高考數(shù)學復(fù)習 17-18版 第10章 第56課 幾何概型

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1、 第56課 幾何概型 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 幾何概型 √ 1．幾何概型的概念 設(shè)D是一個可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機地取一點，區(qū)域D內(nèi)的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點．這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型． 2．幾何概型的概率計算公式 一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(

2、A)＝. 3．要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 4．隨機模擬方法 (1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法． (2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法．這個方法的基本步驟是①用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；③計算頻率fn(A)＝作為所求概率的近似值． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯

3、誤的打“×”) (1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(　　) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是________．(填序號) 圖56-1 ①　[P(①)＝，P(②)＝，P(③)＝，P(④)＝， ∴P(①)>P(③)＝P(④)>P(②

4、)．] 3．(2016·全國卷Ⅱ改編)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為________． [如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝.] 4．如圖56-2所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________． 圖56-2 0．18　[由題意知， ＝＝0.18. ∵S正＝1，∴S陰＝

5、0.18.] 5．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是________． 1－　[如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S＝4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域．易知該陰影部分的面積S陰＝4－π， ∴所求事件的概率P＝＝1－.] 與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 　(1)(2016·全國卷Ⅰ改編)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是________． 圖56

6、-3 (2)如圖56-3所示，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________． (1)　(2)　[(1)如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P′在上發(fā)生”． 又

7、在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置． 2．(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計算幾何概型的概率，導致錯求P＝. (2)當涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率．事實上，當半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比． [變式訓練1]　(1)設(shè)A為圓周上一點，在圓周上等可能地任取一點與A連結(jié)，則弦

8、長超過半徑倍的概率是________. 【導學號：62172308】 (2)(2016·山東高考)在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． (1)　(2)　[(1)作等腰直角△AOC和△AMC，B為圓上任一點，則當點B在上運動時，弦長|AB|＞R， ∴P＝＝. (2)由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－

9、]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為________． 　[因為x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個．用隨機模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.] 角度2　與線性

10、規(guī)劃交匯問題 　由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為________． [如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD， 易知C，S△BCD＝××(2－1)＝， S△OAB＝×2×2＝2， 故P＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結(jié)合． 2．解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 與體積有關(guān)的

11、幾何概型 　在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為________. 【導學號：62172309】 1－　[設(shè)“點P到點O的距離大于1”為事件A. 則事件A發(fā)生時，點P位于以點O為球心，以1為半徑的半球的外部． ∴V正方體＝23＝8，V半球＝π·13×＝π. ∴P(A)＝＝1－.] [規(guī)律方法]　對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件求解． [變式訓練2]　如圖56-4，正方體A

12、BCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________． 圖56-4 　[設(shè)四棱錐M-ABCD的高為h，由于V正方體＝1. 則·SABCD·h＜， 又SABCD＝1，∴h＜， 即點M在正方體的下半部分， ∴所求概率P＝＝.] [思想與方法] 1．古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：前者基本事件的個數(shù)有限，后者基本事件的個數(shù)無限． 2．判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系． (2)當題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若

13、變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域． [易錯與防范] 1．易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點是試驗中每個結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗結(jié)果的個數(shù)是無限的，古典概型中試驗結(jié)果的個數(shù)是有限的． 2．準確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵． 3．幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果． 課時分層訓練(五十六) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 1．在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1的概率為________. 【導學號：62172310】 　

14、[在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數(shù)X，則X≤1， 即－2≤X≤1的概率為P＝.] 2．如圖56-5所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影部分的面積是________． 圖56-5 3π　[設(shè)陰影部分的面積為S，且圓的面積S′＝π·32＝9π. 由幾何概型的概率得＝，則S＝3π.] 3．若將一個質(zhì)點隨機投入如圖56-6所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________． 圖56-6 　[設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝＝＝.] 4．已

15、知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點，則取到的點位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為________. 【導學號：62172311】 　[由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點O為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖， 所求概率為.] 5．一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率為________． 　[屋子的體積為5×4×3＝60米3， 捕蠅器能捕捉到的空間體積為×π×13×3＝米3

16、， 故蒼蠅被捕捉的概率是＝.] 6．(2015·山東高考改編)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為________． 　[不等式－1≤log ≤1可化為log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由幾何概型的概率公式得P＝＝.] 7．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP-ABC＜VS-ABC的概率為________. 【導學號：62172312】 　[當點P到底面ABC的距離小于時， VP-ABC＜VS-ABC. 由幾何概型知，所求概率為P＝1－3＝.] 8．在區(qū)間[0，π]上隨機取一個

17、實數(shù)x，使得sin x∈的概率為________． 　[由0≤sin x≤，且x∈[0，π]， 解得x∈∪. 故所求事件的概率P＝＝.] 9．小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小波周末不在家看書的概率為________． 　[∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝.] 10.如圖56-7，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖象上，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此

18、點取自陰影部分的概率等于________． 圖56-7 　[因為f(x)＝B點坐標為(1,0)，E(0,1)． 所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(－2,2)，A點坐標為(－2,0)． 故矩形ABCD的面積為2×3＝6，S陰影＝×1×3＝. 根據(jù)幾何概型得P＝＝.] 11．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為________. 【導學號：62172313】 　[如圖，當BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當BF＝4時，∠BAF為直角，則點D在線段CF(

19、不包含C、F點)上時，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為＝.] 12．隨機向邊長為5,5,6的三角形中投一點P，則點P到三個頂點的距離都不小于1的概率是________． 　[由題意作圖，如圖，則點P應(yīng)落在深色陰影部分，S三角形＝×6×＝12，三個小扇形可合并成一個半圓，故其面積為，故點P到三個頂點的距離都不小于1的概率為＝.] B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 3　[由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當m≤2時，由題意得＝， 解得m＝2.5，矛盾，舍去．

20、當2＜m＜4時，由題意得＝，解得m＝3.] 2．在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________． 　[∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根， ∴解得

21、正數(shù))內(nèi)擲一點，點落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點與該點的連線與x軸的夾角小于的概率為________． ＋　[由0＜y＜(a＞0)， 得(x－a)2＋y2＜a2， 因此半圓區(qū)域如圖所示． 設(shè)A表示事件“原點與該點的連線與x軸的夾角小于，由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝＝＝＋.] 5．(2015·湖北高考改編)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則下列正確的是________． ①p1

22、在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1.事件“x＋y≤”對應(yīng)的圖形為陰影△ODE(如圖①)， 其面積為××＝，故p1＝<，事件“xy≤”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分(如圖②)，其面積顯然大于，故p2>，則p1<