新編高三數學 第20練 導數中的易錯題

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1、 第20練 導數中的易錯題 訓練目標 (1)導數知識的細化、深化、鞏固提高；(2)解題過程的細節(jié)訓練． 訓練題型 (1)導數和函數的極值；(2)利用導數求參數范圍；(3)導數的綜合應用． 解題策略 (1)注意f′(x0)＝0是x＝x0為極值點的必要不充分條件；(2)已知單調性求參數范圍要注意驗證f′(x)＝0的情況. 一、選擇題 1．如果f′(x)是二次函數，且f′(x)的圖象開口向上，頂點坐標為(1，)，那么曲線y＝f(x)上任意一點的切線的傾斜角α的取值范圍是(　　) A．(0，] B．[，) C．(，] D．[，π) 2．(20xx·福建福州

2、三中月考)已知點A(1,2)在函數f(x)＝ax3的圖象上，則過點A的曲線C： y＝f(x)的切線方程是(　　) A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0 C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0 D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0 3．(20xx·蘭州診斷)在直角坐標系xOy中，設P是曲線C：xy＝1(x>0)上任意一點，l是曲線C在點P處的切線，且l交坐標軸于A，B兩點，則以下結論正確的是(　　) A．△OAB的面積為定值2 B．△OAB的面積有最小值3 C．△OAB的面積有最大值4 D．△OAB的面積的取值范圍是[3,4] 4．若函數f(x)＝2x2－lnx在其定

3、義域內的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內不是單調函數，則實數k的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) D．[，2) 5．若函數y＝x3－3ax＋a在(1,2)內有極小值，則實數a的取值范圍是(　　) A．14或a<1 6．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋x＋2 (a>0)的極大值點和極小值點都在區(qū)間(－1,1)內，則實數a的取值范圍是(　　) A．(0,2] B．(0,2) C．[，2) D．(，2) 7．如果函數f(x)＝x3－x滿足：對于任意的x1，x2∈[0,2]，都有

4、|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－，] C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．(－∞，－]∪[，＋∞) 8．(20xx·景德鎮(zhèn)質檢)已知f(x)＝ax＋＋2－2a(a>0)，若f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 二、填空題 9．若函數f(x)＝lnx＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數a的取值范圍是________________． 10．函數f(x)＝ax－cosx，x∈[，]，若?x1，x2∈[，]

5、，x1≠x2，<0，則實數a的取值范圍是________． 11．若函數f(x)＝ax3＋x恰有3個單調區(qū)間，則a的取值范圍為________． 12．已知函數f(x)＝(a>0)，若f(x)為R上的單調函數，則實數a的取值范圍是________.  答案精析 1．B　[根據已知可得f′(x)≥，即曲線y＝f(x)上任意一點的切線的斜率k＝tan α≥，結合正切函數的圖象，可知α∈[，)，故選B.] 2．D　[由于點A(1,2)在函數f(x)＝ax3的圖象上，則a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若點A為切點，則切線斜率為6，若點A不是切點，設切點坐標為(m,2m3)，則

6、切線的斜率為k＝6m2.由兩點的斜率公式，得＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0， 解得m＝1(舍去)或m＝－.綜上，切線的斜率為k＝6或k＝6×＝， 則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程為y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)， 即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故選D.] 3．A　[由題意，得y＝.設點P(x0，y0)(x0>0)，y0＝，y′＝－，因此切線的斜率k＝－，切線方程為y－y0＝－(x－x0)．當x＝0時，y＝y(tǒng)0＋＝；當y＝0時，x＝xy0＋x0＝2x0，因此S△OAB＝xy＝2為定值．故選A.] 4．B　[∵f(x)＝2x2－lnx(x>0)，

7、 ∴f′(x)＝4x－＝(x>0)， 由f′(x)＝0，得x＝， 當x∈(0，)時，f′(x)<0； 當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0， 據題意， 解得1≤k<.] 5．B　[y′＝3x2－3a，當a≤0時，y′≥0， 函數y＝x3－3ax＋a為單調函數，不合題意，舍去；當a>0時，y′＝3x2－3a＝0?x＝±，不難分析，當1<<2，即10， 解得

8、∵f′(x)＝x2－1，∴當00， ∴f(x)＝x3－x在x＝1時取到極小值，也是x∈[0,2]上的最小值， ∴f(x)極小值＝f(1)＝－＝f(x)最小值， 又∵f(0)＝0，f(2)＝， ∴在x∈[0,2]上，f(x)最大值＝f(2)＝，∵對于任意的x1，x2∈[0,2]， ∴都有|f(x1)－f(x2)|≤a2恒成立， ∴只需a2≥|f(x)最大值－f(x)最小值|＝－(－)＝即可， ∴a≥或a≤－.故選D.] 8．B　[f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，即f(x)－2ln x≥0在[1，＋∞)上恒成立

9、．設g(x)＝f(x)－2ln x＝ax＋＋2－2a－2ln x，則g′(x)＝a－－＝. 令g′(x)＝0，則x＝1或x＝.由于g(1)＝0，a>0，因此≤1(否則是g(x)的極小值點，即g()0)．∵函數f(x)＝lnx＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線， ∴方程＋a＝2在區(qū)間(0，＋∞)上有解，即a＝2－在區(qū)間(0，＋∞)上有解， ∴a<2.若直線2x－y＝0與曲線f(x)＝lnx＋ax相切，設切點為(x0,2x0)，則 解得x0＝e，a＝2－. 綜上，實數a的取值范

10、圍是(－∞，2－)∪(2－，2)． 10．(－∞，－] 解析　由<0知，函數f(x)在[，]上是減函數．又f′(x)＝a＋sin x，所以f′(x)≤0在[，]上恒成立，即a≤－sin x在[，]上恒成立．當≤x≤時，－≤－sin x≤－， 故－sin x的最小值為－，所以a≤－. 11．(－∞，0) 解析　由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，則f′(x)>0恒成立，此時f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數，不滿足題意；若a<0，由f′(x)>0得－，即故當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(－，)，單調遞減區(qū)間為(－∞，－), ( ，＋∞)，滿足題意． 12．(0,1] 解析　f′(x)＝＝，由題意f(x)為R上的單調函數，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．又a>0，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0