10、1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1,試證:當(dāng)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l與圓O恒相交,并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)L的取值范圍.
?【答案】（1）+=1.（2）≤L≤.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)在橢圓C上,所以+=1,即n2=16-.
又原點(diǎn)到直線l:mx+ny=1的距離,所以直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1恒相交,則,因?yàn)?5≤m≤5,所以≤L≤.
易錯(cuò)點(diǎn)4 忽略雙曲線定義中的限制條件
已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為
A．
11、雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線
C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線
【錯(cuò)解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．故選B．
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了雙曲線定義中的限制條件“差的絕對(duì)值”，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．
【試題解析】依題意得，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．故選D．
【參考答案】D．
在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確理解雙曲線的定義，才能正確解題．
當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌
12、跡是雙曲線，其中取正號(hào)時(shí)為雙曲線的右(上)支，取負(fù)號(hào)時(shí)為雙曲線的左(下)支；
當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；
當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡不存在．
4．當(dāng)0°≤α≤180°時(shí)，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線怎樣變化？
易錯(cuò)點(diǎn)5 忽略雙曲線中的隱含條件
已知M是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則______．
【錯(cuò)解】由雙曲線的定義可知，，因?yàn)?，所以或?
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了雙曲線中的一個(gè)隱含條件，即雙曲線上的點(diǎn)到
13、任一焦點(diǎn)的距離都大于等于c－a，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個(gè)．
【試題解析】由雙曲線方程可得，，，
由雙曲線的圖形可得點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離．
因?yàn)?，，所?舍去)或．
【參考答案】33
1．在求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d時(shí)，一定要注意這一隱含條件．
2．雙曲線方程中的大小關(guān)系是不確定的，但必有.
3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此雙曲線位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面區(qū)域內(nèi),同時(shí),也指明了坐標(biāo)系內(nèi)雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
關(guān)于雙曲線內(nèi)線段最長(zhǎng)或最短（距離最遠(yuǎn)或最近）問(wèn)題，有以下結(jié)論：
（1）雙曲線的左、右頂點(diǎn)距離相應(yīng)焦點(diǎn)最近；
（2）雙曲
14、線上一點(diǎn)與某焦點(diǎn)的距離的值最小為c-a；
（3）對(duì)于已知雙曲線內(nèi)（或外）一定點(diǎn)M，求雙曲線上一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與相應(yīng)焦點(diǎn)的距離與的和最小的問(wèn)題，當(dāng)涉及的三點(diǎn)共線時(shí)取得最值.
5．已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則·的最小值為_(kāi)______.?
【答案】-2
【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x≥1.
依題意,得A1(-1,0),F2(2,0),則·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4(x-)2-.
因此當(dāng)x=1時(shí),·取得最小值-2.
易錯(cuò)點(diǎn)6 忽略雙曲線的焦點(diǎn)所
15、在位置的討論
已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【錯(cuò)解】由題意知，且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的原因是未審清題目條件，而誤認(rèn)為焦點(diǎn)一定在x軸上，從而導(dǎo)致漏解．
【試題解析】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
綜上，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
【參考答案】或．
1．求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定雙曲線的類型，也就是確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后利用
16、待定系數(shù)法求出方程中的的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
對(duì)于方程
表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
表示雙曲線
對(duì)于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：
（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，結(jié)合已知條件可解.
注意：焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為；焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為．
2．在求雙曲線的方程時(shí)，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為.
已知雙曲線的漸近線方程，而不知焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí)，雙曲線的方程有兩個(gè)，為避免分類討論，可設(shè)雙曲線方程為．
因此，與
17、雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為；與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為．
6．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則離心率為
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心
率公式變形，即，注意區(qū)分雙曲線中的關(guān)系與橢圓中的關(guān)系，在橢圓中，而在雙曲線中.
易錯(cuò)點(diǎn)7 忽略直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況
若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則___________．
【錯(cuò)解】由題意可得，代入雙曲線方程得．
由題意可知，解得．
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了直線與雙
18、曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【試題解析】由題意可得，代入雙曲線方程得．
當(dāng)，即時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上，當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
【方法點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時(shí)，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元后得到的方程是否為一元一次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，因?yàn)橹本€與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況．
【參考答案】或.
