高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課標(biāo)通用版作業(yè)：第8章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)40

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1、課時(shí)作業(yè)40立體幾何的綜合問題一、選擇題1正方體ABCDA1B1C1D1的棱上到異面直線AB，CC1的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A2 B3C4 D5圖1解析：如圖1所示，由點(diǎn)到直線的距離的定義及正方體性質(zhì)可得BC中點(diǎn)E到AB、 CC1的距離相等. A1D1的中點(diǎn)F到AB、CC1的距離相等B1，D到AB、CC1的距離相等故棱上共有4個(gè)點(diǎn)到AB和CC1的距離相等，故選C.答案：C2如圖2，四邊形ABCD中，BAD與BDC都是等腰直角三角形，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體中，以下判斷正確的是()圖2A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面

2、BDCD平面ADC平面ABD解析：面ADC面ABD.答案：D3如圖3，某密閉正方體容器有三個(gè)漏洞O、E、C1，其中O是面A1B1C1D1的中心，E是BB1中點(diǎn)容器棱長為a，則該容器最多能裝液體()圖3A.a3B.a3C.a3 D.a3解析：當(dāng)O、E、C1在同一水平面上時(shí)，可裝最多液體，此時(shí)液體體積為V正方體VEA1B1C1a3.選C.答案：C圖44如圖4，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E為AB的中點(diǎn)，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則三棱錐PDCE的外接球的體積為()A. B.C. D.解析：易證所得三棱錐的所有棱長都為1，把三棱錐通過補(bǔ)形，補(bǔ)成

3、棱長為的正方體，故外接球半徑為，外接球的體積為()3.答案：C圖55(2019年遼寧模擬)如圖5，已知在體積為V的三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1C上，則三棱柱PAMC1的體積是()A.V B.VC.V D不確定解析：設(shè)SAA1B1BS，C1到平面AA1B1B的距離為h，則VSh，平面B1NC平面AMC1，VPAMC1VNAMC1VC1AMNSAMNhShV，選A.答案：A6(2019年四川省成都市石室中學(xué)學(xué)期中)如圖6，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是()圖6A90 B60

4、C45 D30解析：設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的棱長等于2，延長MC1到N使MNBB1，連接AN，則圖7MNBB1，MNBB1，四邊形BB1NM是平行四邊形，可得B1NBM因此，AB1N(或其補(bǔ)角)就是異面直線AB1和BM所成角RtB1C1N中，B1C12，C1N1，B1NRtACN中，AC2，CN3，AN又正方形AA1B1B中，AB12AB1N中，cosAB1N0，可得AB1N90即異面直線AB1和BM所成角為90.答案：A圖87如圖8，在四面體ABCD中，點(diǎn)P、Q、M、N分別是棱AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，截面PQMN是正方形，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為()AACBDBAC截面PQMNCACCD

5、D異面直線PM與BD所成的角為45解析：由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故選項(xiàng)A正確；由PQAC可得AC截面PQMN，故選項(xiàng)B正確；由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故選項(xiàng)D正確答案：C8(2019年河南省許昌高中、襄城高中、長葛一高等校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考)正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)，則B1F與面GEF所成角的正弦值為()圖9A. B.C. D.解析：設(shè)正三棱柱的棱長為2，取A1B1中點(diǎn)M，連接EM，則EMAA1，EM平面ABC，連接GM圖10G為A1C1的中

6、點(diǎn)，GMB1C11，A1GA1F1，F(xiàn)G，F(xiàn)E，GE.在平面EFG上作FNGE，則GFE是等腰三角形，F(xiàn)N，SGEFGEFN，SEFB1S正方形ABB1A1SA1B1FSBB1ESAFE，作GHA1B1，GH，V三棱錐GFEB1SFEB1GH，設(shè)B1到平面EFG距離為h，則V三棱錐B1EFGSGEF，V三棱錐GFEB1V三棱錐B1EFG，h設(shè)B1F與平面GEF所成角為，B1Fsin.B1F與面GEF所成的角的正弦值為.答案：A二、填空題9若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為_解析：正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體是兩個(gè)全等的正四棱錐，該棱錐的高是正方體高的一半，

7、底面面積是正方體一個(gè)面正方形面積的一半，于是，其體積為V2().答案：10已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_解析：設(shè)球半徑為R，圓M的半徑為r，則r23，即r23由題得R2()23，所以R244R216.答案：1611(2019年河南省百校聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)檢)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱長均為2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為_圖11圖12解析：延長AD，過D1作D1EAD于E，連結(jié)BE，因?yàn)槠矫鍭1ADD1平面ABCD，平面A1ADD1

