2013-2017高考數(shù)學分類匯編-第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

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1、 第八章 立體幾何 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 題型97 證明空間中直線、平面的垂直關系 2013年 1. （2013四川文19）如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，分別是線段的中點，是線段上異于端點的點. （1）在平面內(nèi)，試作出過點與平面平行的直線，說 明理由，并證明直線平面； （2）設（1）中的直線交于點，求三棱錐的體積. （錐體體積公式：，其中為底面面積，為高）. 2. （2013山東文19） 如圖，四棱錐中，，，， ，分別為的中點． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面 3. (20

2、13重慶文19）如圖，四棱錐中，底面，，，. （1）求證：平面； （2）若側棱上的點滿足，求三棱 錐的體積. 2014年 1.（2014遼寧文4）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ） A．若則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 2.（2014浙江文6）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面（ ）. A．若，，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，，則 3.（2014廣東文9）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下列結論一定正確的是（ ）. A． B. C. 既不垂直也不

3、平行 D. 的位置關系不確定 4.（2014北京文17）（本小題滿分14分）如圖所示，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，，分別為，的中點. （1）求證：平面平面； （2）求證：平面； （3）求三棱錐的體積. 5.（2014新課標Ⅰ文19） 如圖所示，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面. （1）求證：； （2）若，，，求三棱柱的高. 6.（2014遼寧文19） 如圖所示，和所在平面互相垂直，且 ，，，，分別為 ，，的中點. （1）求證：平面； （2）

4、求三棱錐的體積. 附：錐體的體積公式，其中為底面面積，為高. 7. （2014廣東文18）如圖1所示，四邊形為矩形，平面，作如圖2所示的折疊：折痕.其中點分別在線段上，沿折疊后點在線段上的點記為，并且. （1） 求證：平面; （2） 求三棱錐的體積. 8.（2014江蘇16）如圖所示，在三棱錐中，，，分別為棱，，的中點．已知，，，． 求證：（1）直線平面；（2）平面平面． 9.（2014重慶文20）如圖所示，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點，且. （1）求證：平面； （2）若，求四棱

5、錐的體積. 10．（2014湖北文20）如圖所示，在正方體中， 分別是棱，，， ，，的中點. 求證： （1）直線平面； （2）直線平面. 2015年 1.（2015湖南文18）如圖所示，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點. （1）證明：平面平面； （2）若直線與平面所成的角為， 求三棱錐的體積. 1. 解析 （1）如圖所示，因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點，所以，因此平面，又平面，所以平面平面. （2）設的中點為，聯(lián)結. 因為是正三角形，所以.又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面. 所以為直

6、線與平面所成的角. 由題設，所以， 在中，，所以. 故三棱錐的體積. 2.（2015天津文17）如圖所示，已知平面， ，， ，， ， 點，分別是，的中點. （1）求證： 平面 ； （2）求證：平面平面. （3）求直線與平面所成角的大小. 2.分析 （1）要證明平面，只需證明且平面； （2）要證明平面平面，可證明，；（3）取 中點， 聯(lián)結 ，則就是直線 與平面所成角，中， 由，得直線與平面所成角為. 解析 （1）如圖所示，聯(lián)結，在中，因為和分別是，的 中點，所以，又因為平面， 所以平面. （2）因為， 為中點，所以. 因為

7、平面，，所以平面，從而. 又 ，所以平面 . 又因為平面，所以平面平面. （3）取中點和中點，聯(lián)結，， 因為和分別為，中點，所以， ，故，，所以. 又因為平面，所以平面，從而就是直線與平面所成角. 在中，可得，所以. 因為，所以，又由，有，在中，可得， 在中，，因此. 所以直線與平面所成角為. 3.（2015全國1文18）如圖所示，四邊形為菱形，G為與的交點，平面. （1）求證：平面平面； （2）若，，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積. 3. 解析 （1）因為平面，所以. 又為菱形，所以. 又因為，，平面， 所以平面.又

8、平面，所以平面平面. （2）在菱形中，取， 又，所以，. 在中，，所以， 所以在中，， 所以，解得. 在中， 可得. 所以. 4．（2015山東文18）如圖所示，在三棱臺中，，分別為的中點. （1）求證：∥平面； （2）若，，求證：平面平面. 4. 解析 （1）證法一：聯(lián)結.設，聯(lián)結，如圖所示. 在三棱臺中，，為的中點，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點. 又是的中點，所以. 又平面，平面，所以平面. 證法二：在三棱臺中，由，為的中點，可得，所以為平行四邊形，可得. 在中，分別為，的中點，所以.又， 所以平面平面

