數(shù)學理高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題六 滿分示范課 Word版含解析

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1、 滿分示范課——函數(shù)與導數(shù) 函數(shù)與導數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導數(shù)為工具，重點考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復雜函數(shù)零點的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點．對于這類綜合問題，一般是先求導，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理． 【典例】　(滿分12分)(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ln x－. (1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點； (2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y＝ln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． [規(guī)

2、范解答]　(1)f(x)的定義域為(0，1)∪(1，＋∞)． 因為f′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)單調(diào)遞增． 因為f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零點x1(e

3、x在點A(x0，ln x0)處切線的斜率也是. 所以曲線y＝ln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線y＝ex的切線． 高考狀元滿分心得 1．得步驟分：抓住得分點的步驟，“步步為贏”，求得滿分．如第(1)問中，求導正確，判斷單調(diào)性．利用零點存在定理，定零點個數(shù)．第(2)問中，由f(x0)＝0定切點B，求切線的斜率． 2．得關鍵分：解題過程不可忽視關鍵點，有則給分，無則沒分，如第(1)問中，求出f(x)的定義域，f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)性的判斷；第(2)問中，找關系ln x0＝，判定兩曲線在點B處切線的斜率相等． 3．得計算分：解題過程中計算準確是得滿分的根本保證． 如

4、第(1)問中，求導f′(x)準確，否則全盤皆輸，判定f(x1)＝－f＝0；第(2)問中，正確計算kAB等，否則不得分． [解題程序]　第一步：求f(x)的定義域，計算f′(x)． 第二步：由f(x)在(1，＋∞)上的單調(diào)性與零點存在定理，判斷f(x)在(1，＋∞)上有唯一零點x0. 第三步：證明f＝0，從而f(x)在定義域內(nèi)有兩個零點． 第四步：由第(1)問，求直線AB的斜率k＝. 第五步：求y＝ex在點A、B處的切線斜率k＝，得證． 第六步：檢驗反思，規(guī)范解題步驟． [跟蹤訓練] 1．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.718 28….

5、 (1)證明：函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的個數(shù)，并說明理由； (1)證明：由題意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0， 所以h(1)·h(2)＜0， 所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點． (2)解：由(1)可知，h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x. 由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)， 且h(0)＝0，則x＝0為h(x)的一個零點． 又h(x)在(1，2)內(nèi)有零點， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有兩個零點． h′(x)

6、＝ex－x－－1，記φ(x)＝ex－x－－1. 則φ′(x)＝ex＋x－， 當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)＞0，則φ(x)在(0，＋∞)上遞增．易知φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)只有一個零點， 所以h(x)在[0，＋∞)上有且只有兩個零點， 所以方程f(x)＝g(x)的根的個數(shù)為2. 2．(2019·安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R)． (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數(shù)x1，x2，都有<＋. (1)解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋a＝. 當a≥0時，f′(x)>0

7、，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當a<0時，由f′(x)＝0，得x＝－. 若x∈，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增； 若x∈，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 綜上：當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． (2)證明：由(1)知，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不滿足條件． 當a<0時，f(x)的極大值為f＝－ln(－a)， 由已知得－ln(－a)＝0，故a＝－1， 此時f(x)＝ln x－x＋1. 不妨設01)， 故g(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞減， 所以g(x)