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1、
第五十八課時 二項式定理
課前預習案
考綱要求
1.能用計數(shù)原理證明二項式定理．
2.對于二項式定理，主要考查利用通項公式求展開式的特定項、求特定項的系數(shù)、利用賦值法求二項式展開式系數(shù)問題等.
基礎知識梳理
1．二項式定理：(a＋b)n＝_________________________________________這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式.
式中的____________叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝___________.
注意：（1）它表示的是二項式的展開式的第項，而不是第項.
（2）其中叫二
2、項式展開式第項的二項式系數(shù)，而二項式展開式第項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù).
2．二項展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為_______.
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為 .
(3)字母a按 排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到 ；字母b按 排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到 .
(4)二項式的系數(shù)從，C，一直到 ， .
3．二項式系數(shù)的性質(zhì)
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.即.
(2)增減性與最大值：
二項式系數(shù)C，當k＜時，二項式系數(shù)逐增大.由對稱性知
3、它的后半部分是逐漸減小的；當n是偶數(shù)時，中間一項______________取得最大值；
當n是奇數(shù)時，中間兩項__________，__________取得最大值．
(3)各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝ ；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ .
4.二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)：
對于，；
預習自測
1．(20xx·福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于( )．
A．80 B．40 C．20 D．10
2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝( )．
4、
A．45 B．55 C．70 D．80
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為( )．
A．9 B．8 C．7 D．6
4．(20xx·重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．(20xx·安徽)設(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________.
課堂探究案
典型例題
考點1 二項展
5、開式中的特定項或特定項的系數(shù)
【典例1】已知的展開式中，第6項為常數(shù)項．
(1)求n；
(2)求含x2的項的系數(shù)；
(3)求展開式中所有的有理項．
【變式1】（1） (20xx·山東)若6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為__ _.
（2）已知(1＋x＋x2)的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N*，且2≤n≤8，n= ．
考點2 二項式中的系數(shù)與二項式系數(shù)
【典例2】（1） 在的二項展開式中，x11的系數(shù)是_____.
（2）若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為( )
A.10 B.20 C.30
6、 D.120
【變式2】設(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋…＋a11x＋a12，則a0＋a2＋…＋a10＋a12＝____.
考點3 二項式定理中的賦值法的應用
【典例3】二項式(2x－3y)9的展開式中，求：
(1)二項式系數(shù)之和；
(2)各項系數(shù)之和；
(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和．
【變式3】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
7、 (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
考點4 二項式的和與積
【典例4】在(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項的系數(shù)為________．
【變式4】在x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
考點5 二項式展開式中的最值問題
【典例5】已知n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求 n 的值；
(2)展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(3)展開式中系數(shù)最大的項．
【變式5】（1）在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是（ ）
A.-7 B.7 C.-28
8、 D．28
（2）已知二項式，（n∈N）的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10：1，
（1）求展開式中各項的系數(shù)和；
(2)求展開式中含的項；
（3）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
當堂檢測
1．二項式6的展開式中的常數(shù)項是( )
A．20 B．－20
C．160 D．－160
2．若二項式n的展開式中第5項是常數(shù)項，則正整數(shù)n的值可能為( )．
A．6 B．10 C．12
9、 D．15
3.(1－t)3dt的展開式中x的系數(shù)是( )
A．－1 B．1
C．－4 D．4
4．已知8的展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是( )．
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
5．設n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為( )．
A．－150 B．
10、150 C．300 D．－300
6.2n展開式的第6項系數(shù)最大，則其常數(shù)項為( )
A．120 B．252
C．210 D．45
課后拓展案
A組全員必做題
．（20xx新課標Ⅱ）已知的展開式中的系數(shù)為,則（ ?。?
A． B． C． D．
．（20xx新課標Ⅰ）設為正整數(shù),展開式的二項式系數(shù)的最大值為,展開式的二項式系數(shù)的最大值為,若,則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
．
11、（20xx大綱）的展開式中的系數(shù)是（ ?。?
A． B． C． D．
．（20xx上海春）的二項展開式中的一項是（ ?。?
A． B． C． D．
．（20xx遼寧）使（ ）
A． B． C． D．
．（20xx陜西）設函數(shù) 則當x>0時, 表達式的展開式中常數(shù)項為（ ）
A．-20 B．20 C．-15 D．15
．（20xx年高考江西卷（理））(x2-)5展開式中的常數(shù)項為（ ?。?
A．80 B．-80 C．40 D．-40
B組提高選做題
1．（20xx上海春季）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因為,
所以36的所有正約數(shù)之和為
.參照上
12、述方法,可求得2000的所有正約數(shù)之和為_______.
2．（20xx四川）二項式的展開式中,含的項的系數(shù)是_________.(用數(shù)字作答)
3．（20xx天津）在 的二項展開式中的常數(shù)項為______.
參考答案
預習自測
1.B
2.C
3.B
4.B
5.0
典型例題
【典例1】（1）10；（2）；（3），；
【變式1】（1）4；（2）5
【典例2】（①）15;（②）B
【變式2】.8
【典例3】（1）512；（2）；（3）
【變式3】（1）；（2）；（3）；（4）
【典例4】2
【變式4】84
【典例5】
13、（1）8；（2）；（3），
【變式5】（1）.B （2）.（）1；（）；（）
當堂檢測
1．【答案】D
【解析】二項式(2x－)6的展開式的通項是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項式(2x－)6的展開式中的常數(shù)項是C·26－3·(－1)3＝－160.
2．【答案】C
【解析】Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rC，當r＝4時，＝0，又n∈N*，∴n＝12.
3. 【答案】B
【解析】 (1－t)3dt＝＝＋，故這個展開式中x的系數(shù)是
－＝1.
4．【答案】C
【解析】由題意知C·(－a)4＝1120，
14、解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數(shù)和為(1－a)8＝1或38.
5．【答案】B
【解析】由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rC，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
6【答案】C
【解析】 根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，得2n＝10，故二項式2n的展開式的通項公式是
Tr＋1＝C()10－r·r＝C，根據(jù)題意5－＝0，解得r＝6，故所求的常數(shù)項等于C＝C＝210.
A組全員必做題
課后拓展案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.B
6. A
7.C
B組提高選做題
1.4836
2.10
3.15
新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第10篇 二項式定理學案 理