1． 直線與雙曲線有三種位置關(guān)系：
（1）無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)直線有可能為雙曲線的漸近線．
（2）有一個(gè)公共點(diǎn)，分兩種情況：
①直線是雙
19、曲線的切線，特別地，直線過(guò)雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸；
②直線與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的一支有一個(gè)公共點(diǎn)．
（3）有兩個(gè)公共點(diǎn)，可能都在雙曲線一支上，也可能兩支上各有一點(diǎn)．
2．研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程，解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程，依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)，即若二次項(xiàng)系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則進(jìn)一步研究二次方程的根的判別式，得到直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
7．已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2).
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P,求當(dāng)直線l與雙曲線C
20、分別有一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)直線l的斜率k滿足的條件;
（2）若Q(1,1),試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）以Q為中點(diǎn)的弦不存在.
(ii)當(dāng)2-k2≠0,即k≠±時(shí),
Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).
①當(dāng)Δ=0,即k=時(shí),方程(*)有兩個(gè)相等的實(shí)根,即l與C有一個(gè)交點(diǎn).
②當(dāng)Δ>0時(shí),k<,且k≠±,即當(dāng)k<-或-時(shí),方程(*)無(wú)解,即l與C沒(méi)有交點(diǎn).
綜上,當(dāng)k=±或k=時(shí),l與C只有一個(gè)交點(diǎn)
21、;
當(dāng)時(shí),l與C沒(méi)有交點(diǎn).
易錯(cuò)點(diǎn)8 忽略拋物線定義中的限制條件
已知點(diǎn)P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程．
【錯(cuò)解】由拋物線的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線．
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以拋物線的方程為．
【錯(cuò)因分析】點(diǎn)P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，滿足拋物線的定義，但，故此拋物線的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程．
【試題解析】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則由題意，得，
化簡(jiǎn)整理得，此即所求的軌跡方程．
【參考答案】.
1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是特殊的拋物線方程，對(duì)坐標(biāo)軸的位
22、置有嚴(yán)格的要求．若從題意中無(wú)法判斷方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，可按求曲線方程的一般步驟求解．
2．拋物線定義中要求直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，若l經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，則軌跡為過(guò)定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．因此當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等時(shí)，不能盲目套用拋物線定義．
8．動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，1)的距離與它到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．直線
【答案】D
易錯(cuò)點(diǎn)9 忽略拋物線的焦點(diǎn)所在位置的討論
設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程.
【錯(cuò)解】易知準(zhǔn)線方程為x＝－，
因?yàn)闇?zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，
23、所以準(zhǔn)線方程為x＝－2，
所以－＝－2，解得m＝8，
故拋物線方程為y2＝8x.
【錯(cuò)因分析】題目條件中未給出m的符號(hào)，當(dāng)m>0或m<0時(shí)，拋物線的準(zhǔn)線是不同的，錯(cuò)解中考慮問(wèn)題欠周到．
【試題解析】當(dāng)m>0時(shí)，準(zhǔn)線方程為x＝－，
由條件知1－(－)＝3，所以m＝8.
此時(shí)拋物線方程為y2＝8x；
當(dāng)m<0時(shí)，準(zhǔn)線方程為x＝－，
由條件知－－1＝3，所以m＝－16，
此時(shí)拋物線方程為y2＝－16x.
所以所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x.
【參考答案】y2＝8x或y2＝－16x.
1．拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程與對(duì)應(yīng)圖形如下表所示：
圖 形
標(biāo)
24、準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
注：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0．
2．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)的位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：
若無(wú)法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.
9．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且通徑長(zhǎng)為6的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.
【答案】y2＝±6x.
25、
本題若只考慮焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的情況，而忽略了焦點(diǎn)也可能在x軸的負(fù)半軸上的情況，則會(huì)出現(xiàn)漏解．
易錯(cuò)點(diǎn)10 忽略直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況
求過(guò)定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程．
【錯(cuò)解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
由消去x，得，
則，解得．
故所求直線l的方程為或．
【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了與拋物線的對(duì)稱軸平行的直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，故產(chǎn)生漏解．
【試題解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與拋物線只有一
26、個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得，
則，解得，
此時(shí)直線l的方程為或．
綜上，直線l的方程為或或．
【參考答案】直線l的方程為或或．
直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組的解的個(gè)數(shù)．
（1）若，則當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．
（2）若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．特別地，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．
10．若直線y=kx-1與拋物線y2=4x有且只有一個(gè)
27、公共點(diǎn),則k的值為_(kāi)______.
