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1、
2.1.3 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
整體設(shè)計
教學(xué)分析
空間中直線與平面之間的位置關(guān)系是立體幾何中最重要的位置關(guān)系，直線與平面的相交和平行是本節(jié)的重點和難點.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系是根據(jù)交點個數(shù)來定義的，要求學(xué)生在公理1的基礎(chǔ)上會判斷直線與平面之間的位置關(guān)系.本節(jié)重點是結(jié)合圖形判斷空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.
三維目標
1.結(jié)合圖形正確理解空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.
2.進一步熟悉文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換.
3.進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.
重點難點
正確判定直線與平面的位置關(guān)系.
課時安排
1課時
2、
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(情境導(dǎo)入)
一支筆所在的直線與我們的課桌面所在的平面,可能有幾個交點?可能有幾種位置關(guān)系?
思路2.(事例導(dǎo)入)
觀察長方體（圖1），你能發(fā)現(xiàn)長方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與長方體ABCD—A′B′C′D′的六個面所在平面有幾種位置關(guān)系？
圖1
推進新課
新知探究
提出問題
①什么叫做直線在平面內(nèi)？
②什么叫做直線與平面相交?
③什么叫做直線與平面平行?
④直線在平面外包括哪幾種情況?
⑤用三種語言描述直線與平面之間的位置關(guān)系.
活動：教師提示、點
3、撥從直線與平面的交點個數(shù)考慮，對回答正確的學(xué)生及時表揚.
討論結(jié)果：①如果直線與平面有無數(shù)個公共點叫做直線在平面內(nèi).
②如果直線與平面有且只有一個公共點叫做直線與平面相交.
③如果直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行.
④直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.
⑤
直線在平面內(nèi)
aα
直線與平面相交
a∩α=A
直線與平面平行
a∥α
應(yīng)用示例
思路1
例1 下列命題中正確的個數(shù)是( )
①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α
②若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行
③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平
4、行，那么另一條也與這個平面平行
④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：如圖2,
圖2
我們借助長方體模型，棱AA1所在直線有無數(shù)點在平面ABCD外，但棱AA1所在直線與平面ABCD相交，所以命題①不正確；
A1B1所在直線平行于平面ABCD，A1B1顯然不平行于BD，所以命題②不正確；
A1B1∥AB,A1B1所在直線平行于平面ABCD，但直線AB平面ABCD,所以命題③不正確；
l與平面
5、α平行,則l與α無公共點,l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點,所以命題④正確.
答案：B
變式訓(xùn)練
請討論下列問題：
若直線l上有兩個點到平面α的距離相等，討論直線l與平面α的位置關(guān)系.
圖3
解：直線l與平面α的位置關(guān)系有兩種情況（如圖3），直線與平面平行或直線與平面相交.
點評：判斷直線與平面的位置關(guān)系要善于找出空間模型，結(jié)合圖形來考慮，注意考慮問題要全面.
例2 已知一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面.
已知直線a∥b∥c，直線l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求證：l與a、b、c共面.
證明：如圖4,∵a∥b,
圖4
6、
∴a、b確定一個平面，設(shè)為α.
∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.
同理b、c確定一個平面β，lβ,
∴平面α與β都過兩相交直線b與l.
∵兩條相交直線確定一個平面,
∴α與β重合.故l與a、b、c共面.
變式訓(xùn)練
已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，
求證：PQα.
證明：∵PQ∥a，∴PQ、a確定一個平面，設(shè)為β.
∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa,
由推論1：過P、a有且只有一個平面,
∴α、β重合.∴PQα.
點評：證明兩個平面重合是證明直線在平面內(nèi)問題的重要方法.
思路2
7、例1 若兩條相交直線中的一條在平面α內(nèi)，討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.
解：如圖5,另一條直線與平面α的位置關(guān)系是在平面內(nèi)或與平面相交.
圖5
用符號語言表示為：若a∩b=A,bα,則aα或a∩α=A.
