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1、
空間向量及其運算備考策略
主標題：空間向量及其運算備考策略
副標題：通過考點分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學生備考復習打通快速通道。
關(guān)鍵詞：空間向量，坐標運算，數(shù)量積，備考策略
難度：2
重要程度：4
內(nèi)容
考點一 空間向量的線性運算
【例1】 如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA、BC的中點，點G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x，y，z的值分別為________________．
解析 ∵＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋－
＝＋×(＋)－×
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
根據(jù)空間向量的基本定理，x＝，y＝z
2、＝.
答案 ，，
【備考策略】 (1)選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解題時應結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量．
(2)首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．所以在求若干向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和．
【訓練1】 如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．設E是棱DD1上的點，且＝，試用，，表示.
解?。剑?
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－.
考點二 共線定理、共面定理的應用
3、
【例2】 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：
(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)BD∥平面EFGH.
證明 (1)連接BG，則＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)因為＝－＝－＝(－)＝，因為E，H，B，D四點不共線，所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
【備考策略】 證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明＝x＋y或?qū)臻g任一點O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y
4、＋z＝1)即可．共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件．
【訓練2】 已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足＝(＋＋)．
(1)判斷，，三個向量是否共面；
(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)．
解 (1)由已知＋＋＝3 ，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基線過同一點M，
∴四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內(nèi).
考點三 空間向量的數(shù)量積及其應用
【例3】 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求BD的長．
思路 由圖形折疊的相關(guān)知識得到折疊后圖形中線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，然后用，，表示，根據(jù)||＝求解．
解 ∵AB與CD成60°角，∴<，>＝60°或120°，
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴||＝＝
＝
＝
＝，
∴||＝2或.
∴BD的長為2或.
【備考策略】 (1)利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算．
(2)利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題．
①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；
②|a|＝；
③cos＝.
高考數(shù)學專題復習教案： 空間向量及其運算備考策略
