必修4《第二章平面向量》章末測試卷含解析

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1、第二章章末測試 時(shí)間：90分鐘分值：100分 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的. 1.下列命題正確的是() a.向量aB與BA是相等向量 B.共線的單位向量是相等向量 C.零向量與任一向量共線 D.兩平行向量所在直線平行 答案：C 解析：利用向量的概念進(jìn)行判定. 2 .向量a,b反向，下列等式成立的是() A. |a-b|=|a|-|b| B. |a+b|=|a|+|b| C. |a|+|b|=|a-b| D. |a+b|=|a-b| 答案：C 解析：當(dāng)a,b反向時(shí)，由向量加法或減法的幾何意

2、義可知，|a—b|=|a|十|b|. 3 .以a=(—1,2),b=(1,—1)為基底表示c=(3,—2)為() A.c=4a+bB.c=a+4b C.c=4bD.c=a-4b 答案：B 解析：設(shè)c=xa+yb,則(3,—2)=x(—1,2)+y(1,-1)=(-x+y2x-y), 所以—x+y=3且2x—y=—2,解得x=1,y=4. 所以c=a+4b. 4 .已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(—1,0)、B(5,6)、P(3,4),則AP-BP等于() A.0B.-16 C.16D.8 答案：B 解析：AP=(4,4),EBP=(-2,—2),所以AP?BP=—16. ￡2 2

3、 A.22 B. 5.向量a=(-1,1)在向量b=(3,4)上的射影為( D. C 答案: C. 解析：由ab=|a||b|cos。,得|a|cos。=a|b|b= —1X3+1X41 V32+425. ,.3一。?！弧? 6 .已知a=(3,2),b==(_v3,cosa),a//b且0Va<180，則a等于( A.30°B.60° C.120°D,150° 答案：C 31一一一。 斛析：.a//b,??3COSa=—2，.?COSa=—2，又0Va〈兀，…a=120. 7 .給定兩個(gè)向量a=(2,1),b=(-3,4),若(a+xb)±(a-b),則x

4、等于() 13 A. 27 13 B. 2 CW 答案: 解析: 7 D.27 D a+xb=(2,1)+(—3x,4x)=(2—3x,1+4x),a—b=(2,1)—(—3,4)=(5,-3),-.(a+xb)±(a -b),(2-3x)-5+(1+4x)-(-3)=0,??-x=27. ,，一..5 8 .已知向量a=(1,2),b=(-2,—4),|c|=45,若(a+b)?c=],則a與c的夾角為() A.30°B.60° C.120°D.150° 答案：C 5 解析：由條件知同=服|b|=2#,a+b=(-1,-2),z.|a+b|=^5,

5、v(a+b)?c=|,/.^x 5 5/5-cos0=2，其中。為a+b與c的夾角，，0=60，=a+b=—a,，a+b與a萬向相反，，a與c的夾角為120°. 9.在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,則|a—b+c|等于() 3 A.1B.2 5 C.2D.2 答案：C 解析：先求模的平方. 10. 將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)，它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可 以形成一個(gè)正六角星，如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)。為中心，其中漱，y,分別為原點(diǎn)O到兩個(gè) 頂點(diǎn)的向量.若將原點(diǎn)。到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量，都寫成為a.+by

6、的形式，則a+b的最大值為() A.2B.3C.4D.5答案：D解析：要求a+b的最大值，只需考慮右圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，討論如下： (1) ..OA=女，，(a,b)=(1,0); (2) .OB=OF+FB=y+3%,?.(a,b)=(3,1); 7, (3) ?.OC=OF+FC=y+24(a,b)=(1,2); f->，一、一一，.、，__、 (4) OD=OF+FE+ED=y+-X+OC=y+-X+(y+2-x)=2^y+3"X,?'"(a,b)=(3,2); 7^, (5) ,.OE=OF+FE=y+(a,b)=(1,1); (6) .Of=^,??