【答案】-1或0
【解析】當(dāng)k=0時(shí),數(shù)形結(jié)合知,直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k≠0時(shí),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，得,消去x,得y2-y-=0,
因而Δ=+=0,即k=-1.
從而k=-1或0.
本題易忽略直線平行于拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn),而漏掉k=0.
一、橢圓
1．橢圓的定義
平面上到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，記作.
定義式：.
要注意，該常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離，才能構(gòu)成橢圓.
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)
28、方程
焦點(diǎn)在軸上，；
焦點(diǎn)在軸上，.
說(shuō)明：要注意根據(jù)焦點(diǎn)的位置選擇橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，知道之間的大小關(guān)系和等量關(guān)系：.
3．橢圓的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
(a＞b＞0)
(a＞b＞0)
圖形
范圍
，
，
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：x軸、y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
左焦點(diǎn)F1 (－c，0)，右焦點(diǎn)F2 (c，0)
下焦點(diǎn)F1 (0，－c)，上焦點(diǎn)F2 (0，c)
頂點(diǎn)
軸
線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；
長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b
離心率e
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾
29、何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：
（1）求出a,c，代入公式.
（2）只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.
二、雙曲線
1． 雙曲線的定義
（1）定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．
這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
（2）符號(hào)語(yǔ)言：.
（3）當(dāng)時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支；
當(dāng)時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)所對(duì)
30、應(yīng)的雙曲線的一支；
當(dāng)時(shí)，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；
當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，且.
（2）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)分別為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為2c，且．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
(a＞0，b＞0)
(a＞0，b＞0)
圖形
范圍
，
，
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：x軸、y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
焦點(diǎn)
左焦點(diǎn)F1(－c，0)，右焦點(diǎn)F2(c，0)
下焦點(diǎn)F1(0
31、，－c)，上焦點(diǎn)F2(0，c)
頂點(diǎn)
軸
線段A1A2是雙曲線的實(shí)軸，線段B1B2是雙曲線的虛軸；
實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，虛軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b
漸近線
離心率e
在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要注意定義中的條件的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用．
4．等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線．等軸雙曲線具有以下性質(zhì)：
（1）方程形式為；
（2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角；
（3）實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都等于，離心率．
1
32、．求雙曲線的離心率一般有兩種方法：
（1）由條件尋找滿足的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關(guān)系將雙曲線的離心率公式變形，即.
（2）根據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉(zhuǎn)化為含或的方程，求解可得，注意根據(jù)雙曲線離心率的范圍對(duì)解進(jìn)行取舍.
2．求解雙曲線的離心率的范圍，一般是根據(jù)條件，結(jié)合和，得到關(guān)于的不等式，求解即得.注意區(qū)分雙曲線離心率的范圍，橢圓離心率的范圍.另外，在建立關(guān)于的不等式時(shí)，注意雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最值的應(yīng)用.
三、拋物線
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F) 距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．
點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線
33、l叫做拋物線的準(zhǔn)線．拋物線關(guān)于過(guò)焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱，這條直線叫拋物線的對(duì)稱軸，簡(jiǎn)稱拋物線的軸．
注意：直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，若l經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，則軌跡為過(guò)定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（3）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（4）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
注意：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)為
34、負(fù)值時(shí)，不要出現(xiàn)p＜0的錯(cuò)誤.
3．拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖 形
幾
何
性
質(zhì)
范 圍
對(duì)稱性
關(guān)于x軸對(duì)稱
關(guān)于x軸對(duì)稱
關(guān)于y軸對(duì)稱
關(guān)于y軸對(duì)稱
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線方程
頂 點(diǎn)
坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)
離心率
4．拋物線的焦半徑
拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)F的連線段，叫做拋物線的焦半徑．
根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：
拋物線方程
焦半徑公式
5．拋物線的焦點(diǎn)弦
拋物線的焦點(diǎn)弦即過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線所成的相交弦．
35、
焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，，，則
拋物線方程
焦點(diǎn)弦公式
其中，通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸而交拋物線于A，B兩點(diǎn)的線段AB，稱為拋物線的通徑．
對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為2p．
1．拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即或，使問(wèn)題簡(jiǎn)化．
2．有關(guān)拋物線上一點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F和到已
36、知點(diǎn)E（E在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問(wèn)題，可依據(jù)拋物線的圖形，過(guò)點(diǎn)E作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F和到已知點(diǎn)E的距離之和是最小值.