9、，因為平面，所以平面. （2）證明：聯(lián)結，如圖所示. 因為分別為的中點，所以. 由，得. 又為的中點，，所以，因此四邊形是平行四邊形，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 5. (2015浙江文18) 如圖所示，在三棱柱中，， ，在底面的射影為的中點，為的中點. （1）證明：平面； （2）求直線和平面所成的角的正弦值. 此題無答案 26.(2015重慶文20) 如題（20）圖，三棱錐中，平面平面，，點，在線段上，且，，點在線段上，且. （1）證明：平面. （2

10、）若四棱錐的體積為7，求線段的長. 26. 解析 （1）由，知點為等腰中底邊的中點， 故． 又平面平面，平面平面，平面，所以 平面，從而． 因為，，故. 從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面． （2）設，則在中，， 從而. 由，知，得，故，即． 由，， 從而四邊形的面積為 ． 由（1）知，平面，所以為四棱錐的高． 在中，， 體積，故得，解得或． 由于，可得或，所以或． 2016年 1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線.若直線，滿足，，則（ ）. A. B. C. D. 1.C

11、解析 對于選項A，因為，所以.又因為，所以與平行或異面.故選項A不正確；對于選項B和D，因為，，所以或.又因為，所以與的關系平行、相交或異面都有可能.故選項B和D不正確；對于選項C，因為所以因為所以，故選項C正確，故選C. 2.（2016全國甲文19）如圖所示，菱形的對角線與交于點，點，分別在，上， ，交于點.將沿折到的位置. （1）證明：； （2）若 ，求五棱錐的體積. 2.解析 （1）因為四邊形為菱形，所以，所以，所以，所以. 又因為，所以，所以.所以. （2）由得， 由得 所以 于是故 由（1）知，又，所以平面，于是 又由，所以平面. 又由得， 五邊形

12、的面積 . 3.（2016北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面?說明理由. 3.解析 （1）因為平面，所以. 又因為，.所以平面. （2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面 （3）棱上存在點，使得平面.證明如下. 取中點，聯(lián)結. 又因為為的中點，所以.又因為平面，所以平面. 4.（2016山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點，. （1）已知，. 求證：； （2）已知分別是和的中點.求證：平面. 4.解析 （1）證明：因為，所以與

13、確定一個平面，連接，如圖1所示. 因為為的中點，所以；同理可得. 又因為，所以平面，因為平面，所以. （2）設的中點為，連接，如圖2所示. 在中，是的中點，所以.又，所以；在中，是的中點， 所以.又，，所以平面平面. 因為平面，所以平面. 5（2016江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點，點在側棱上，且，. 求證：（1）直線平面； （2）平面平面. 5.解析 （1）因為分別為的中點，所以為的中位線，所以. 又因為三棱柱為直棱柱，故，所以. 又因為平面，且，故平面. （2）三棱柱為直棱柱，所以平面. 又平面，故.又，

14、且，平面，所以平面. 又因為平面，所以. 又因為，，且平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面. 6.（2016全國乙文18）如圖所示，已知正三棱錐的側面是直角三角形，，頂點在平面內(nèi)的正投影為點，在平面內(nèi)的正投影為點.聯(lián)結并延長交于點. （1）求證：是的中點； （2）在題圖中作出點在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積. 6.解析 （1）由題意可得為正三角形，故. 因為在平面內(nèi)的正投影為點，故平面. 又平面，所以. 因為在平面內(nèi)的正投影為點，故平面. 又平面，所以. 因為，，，平面，所以平面.又平面，所以. 因為，所以是的中點.

15、 （2）如圖所示，過作交于，則即為所要尋找的正投影. 理由如下，因為，，故.同理， 又，平面，所以平面， 故即為點在平面內(nèi)的正投影. 所以. 在中，，，，故由等面積法知.由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故. 7.（2016四川文17）如圖所示，在四棱錐中，，，，. （1）在平面內(nèi)找一點，使得直線平面，并說明理由； （2）證明：平面平面 7.解析（1）取棱的中點平面，點即為所求的一個點.證明如下： 因為，所以，且所以四邊形是平行四邊形，從而 又平面，平面，所以平面 (說明：取棱的中點，則所找的點可以是直線上任意一點). （2）

16、由已知，，因為，所以直線與相交，所以平面從而 因為，所以，且 所以四邊形是平行四邊形. 所以，所以又，所以平面 又平面，所以平面平面 2017年 1.（2017全國3文10）在正方體中，為棱的中點，則（ ）. A． B． C． D． 解析 因為，，且，所以平面， 又因為平面.所以.故選C. 評注 本題屬于線面關系定理的實際應用問題，有一定難度，需要學生有較強的空間想象能力和公式定理的實際應用能力，問題的重點與難點在于找到與包含的平面垂直的直線！ 2.（2017全國1文18）如圖所示，在四棱錐中，，且. (1)證明：平