7、?(a,b)=(0,1). ?,?a+b的最大值為3+2=5. 二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.把答案填入題中橫線上. 11 .已知向量a,b滿足|a|=2011,|b|=4,且2-b=4022,則a與b的夾角為 ?一兀 答案：Q 3 解析：設(shè)a與b的夾角為0,由夾角余弦公式cosQ=0—b=4022=2,解得0=4|a||b|2011X423 12 .已知向量a=(1,t),b=(-1,t).2a—b與b垂直，則|a|=. 答案：2 解析：由(2a-b)b=0,可得t=±5所以|a|=J?不一2=2. ti a c 13 .如右圖，在^A

8、BC中，/BAC=135°,AB=a/2,AC=1,D是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD,貝UAD-BC=. 4 答案：—3 解析：根據(jù)向量的加減法法則有：Bc=>ac-Ab, ad=Ab+bd=>ab+1(;ac-Ab)=3>ac+|>ab,此時(shí)AD-Bc=(：3>ac+|>ab)(ac-Ab)=^|>ac|2+73ac-AB_||aB|2 1— 1x1xTlx出—2x2=—4 33"233. 三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15?18小題各10分.解答 應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 14 .已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(V6,2)、B(0,

9、3)、C(—岑，sin”)，aC(-|,旦注).若aB |=|BC|,求角a的值. -3) 解：??■(—加，1),BC=(—gsina |AB|=V7,|BC|=A/1Isina-321 由|BC|=|AB|得sina=1. 又「 a e cf，3|5, ??? a 5 71 6 . 15 .已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是150°,計(jì)算: (1)(a+2b)(2a—b); (2)|4a-2b|. 解：(1)(a+2b)-(2a-b) =2a2+3ab-2b1 =2|a|2+3|a|-|b|-cos150°-2|b|2 3 =242+348-(-

10、1|)-282 =-96—48十. 2— (2)|4a-2b|=q4a—2b =^16a2-16a-b+4b2 =16|a|2—16|a|?|b|?cos150°+4|b|2 =1642-1648■〈十482 =8(p啊 16.已知向量a與b的夾角為3兀，|a|=2,|b|=3,iEm=3a-2b,n=2a+kb. (1)若m,n,求實(shí)數(shù)k的值； (2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得m//n?說明理由. 解：(1)由m±n得m?n=0,即(3a—2b)-(2a+kb)=0, 整理得：6|a|2-(4-3k)ab-2k|b|2=0, 27k=36,k=-,「.當(dāng)k='時(shí)，m_L

11、n. 3— 3 (2)若存在實(shí)數(shù)k,使m//n,則有m=入n, 即3a—2b=入(2a+kb),?.(3—2入)a=(2+k入)b. 3 3-2入=0,?入=2， ???由題意可知向量a與b不共線，，《？〈 |2+k入=0?,4 lk=—a， 即存在實(shí)數(shù)k=—4,使得m//n.3 17 .如圖所示，現(xiàn)有一小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游l=80m的L處河流變成“飛流直下三千尺”的瀑布.若河水流速的方向?yàn)樯嫌沃赶蛳掠危ㄅc河岸平行），水速大小為5m/s,為了使小船能安全渡河，船的劃速不能小于多少？ 解：船速最小時(shí)，船應(yīng)在到達(dá)瀑布的那一刻到達(dá)對岸，如圖所

12、示，船的臨界合速度應(yīng)沿PQ方向.設(shè) PA=v水，從A向PQ作垂線，垂足為B,有向線段AB即表示最小劃速的大小和方向. d _ |v 劃|min=|v 水|sin 0 = |v 水|. f =5X 60 寸602+80 r = 5x 0.6=3(m/s),所以劃速最小為 3m/s. 18 .已知點(diǎn)A(1,—2),B(2,1),C(3,2). ⑴已知點(diǎn)d(—2,3),以aB、AC為一組基底來表示AD+Bb+Cb； —— (2)若AP=AB+入AC(入CR),且點(diǎn)P在第四象限，求入的取值范圍. 解：如圖，??.AB，AC,AB?AC=o. AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC, bP,cQ=(ap-aB).(aq—aC) 一Y—Y- =AP-AQ-AP-AC—AB?AQ+AB-AC =-a2—AP-AC+AB-AP =-a2+AP-(AB-AC) =-a2+^pQ-BC 22 =—a+acos0. 故當(dāng)cos9=1,即0=0（由與能方向相同）時(shí)，BP?Cd最大，其最大值為0.