8、平面ABCDAD，所以D1E平面ABCD，即BD1為BE在平面ABCD內(nèi)的射影，所以D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，因?yàn)镈1E2sin60，BE，所以，tanD1BE.答案：12(2019年江蘇省揚(yáng)州市高郵一中月考)已知a，b為異面直線，且a，b所成角為40，直線c與a，b均異面，且所成角均為，若這樣的c共有四條，則的范圍為_解析：設(shè)平面外兩條直線m，n分別滿足ma，nb，則m，n相交，且夾角為40，若直線c與a，b均異面，且所成角均為，則直線c與m，n所成角均為，當(dāng)020時(shí)，不存在這樣的直線c，當(dāng)20時(shí)，這樣的c只有一條，當(dāng)2070時(shí)，這樣的c有兩條，當(dāng)70時(shí)，這樣的c有三條，當(dāng)

9、7090時(shí)，這樣的c有四條，當(dāng)90時(shí)，這樣的c只有一條答案：(70，90)三、解答題圖1313(2019年廣東東莞調(diào)研)如圖13，幾何體SABC的底面是由以AC為直徑的半圓O與ABC組成的平面圖形，SO平面ABC，ABBC，SASBSCAC4，BC2.(1)求直線SB與平面SAC所成角的正弦值；(2)求幾何體SABC的正視圖中S1A1B1的面積；圖14(3)試探究在圓弧AC上是否存在一點(diǎn)P，使得APSB，若存在，說明點(diǎn)P的位置并證明；若不存在，說明理由解：(1)過點(diǎn)B作BHAC于點(diǎn)H，連結(jié)SH.因?yàn)镾O平面ABC，BH平面ABC，所以BHSO.又因?yàn)锽HAC，SOACO，所以BH平面SAC，即

10、BSH就是直線SB與平面SAC所成的角在ABC中，因?yàn)锳BBC，AC4，BC2，所以ACB60，BH2sin60.在RtBSH中，因?yàn)镾B4，所以sinBSH，即直線SB與平面SAC所成角的正弦值為.(2)由(1)知，幾何體SABC的正視圖中，S1A1B1的邊A1B1AHACHC，而HC2cos601，所以A1B13.又S1A1B1的邊A1B1上的高等于幾何體SABC中SO的長，而SASCAC4，所以SO2，所以SS1A1B1323.圖15(3)存在證明如下：如圖15，連接BO并延長交弧AC于點(diǎn)M，在底面內(nèi)，過點(diǎn)A作APBM交弧AC于點(diǎn)P.因?yàn)镾O平面ABC.而AP平面ABC，所以APSO.又

11、因?yàn)锳PBM，SOBMO，所以AP平面SOB，從而APSB.又因?yàn)锳OOCBC2，所以有AOMBOCACB60，所以AOMPOM60，AOP120，即點(diǎn)P位于弧AC的三等分點(diǎn)的位置，且AOP120.14.圖16在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖16所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個(gè)幾何體的體積為.(1)證明：直線A1B平面CDD1C1；(2)求棱A1A的長；(3)求經(jīng)過A1、C1、B、D四點(diǎn)的球的表面積解：(1)證法1：如題圖，連結(jié)D1C，ABCDA1B1C1D1是長方體，A1D1BC且A1D1BC.四邊形A1BCD1

12、是平行四邊形A1BD1C.A1B平面CDD1C1，D1C平面CDD1C1，A1B平面CDD1C1.證法2：ABCDA1B1C1D1是長方體，平面A1AB平面CDD1C1.A1B平面A1AB，A1B平面CDD1C1，A1B平面CDD1C1.(2)解：設(shè)A1Ah，幾何體ABCDA1C1D1的體積為，VABCDA1C1D1VABCDA1B1C1D1VBA1B1C1，即SABCDhSA1B1C1h，即22h22h，解得h4.A1A的長為4.(3)解：如題圖，連結(jié)D1B，設(shè)D1B的中點(diǎn)為O，連OA1，OC1，OD，ABCDA1B1C1D1是長方體，A1D1平面A1AB.A1B平面A1AB，A1D1A1B.OA1D1B.同理ODOC1D1B.OA1ODOC1OB.經(jīng)過A1、C1、B、D四點(diǎn)的球的球心為點(diǎn)O.D1B2A1D12A1A2AB222422224.S球4(OB)24()2D1B224.故經(jīng)過A1、C1、B、D四點(diǎn)的球的表面積為24.