變式訓(xùn)練
若兩條異面直線中的一條在平面α內(nèi)，討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.
分析：如圖6,另一條直線與平面α的位置關(guān)系是與平面平行或與平面相交.
圖6
用符號語言表示為：若a與b異面,aα,則b∥α或b∩α=A.
點評：判斷直線與平面的位置關(guān)系要善于找出空間模型，結(jié)合圖形來考慮，注意考慮問題要全面.
例2 若直線a不平行于平面α,且aα,則下列結(jié)
8、論成立的是( )
A.α內(nèi)的所有直線與a異面 B.α內(nèi)的直線與a都相交
C.α內(nèi)存在唯一的直線與a平行 D.α內(nèi)不存在與a平行的直線
分析：如圖7,若直線a不平行于平面α,且aα,則a與平面α相交.
圖7
例如直線A′B與平面ABCD相交，直線AB、CD在平面ABCD內(nèi)，直線AB與直線A′B相交，直線CD與直線A′B異面，所以A、B都不正確；平面ABCD內(nèi)不存在與a平行的直線，所以應(yīng)選D.
答案：D
變式訓(xùn)練
不在同一條直線上的三點A、B、C到平面α的距離相等，且Aα,給出以下三個命題：
①△ABC中至
9、少有一條邊平行于α;②△ABC中至多有兩邊平行于α；③△ABC中只可能有一條邊與α相交.
其中真命題是_____________.
分析：如圖8,三點A、B、C可能在α的同側(cè)，也可能在α兩側(cè)，
圖8
其中真命題是①.
答案：①
變式訓(xùn)練
若直線aα,則下列結(jié)論中成立的個數(shù)是( )
(1)α內(nèi)的所有直線與a異面 (2)α內(nèi)的直線與a都相交 (3)α內(nèi)存在唯一的直線與a平行 (4)α內(nèi)不存在與a平行的直線
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：∵直線a
10、α,∴a∥α或a∩α=A.
如圖9,顯然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以應(yīng)選A.
圖9
答案：A
點評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維.
知能訓(xùn)練
已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.
求證：a與β相交,b與α相交.
證明：如圖10,∵a∩b=P,
圖10
∴P∈a,P∈b.
又bβ,∴P∈β.
∴a與β有公共點P,即a與β相交.
同理可證,b與α相交.
拓展提升
過空間一點，能否作一個平面與兩條異面直線都平行？
解：(1)如圖11,
C′D′與BD是異面
11、直線，可以過P點作一個平面與兩異面直線C′D′、BD都平行.
如圖12,
圖11 圖12 圖13
顯然，平面PQ是符合要求的平面.
(2)如圖13,當點P與直線C′D′確定的平面和直線BD平行時，不存在過P點的平面與兩異面直線C′D′、BD都平行.
點評：判斷一個命題是否正確要善于找出空間模型（長方體是常用空間模型），另外考慮問題要全面即注意發(fā)散思維.
課堂小結(jié)
本節(jié)主要學(xué)習(xí)直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系有三種：
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點,
②直線與平面相交——有且只有一個公共點,
③直線與平面平行——沒有公共點.
另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點和難點.
作業(yè)
課本習(xí)題2.1 A組7、8.
設(shè)計感想
本節(jié)內(nèi)容較少，教材沒有討論線面平行的判定和性質(zhì)，只介紹了直線與平面的位置關(guān)系，因此認為本節(jié)空洞無物，那就錯了.直線與平面的位置關(guān)系是立體幾何的重要位置關(guān)系，雖沒有嚴格推理和證明，卻正好發(fā)揮我們空間想象能力和發(fā)散思維能力；本節(jié)的設(shè)計充分利用空間模型展現(xiàn)直線與平面的位置關(guān)系，提出了一些具有挑戰(zhàn)性的問題以激發(fā)學(xué)生的空間想象能力和發(fā)散思維能力.
高中數(shù)學(xué)必修2教案3_示范教案（2_1_3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系）