17、面平面； (2)若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積. 解析 （1）因為，所以. 因為，所以，因為，所以． 又，所以平面. 因為平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面，因為平面，所以平面平面． 如圖所示，取中點.因為，，所以. 又因為平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 由，得四邊形為平行四邊形.又因為平面，得，即四邊形是矩形. 不妨設，則，所以，且． 因此四棱錐的體積為，解得． 所以． 3.（2017全國3文19）如圖所示，四面體中，是正三角形，． （1）證明：； （2）已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點， 且，求四面體與四面體的

18、體積比． 解析 （1）設中點為，聯(lián)結，. 由，得，由，得. 又因為，所以平面.又因為平面，所以. (2)設，則. 由，得，故. 又因為，所以.所以，所以，可得. 即點為的中點，點到平面的距離是點到平面的距離的一半，所以，所以體積比為. 評注 本題第一問考查線線垂直的證明，屬于常規(guī)題型；第二問用相似或解三角形的方法求解直線長度，特別是用相似在高中階段比較少見，但16年全國卷選擇題的壓軸題也有類似考法.這說明，雖然幾何證明在高中階段已經(jīng)不再作為一個固定的選作題出現(xiàn)，但其主要知識點仍然可以作為考點，在高考中進行考查，筆者提醒各位老師在今后的教學中要特別注意到這一點. 4.（20

19、17北京文18）如圖所示，在三棱錐中，，，，，為線段的中點，為線段上一點． （1）求證：； （2）求證：平面平面； （3）當平面時，求三棱錐的體積． 解析 （1）因為， ，，所以平面.又因為平面，所以.. （2）因為，，為線段的中點，所以在等腰中，.又 由（1）可知，，所以平面.由為線段上一點，則平面，所以又因為平面，所以平面平面. （3）當平面時，平面,且平面平面,可得.由是邊的中點知，為邊的中點.故而，，因為平面，所以平面. 由，，為邊中點知，又，有，即因此，. 5.（2017山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平

20、面. （1）證明：平面； （2）設是的中點，證明：平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點，聯(lián)結，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因為四邊形是正方形，所以，，分別為和的中點，所以. 又 面，平面，所以. 因為 ，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點，聯(lián)結，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因為四邊形是正方形，所以，，分別為和的中點，所以. 又 面，平面，所以. 因為 ，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所

21、以平面平面. 6.（2017浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點. （1）證明：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，設DE的中點為，聯(lián)結，. 因為，分別為，的中點，所以，且. 又因為，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平面. （2）分別取，的中點為，.聯(lián)結交于點，聯(lián)結. 因為，，分別是，，的中點，所以為的中點，在平行四邊形中，. 由為等腰直角三角形，得. 由，是的中點，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面， 由，得平面，又平面，所以平面平面.

22、 過點作的垂線，垂足為，聯(lián)結. 是在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角. 設.在中，由，，，由余弦定理得， 又平面，平面，所以.在中，由，，,為的中點，得. 在中，，，所以， 所以直線與平面所成角的正弦值是. 7.（2017江蘇15）如圖所示，在三棱錐中，，， 平面平面， 點（與不重合）分別在棱上，且． 求證：（1）平面； （2）． 解析 （1）在平面內(nèi)，因為，，且點與點不重合，所以. 又因為平面，平面，所以平面. （2）因為平面平面，平面平面， 平面，，所以平面. 因為平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面.又因為平面，所以. 題型9

23、8 與垂直有關的開放性、探究性問題 2015年 1.(2015安徽文19) 如圖所示，在三棱錐中，平面，. （1）求三棱錐的體積； （2）求證：在線段上存在點，使得，并求的值. 1.分析 （1）在中，由三角形的面積公式，求出三角形面積.又因為面，所以是三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式即可求出結果； （2）過點作于點，過作交于點，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可知此點即為所求，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結果. 解析 （1）在中，，，， 所以. 又因為面，所以是三棱錐的高， 所以. （2）過點作交于點，過點作交于點，聯(lián)結，如圖所示.因為面，所以面. 又面，得. 又，

