垂直 圖形語言 符號語言 l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α 作用 判斷直線與

54、平面垂直 在應用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線. 3．直線與平面垂直的性質定理 文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行. 簡記為：線面垂直?線線平行 圖形語言 符號語言 ? 作用 ①證明兩直線平行； ②構造平行線. 4．平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作.圖形表示如下： 5．平面與平面垂直的判定定理 文字語言 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. 簡記為：線面垂直?面面垂直 圖形語

55、言 符號語言 l⊥α，?α⊥β 作用 判斷兩平面垂直 6．平面與平面垂直的性質定理 文字語言 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直. 簡記為：面面垂直?線線平行 圖形語言 符號語言 作用 證明直線與平面垂直 7．直線與平面所成的角 （1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足． 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影． 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． （2）規(guī)定：一條直線垂直于

56、平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角等于.因此，直線與平面所成的角α的范圍是. 8．二面角 （1）二面角的定義：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角. （3）二面角的范圍：. 1．垂直問題的轉化關系 2．常用結論 （1）若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也

57、垂直于這個平面． （2）若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內任何一條直線． （3）過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直． （4）過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直． （5）兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直． （6）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面． （7）如果兩個平面互相垂直，那么過第一個平面內的一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內． 六、空間向量與立體幾何 1．空間直角坐標系 定 義 以空間一點為原點，具有相同的單位長度，給定正方向，建立兩兩垂直的數軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個空間直角坐

58、標系 坐標原點 點O 坐標軸 x軸、y軸、z軸 坐標平面 通過每兩個坐標軸的平面 在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系，如圖所示. 2．空間一點M的坐標 （1）空間一點M的坐標可以用有序實數組來表示，記作，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標. （2）建立了空間直角坐標系后，空間中的點M與有序實數組可建立一一對應的關系． 3．空間兩點間的距離公式、中點公式 （1）距離公式 ①設點，為空間兩點， 則兩點間的距離. ②設點，則點與坐標原點O之間的距離

59、為. （2）中點公式 設點為，的中點，則. 4．共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb. 牢記兩個推論： （1）對空間任意一點O，點P在直線AB上的充要條件是存在實數t，使或（其中）. （2）如果l為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使，其中向量叫做直線l的方向向量，該式稱為直線方程的向量表示式. 5．共面向量定理 如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使. 牢記推論：空間一點P位于平面ABC內的充

60、要條件是存在有序實數對(x，y)，使；或對空間任意一點O，有. 6．空間向量基本定理 如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量. （1）空間任意三個不共面的向量都可構成基底. （2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示. （3）不能作為基向量. 7．空間向量的運算 （1）空間向量的加法、減法、數乘及數量積運算都可類比平面向量. （2）空間向量的坐標運算 設，則 ， ， ， ， ， ， . 8．直線的方向向量和平面的

61、法向量 （1）直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作，顯然一條直線的方向向量可以有無數個. （2）若直線，則該直線的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作，有無數多個，任意兩個都是共線向量. 平面法向量的求法：設平面的法向量為.在平面內找出（或求出）兩個不共線的向量，根據定義建立方程組，得到，通過賦值，取其中一組解，得到平面的法向量. 9．利用空間向量表示空間線面平行、垂直 設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為. （1）線線平行：若，則； 線面平行：若，則； 面面平行：若，則. （2）線線垂直：若，則； 線面垂直：若，則； 面面垂直：若，則.

62、 10．利用空間向量求空間角 設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為. （1）直線所成的角為，則，計算方法：； （2）直線與平面所成的角為，則，計算方法：； （3）平面所成的二面角為，則， 如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝． 如圖②③，分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)． 11．利用空間向量求距離 （1）兩點間的距離 設點，為空間兩點， 則兩點間的距離. （2）點到平面的距離 如圖所示，已知AB為平面α的

63、一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為. 1．[2016新課標Ⅰ卷理]如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是 A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】A 2．[2017新課標Ⅱ卷理]已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】C 【名師點睛】平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下

64、： ①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角； ②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角； ③計算：求該角的值，常利用解三角形； ④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍． 3．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】對于B，易知AB

65、∥MQ，則直線AB∥平面MNQ； 對于C，易知AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ； 對于D，易知AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ． 故排除B，C，D，選A． 【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題．證明線面平行的常用方法有： ①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行． ②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面． 4．現有2個正方體，3個三棱柱，4個球和1個圓臺，從中任取一個

66、幾何體，則該幾何體是旋轉體的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中面積最大的側面的面積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本題主要考查三視圖.由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，其中底面是邊長為1的正方形，高為1，直觀圖如下圖所示，其中平面ADE⊥平面BCDE，四個側面面積分別為，最大面積是，故本題選B. 6．已知是兩條不同直線，是平面，則下列命題為真命題的是 A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】B 7．已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離是 A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因為三棱錐S—ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，