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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料2超幾何分布 超幾何分布已知在8件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中任取2件，用X表示取得的次品數(shù)問題1：X可能取哪些值？提示：0,1,2.問題2：“X1”表示的試驗結(jié)果是什么？P(X1)的值呢？提示：任取2件產(chǎn)品中恰有1件次品P(X1).問題3：如何求P(Xk)？(k0,1,2)提示：P(Xk).超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MN)件是次品從中任取n(nN)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(Xk)(其中k為非負整數(shù))如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布(1)超幾何分布，實質(zhì)上就是有總數(shù)為N件的兩
2、類物品，其中一類有M(MN)件，從所有物品中任取n件，這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為k時的概率為P(Xk)(kl，l是n和M中較小的一個)(2)在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式求出X取不同值時的概率P，從而寫出X的分布列 利用超幾何分布公式求概率例1高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同現(xiàn)一次從中摸出5個球，若摸到4個紅球1個白球的就中一等獎，求中一等獎的概率思路點撥若以30個球為一批產(chǎn)品，則球的總數(shù)30可與產(chǎn)品總數(shù)N對應(yīng)，紅球數(shù)10可與產(chǎn)品中總的不合格產(chǎn)品數(shù)對應(yīng)，一次從中摸出5個球，即
3、n5，這5個球中紅球的個數(shù)X是一個離散型隨機變量，X服從超幾何分布精解詳析若以30個球為一批產(chǎn)品，其中紅球為不合格產(chǎn)品，隨機抽取5個球，X表示取到的紅球數(shù)，則X服從超幾何分布由公式得P(X4)0.0295，所以獲一等獎的概率約為2.95%.一點通解決此類問題的關(guān)鍵是先判斷所給問題是否屬于超幾何分布問題，若是，則可直接利用公式求解，要注意M，N，n，k的取值1一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則正好取到1件次品的概率是()A.B.C. D.解析：由題意10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P.答案：B2設(shè)10件產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，用X表示抽得次品的件數(shù)，則X服從參數(shù)為
4、_(即定義中的N，M，n)的超幾何分布答案：10,3,53從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機選出3名同學(xué)參加一項競技測試試求出選3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率解：設(shè)選出的女同學(xué)人數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3，且X服從參數(shù)為N10，M4，n3的超幾何分布，于是選出的3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率為：P(X1)P(X1)P(X2)P(X3)或P(X1)1P(X0)1.超幾何分布的分布列例2(10分)從5名男生和3名女生中任選3人參加某運動會火炬接力活動，若隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及P(X2)思路點撥可以將8人看作8件“產(chǎn)品”，3名女生看作3件“次品”，任選3人
5、中女生的人數(shù)可看作是任取3件“產(chǎn)品”中所含的“次品”數(shù)精解詳析由題意分析可知，隨機變量X服從超幾何分布其中N8，M3，n3，(2分)所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).(8分)從而隨機變量X的分布列為Xk0123P(Xk)所以P(X2)P(X0)P(X1).(10分)一點通解答此類題目的關(guān)鍵在于先分析隨機變量是否服從超幾何分布，如果滿足超幾何分布的條件，則直接利用超幾何分布概率公式來解當(dāng)然，本例也可通過古典概型解決4(重慶高考改編)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片(1)求所取3張卡片上的
6、數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列(注：若三個數(shù)a，b，c滿足abc，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為p.(2)X的所有可能值為1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的分布列為X123P5某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求其員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元令X
7、表示此人選對A飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力(1)求X的分布列；(2)用Y表示新錄用員工的月工資，求Y的分布列解：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(Xk)(k0,1,2,3,4)則X的分布列為Xk01234P(Xk)(2)令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100,2 800,3 500.則P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，則Y的分布列為Yk2 1002 8003 500P(Yk)1超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，從形式上看超幾何分布的模型，其產(chǎn)品有較明顯的兩部分組成2在超幾何分布中，只要知
8、道N，M和n，就可以根據(jù)公式求出隨機變量X取k時的概率P(Xk)，從而列出隨機變量X的分布列 1一個小組有6人，任選2名代表，求其中甲當(dāng)選的概率是()A.B.C. D.解析：設(shè)X表示2名代表中有甲的個數(shù)，X的可能取值為0,1，由題意知X服從超幾何分布，其中參數(shù)為N6，M1，n2，則P(X1).答案：B2在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于()A.B.C. D.解析：黑球的個數(shù)X服從超幾何分布，則至少摸到2個黑球的概率P(X 2)P(X2)P(X3).答案：A3某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X
9、表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則是表示的概率是()AP(X2) BP(X3)CP(X2) DP(X3)解析：6人中“三好生”的人數(shù)X服從超幾何分布，其中參數(shù)為N12，M5，n6，所以P(X3).答案：B4從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張A的概率為()A. B.C1 D.解析：設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)則P(X3)P(X3)P(X4).答案：D5某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為_解析：至少有1名女生當(dāng)選包括1男1女，2女兩種情況，概率為.答案：6知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，小張抽4題
10、，則小張抽到選擇題至少2道的概率為_解析：由題意知小張抽到選擇題數(shù)X服從超幾何分布(N10，M6，n4)，小張抽到選擇題至少2道的概率為：P(X2)P(X2)P(X3)P(X4).答案：7一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，求X的分布列解：由題意知，舊球個數(shù)X的所有可能取值為3,4,5,6.則P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列為Xi3456P(Xi)8在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張求顧客乙中獎的概率；設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值Y元，求Y的分布列解：(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況P(X1)，則P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列為Xk01P(Xk)(2)顧客乙中獎可分為互斥的兩類：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎故所求概率P.Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此隨機變量Y的分布列為Yk010205060P(Yk)
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