24、所以面. 又面，所以. 此時點即為所找點，在中，由題意可得，所以. 由，可得，所以，所以. 2.（2015北京文18） 如圖所示，在三棱錐中，平面平面，三角形 為等邊三角形，，且，，分別為，的中點. （1） 求證：平面. （2） 求證：平面平面 . （3） 求三棱錐的體積. 2.解析 （1）依題意，，分別為，的中點，則是的中位線， 所以，平面，平面，故平面. （2）因為在中，，且為的中點，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故平面平面. （3）由（2）知，平面， 所以 3．（2015福建文20）如圖所

25、示，是圓的直徑，點是圓上異于的點， 垂直于圓所在的平面，且． （1）若為線段的中點，求證：平面； （2）求三棱錐體積的最大值； （3）若，點在線段上，求的最小值． 3.分析 （1）要證明平面，只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線．首先由垂直于圓所在的平面，可證明.又，為的中點，可證明，進而證明結論；（2）三棱錐中，高，要使得體積最大，則底面面積最大，又是定值，故當邊上的高最大，此時高為半徑，進而求三棱錐體積的最大值；（3）將側面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使 之與平面共面，此時線段的長度即為的最小值． 解析 （1）在中，因為，為的中點，所以． 又垂直于圓所在的平面，所以.因為，所以平面．

26、 （2）因為點在圓上，所以當時，到的距離最大，且最大值為1． 又，所以面積的最大值為． 又因為三棱錐的高，故三棱錐體積的最大值為． （3）解法一：在中，，，所以．同理，所以． 在三棱錐中，將側面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面， 如圖所示． 當共線時，取得最小值． 又因為，，所以垂直平分，即為中點． 從而，即的最小值為． 解法二：由解法一可知，， ， 所以當為的中點時，與同時取得最小值. 故. 所以的最小值為. 4.（2015湖北文20）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑

27、.在如圖所示的陽馬中，側棱底面，且，點是的中點，連接、、. (1)證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑. 若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明 理由； (2)記陽馬的體積為，四面體的體積為， 求的值. 4.解析 (1)因為底面，所以. 由底面為長方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因為，點是的中點，所以. 而，所以平面.由平面，平面. 可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是 (2)由已知，是陽馬的高，所以. 由(1)知，是鱉臑的高，，所以. 在中，因為，點是的中點， 所以，于是 5.（2015江

28、蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，． （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長． 5.解析 由平面，，故，，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，． （1）易知平面，故平面的一個法向量為． 又，. 設平面的一個法向量為，則，. 所以，取，則，，故， 因此. 易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為． （2）因，設，． 所以， 因此， 設， 所以 ， 令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所

29、以當時，有最大值， 即有最大值，此時直線與所成的角最小，故． 評注 也可以假設點的坐標解決． 在求解的最大值時，也可以處理成： ，設，則， 所以， 所以當，取最小值， 此時取最大值， 此時直線與所成的角最小，即，解得，故． 6.（2015四川文18）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. （1）請按字母F，G，H標記在正方體相應地頂點處（不需要說明理由）； （2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關系.并說明你的結論； （3）求證：直線平面. 6.解析 （1）點F，G，H的位置如圖所示. （2）平面平面.證明如下： 因為為正方

30、體，所以，. 又，，所以，.所以為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面.同理平面. 又，所以平面平面. （3）聯(lián)結，因為為正方體，所以平面.因為平面，所以. 又，，所以平面. 又平面，所以. 同理，.又，所以平面. 題型99 空間角與空間距離 2013年 1．（2013江西文19）如圖，直四棱柱中，，，，，， 為上一點，，. （1）證明：⊥平面; （2）求點到平面的距離 2. (2013天津文17） 如圖， 三棱柱中， 側棱⊥底面，且各棱長均相等.分別為棱的中點. （1）證明：平面； （2）證明：平面⊥平面； （3）求直

31、線與平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17） 如圖2.在直棱柱中，，，，是的中點，點在棱上運動. （1）證明：； （2）當異面直線， 所成的角為時，求三棱錐的體積. 4.(2013浙江文20）如圖，在在四棱錐中，⊥面，，， ，，為線段上的點. （1）證明：⊥平面; （2）若是的中點，求與所成的角的正切值； （3）若滿足⊥ 面，求的值. 2014年 1.（2014大綱文4）已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）. A． B． C． D．

32、2.（2014天津文17）如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點. （1） 求證：平面； （2） 若二面角為， ① 求證：平面平面； ② 求直線與平面所成角的正弦值. 3.（2014浙江文20）如圖所示，在四棱錐中，平面平面；，，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成的角的正切值. 4.（2014大綱文19）如圖所示，三棱柱中，點在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，，. （1）求證：； （2）設直線與平面的距離為，求二面角的大小. 5. （2014新課標Ⅱ文18）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點. （1）

33、求證：平面； （2）設，，三棱錐的體積，求到平面的距離. 5.（2014湖南文18）如圖所示，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點在棱上，，是的中點，面，垂足為. （1）求證：平面； （2）求異面直線與所成角的余弦值. 2015年 1.（2015江蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，． （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長． 1.