四、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
1．曲線的交點(diǎn)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩條曲線，已知它們的方程為，求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求方程組的實(shí)數(shù)解.
方程組有幾組實(shí)數(shù)解，這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn).若方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，則這兩條曲線沒(méi)有交點(diǎn).
2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線相交時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，與雙曲線、拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn).
（1）直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)相交；直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)相切；直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)相離.
（2
37、）直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)相交.
當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與雙曲線相切外，還有可能是直線與雙曲線相交，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行.
直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)相離.
（3）直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)相交.
當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，除了直線與拋物線相切外，還有可能是直線與拋物線相交，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.
直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)相離.
3．弦長(zhǎng)的求解
（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng).
（3）當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).
4
38、．中點(diǎn)弦問(wèn)題
（1）AB為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.
（2）AB為雙曲線的弦，，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.
（3）在拋物線中，以M(x0，y0) 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.
1．若橢圓的焦距為2,則的值為
A．9 B．9或16
C．7 D．9或7
【答案】D
2．若雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則該雙曲線的方程為
A．??????????? B．
C．???????? ??
39、? D．
【答案】A
【解析】依題意,由橢圓的方程可得雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為與,
則c=,a=1,所以b=1,
所以雙曲線的方程為.
3．“”是“曲線=為雙曲線”的
A．充分不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
4．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,又過(guò)點(diǎn)的拋物線方程是
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,3),
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2px(p>0)，∴9=4p,解得p=,
∴.
(2)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸
40、,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?2,3),
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0)，∴4=6p,解得p=.
∴.
∴拋物線方程是或.故選D．
5．已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,
設(shè)到準(zhǔn)線的距離為,則====，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為.
6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為,則此雙曲線方程為
A． B．
C． D．
【答案】B
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為為拋物線上的一點(diǎn),且滿足,則點(diǎn)到的距離為
A． B．1
C． D．2
41、
【答案】B
【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．
8．橢圓=和雙曲線=的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),那么的值是______.
【答案】
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P是第一象限的點(diǎn),
由題意可得==,
所以,
則=.
9．已知拋物線C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是拋物線上的點(diǎn).若存在
42、斜率為-2的直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且點(diǎn)A到直線l的距離等于,則直線l的方程是______.
【答案】2x+y-1=0
【解析】根據(jù)題意,得4=2p,得p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.設(shè)直線l的方程為y=-2x+t,由得y2+2y-2t=0,因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.由點(diǎn)A到直線l的距離d=,可得,解得t=±1.因?yàn)閠≥-,所以t=1,所以直線l的方程為2x+y-1=0.
10．已知雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3)，求k的值.
【答案】－1
11．已知命題“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”,命題“方程表示雙曲線”.
（1
43、）若是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（2）若“或”是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】(1)命題:“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”,則,
解得.
(2)命題?“方程表示雙曲線”,則,
解得或.
若“或”是真命題,則至少一個(gè)是真命題,即一真一假或全為真.
則或或,
所以或或或.
所以或.
12．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,它的兩條漸近線的夾角為,焦距為12,求此雙曲線的方程及離心率.
【答案】見(jiàn)解析
13．已知拋物線=,直線=與交于兩點(diǎn),且=,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求拋物線的方程;
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為,記直線的斜率分別為,證明:為定值.
【答案
44、】（1）=；（2）見(jiàn)解析.
【解析】（1）將代入,得,
其中,
設(shè),則==,
所以===,
由已知==,
所以拋物線的方程為=.
14．已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程;
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）由題意知.
又∵雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
,
橢圓的方程為.
（2）若直線的傾斜角為,則=,
當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí),直線的方程可設(shè)為,
由=,
由,
設(shè),
則==,
=,
，,
故的取值范圍為.
15．已知分別是橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)
45、,是橢圓的左、右焦點(diǎn),以點(diǎn)為圓心、3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的交點(diǎn)在橢圓上,且.
（1）求橢圓的方程;
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),求證:.
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.
（2）由（1）及題意可畫圖,如圖,不妨令.設(shè),則.
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備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯(cuò)筆記系列 專題10 圓錐曲線 文
