新版一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第5章 第2節(jié)　等差數(shù)列 Word版含解析

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1、 1

2、 1 第二節(jié)　等差數(shù)列 [考綱傳真]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列．用符號(hào)表示為an＋1－an＝

3、d(n∈N*，d為常數(shù))． (2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫作a，b的等差中項(xiàng)． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋＝. 3．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}

4、是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S

5、3＝6，a3＝0，則公差d等于(　　) A．－1　　 B．1 C．2 D．－2 D　[依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D.] 3．(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.] 4．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　[法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a

6、9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C.] 5．(教材改編)在100以?xún)?nèi)的正整數(shù)中有__________個(gè)能被6整除的數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962239】 16　[由題意知，能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}， 則a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.

7、 由an＝6n≤100，即n≤16＝16， 則在100以?xún)?nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù)．] 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝(　　) A. B. C．10 D．12 (2)(20xx·云南省二次統(tǒng)一檢測(cè))設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962240】 A．9 B．10 C．11 D．15 (1)B　(2)B　[(1)∵公差為1， ∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S

8、8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.] [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． 2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱(chēng)為基本量法． [變式訓(xùn)練1]　(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是(　　) A. B．1

9、 C．2 D．3 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962241】 (1)C　(2)－72　[(1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1， 得－＝1，即a3－a2＝2， ∴數(shù)列{an}的公差為2. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由已知，得解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.] 等差數(shù)列的判定與證明 　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． (2)求數(shù)列{an}中的通項(xiàng)公式

10、an. [解]　(1)證明：因?yàn)閍n＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝. 所以n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 5分 又b1＝＝－， 所以數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. 7分 (2)由(1)知，bn＝n－， 9分 則an＝1＋＝1＋. 12分 [規(guī)律方法]　1.判斷等差數(shù)列的解答題，常用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡(jiǎn)單判斷． 2．用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用兩個(gè)式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時(shí)，a0無(wú)定義． [變式訓(xùn)練2]　(1)

11、若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962242】 A．公差為3的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列 C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列 (2)已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝1且前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，則a61＝__________. (1)C　(2)480　[(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2) ＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2) ＝2＋2×2＝6， ∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列． (2)由已知Sn－Sn－1

12、＝2可得，－＝2，所以{}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.] 等差數(shù)列的性質(zhì)與最值 　(1)(20xx·東北三省四市一聯(lián))如圖5-2-1所示的數(shù)陣中，每行、每列的三個(gè)數(shù)均成等差數(shù)列，如果數(shù)陣中所有數(shù)之和等于63，那么a52＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962243】 圖5-2-1 A．2 B．8 C．7 D．4 (2)等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn取得最大值． (1)C　[法一：第一行三數(shù)成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)有a41＋

13、a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差數(shù)列，所以對(duì)于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故選C. 法二：由于每行每列都成等差數(shù)列，不妨取特殊情況，即這9個(gè)數(shù)均相同，顯然滿(mǎn)足題意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故選C.] (2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 4分 即d＝－a1. 7分 從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋

14、a1， 因?yàn)閍1>0，所以－<0. 9分 故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大. 12分 法二：由法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，則有 5分 即 9分 解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大. 12分 法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 5分 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 9分 所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大. 12分 [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所

15、在直線(xiàn)的斜率等于等差數(shù)列的公差． (2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an. 2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項(xiàng)變號(hào)法： ①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿(mǎn)足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [變式訓(xùn)練3]　(1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n

16、項(xiàng)和，則S11＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962244】 A．18 B．99 C．198 D．297 (2)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝__________. (1)B　(2)20　[(1)因?yàn)閍3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99. (2)法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋

17、36d＝20. 法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列公差為D. 所以5＋2D＝10， 所以D＝. 所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.] [思想與方法] 1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式涉及“五個(gè)量”，“知三求二”，需運(yùn)用方程思想求解，特別是求a1和d. (1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…. 2．等差數(shù)列{an}中，an＝an＋

18、b(a，b為常數(shù))，Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))，均是關(guān)于“n”的函數(shù)，充分運(yùn)用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖像、性質(zhì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程． 3．等差數(shù)列的四種判斷方法： (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． [易錯(cuò)與防范] 1．要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列． 2．注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別． 3．求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件．