34、解析 由平面，， 故，，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，． （1）易知平面， 故平面的一個法向量為． 又，， 設平面的一個法向量為， 則，， 所以，取， 則，，故， 因此， 易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為． （2）因，設，． 所以， 因此， 設， 所以 ， 令，則， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以當時，有最大值， 即有最大值，此時直線與所成的角最小，故． 評注 也可以假設點的坐標解決． 在求解的最大值時，也可以處理成： ，設，則， 所以， 所以當，取最小值， 此時取最大值， 此時直線與

35、所成的角最小，即，解得，故． 2016年 1.（2016全國乙文11）平面過正方體的頂點，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（ ）. A. B. C. D. 1.A 解析 解法一：將圖形延伸出去，構造一個正方體，如圖所示.通過尋找線線平行構造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A. 解法二（原理同解法一）：過平面外一點作平面，并使平面，不妨將點變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A. 2.（2016浙江文

36、14）如圖所示，已知平面四邊形，，，，.沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦的最大值是______. 2. 解析 設直線與所成角為.設是中點由已知得，如圖所示，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，有，，. 作于，翻折的過程中，始終與垂直，且的長度始終不變，，則，，因此可設，則，與平行的單位向量為. 所以， 所以時，取最大值. 3.（2016上海文19）將邊長為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示，長為，長為，其中與在平面的同側. （1）求圓柱的體積與側面積； （2）求異面直線與所成的角的大小. 3.解析 （

37、1）由題意可知，圓柱的母線長，底面半徑. 圓柱的體積， 圓柱的側面積. （2）設過點的母線與下底面交于點，則， 所以或其補角為與所成的角. 由長為，可知， 由長為，可知，， 所以異面直線與所成的角的大小為. 4.（2016浙江文18）如圖所示，在三棱臺中，平面平面，，，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的余弦值. 4.解析 （1）因為此幾何體三棱臺，延長可相交于一點，如圖所示. 因為平面，平面為，，且，所以，因此. 又因為，可以求得， 所以為等邊三角形，且為的中點，則. 因為，，所以平面. （2）因為平面，所以是直線與

38、平面所成的角，因為點為的中點，，所以.在中，，，得.所以直線與平面所成的角的余弦值為. 5.（2016天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，，，，為的中點. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求直線與平面所成角的正弦值. 5.解析 （1）如圖所示，取的中點為，聯(lián)結，. 在中，因為是的中點，所以且. 又因為，，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面 （2）證明：在中，，，. 由余弦定理可得，進而可得，即. 又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面. 又因為平面，所以平面平面. （3）因為，

39、所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角. 過點作于點，連接，如圖所示. 又因為平面平面，由（2）知平面，所以直線與平面所成角即為. 在中，. 由余弦定理可得，所以. 因此. 在中，， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 2017年 1.（2017天津文17）如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，，，. （1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）求證：平面； （3）求直線與平面所成角的正弦值. 解析 （1）如圖所示，由已知，故或其補角即為異面直線與所成的角.因為平面，平面，所以. 在中，由勾股定理，得，故. 所以異面直線與所成角的

40、余弦值為. （2）證明：因為平面，直線平面，所以. 又因為，所以. 又，且，所以平面. （3）如圖所示，過點作的平行線交于點，聯(lián)結，則與平面所成的角等于與平面所成的角. 因為PD⊥平面，平面，所以PD⊥，所以為在平面上的射影，所以為直線和平面所成的角. 因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以. 由，得. 因為平面，平面，所以，又因為，所以. 在中，由勾股定理得，所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 2.（2017浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點. （1）證明：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 解析 （1）

41、如圖所示，設DE的中點為，聯(lián)結，. 因為，分別為，的中點，所以，且. 又因為，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平面. （2）分別取，的中點為，.聯(lián)結交于點，聯(lián)結. 因為，，分別是，，的中點，所以為的中點，在平行四邊形中，. 由為等腰直角三角形，得. 由，是的中點，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面， 由，得平面，又平面，所以平面平面. 過點作的垂線，垂足為，聯(lián)結. 是在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角. 設.在中，由，，，由余弦定理得， 又平面，平面，所以.在中，由，，,為的中點，得. 在中，，，所以， 所以直線與平面所成角的正弦值是.