數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十四章 冪級(jí)數(shù)

《數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十四章 冪級(jí)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第十四章 冪級(jí)數(shù)（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十四章 冪級(jí)數(shù) 教學(xué)目的：1.理解冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念，掌握其收斂性的有關(guān)問題；2.理解冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，掌握函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式并認(rèn)識(shí)余項(xiàng)在確定函數(shù)能否展為冪級(jí)數(shù)時(shí)的重要性。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、展開式；難點(diǎn)是收斂區(qū)間端點(diǎn)處斂散性的判別。 教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí) § 1 冪級(jí)數(shù)（ 4 時(shí) ） 冪級(jí)數(shù)的一般概念. 型如 和 的冪級(jí)數(shù) . 冪級(jí)數(shù)由系數(shù)數(shù)列 唯一確定. 冪級(jí)數(shù)至少有一個(gè)收斂點(diǎn). 以下只討論型如 的冪級(jí)數(shù).冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之一.? 一.??????????? 冪級(jí)數(shù)的收斂域: 1.???????????? 收

2、斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域： Th 1 （ Abel ） 若冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn) 收斂 ， 則對(duì)滿足不等式的任何 ，冪級(jí)數(shù) 收斂而且絕對(duì)收斂 ；若在點(diǎn) 發(fā)散 ，則對(duì)滿足不等式 的任何 ，冪級(jí)數(shù) 發(fā)散. 證 收斂, { }有界. 設(shè)| | , 有 | , 其中 . . 定理的第二部分系第一部分的逆否命題. 冪級(jí)數(shù) 和 的收斂域的結(jié)構(gòu). 定義冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 R. ? 收斂半徑 R的求法. ? Th 2 對(duì)于冪級(jí)數(shù) , 若 , 則 ⅰ> 時(shí),;ⅱ> 時(shí); ⅲ> 時(shí) . 證 , ( 強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與 的次數(shù)是一致的).

3、…… 由于 , 因此亦可用比值法求收斂半徑. 冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間: . 冪級(jí)數(shù) 的收斂域: 一般來說 , 收斂區(qū)間 收斂域. 冪級(jí)數(shù) 的收斂域是區(qū)間 、 、 或 之一. 例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域 . 例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域 . 例3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域: ⑴ ; ⑵ . 2. 復(fù)合冪級(jí)數(shù) : 令 , 則化為冪級(jí)數(shù) .設(shè)該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 ，則級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間由不等式 確定.可相應(yīng)考慮收斂域. 特稱冪級(jí)數(shù) 為正整數(shù))為

4、缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) .其中 . 應(yīng)注意 為第項(xiàng)的系數(shù) . 并應(yīng)注意缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) 并不是復(fù)合冪級(jí)數(shù) , 該級(jí)數(shù)中,為第 項(xiàng)的系數(shù) . 例4 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域 . 解 是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) . . 收斂區(qū)間為 . 時(shí), 通項(xiàng) . 因此 , 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. 例5 求級(jí)數(shù) 的收斂域 . 解 令 , 所論級(jí)數(shù)成為冪級(jí)數(shù) .由幾何級(jí)數(shù)的斂散性結(jié)果, 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù) 收斂. 因此當(dāng)且僅當(dāng) , 即時(shí)級(jí)數(shù) 收斂. 所以所論級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. 例6 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑 . 解 .? 二． 冪級(jí)數(shù)的一致收斂性

5、： Th 3 若冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 ，則該冪級(jí)數(shù)在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂 . 證 , 設(shè) , 則對(duì) , 有 , 級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂, 由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法, 冪級(jí)數(shù) 在 上一致收斂. 因此 , 冪級(jí)數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)閉一致收斂. Th 4 設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 ,且在點(diǎn) ( 或 )收斂,則冪級(jí)數(shù) 在區(qū)間 ( 或 )上一致收斂 . 證 . 收斂 , 函數(shù)列 在區(qū)間 上遞減且一致有界,由Abel判別法,冪級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂 . 易見 , 當(dāng)冪級(jí)數(shù) 的收斂域?yàn)?( 時(shí) , 該冪級(jí)數(shù)即在區(qū)間上一致收斂 . 三. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì): 1. 逐

6、項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級(jí)數(shù): 設(shè) , *) 和 **)仍為冪級(jí)數(shù). 我們有 命題1 *) 和 **)與 有相同的收斂半徑 . ( 簡(jiǎn)證 ) 值得注意的是，*) 和 **)與 雖有相同的收斂半徑（ 因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域 ， 例如級(jí)數(shù) . 2. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì): 定義 兩個(gè)冪級(jí)數(shù) 和 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)相等是指：它們?cè)谠撪徲騼?nèi)收斂且有相同的和函數(shù). 命題2 ,.(由以下命題4系2) 命題3 設(shè)冪級(jí)數(shù) 和 的收斂半徑分別為 和 , , 則 ⅰ> , — Const ， . ⅱ>

7、 + , . ⅲ> ( )( ) , , . 3. 和函數(shù)的性質(zhì): 命題4 設(shè)在 ( 內(nèi) . 則 ⅰ> 在 內(nèi)連續(xù); ⅱ> 若級(jí)數(shù) 或 收斂, 則 在點(diǎn) ( 或 )是左( 或右 )連續(xù)的; ⅲ> 對(duì) , 在點(diǎn) 可微且有 ; ⅳ> 對(duì) , 在區(qū)間 上可積, 且 . 當(dāng)級(jí)數(shù) 收斂時(shí), 無論級(jí)數(shù) 在點(diǎn) 收斂與否,均有 . 這是因?yàn)? 由級(jí)數(shù) 收斂, 得函數(shù) 在點(diǎn) 左連續(xù), 因此有 . 推論1 和函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)任意次可導(dǎo), 且有 , ……

8、 . 由系1可見, 是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的必要條件是 任意次可導(dǎo). 推論2 若 , 則有 例7 驗(yàn)證函數(shù) 滿足微分方程 . 驗(yàn)證 所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. . , 代入, .? § 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 一.??????????? 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開: 1.?????? Taylor級(jí)數(shù): 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 有任意階導(dǎo)數(shù). Taylor公式和Maclaurin公式 . Taylor公式： . 余項(xiàng) 的形式: Peano型余項(xiàng): , （ 只要求在

9、點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有 階導(dǎo)數(shù) ， 存在 ） Lagrange型余項(xiàng): 在 與 之間. 或 . 積分型余項(xiàng): 當(dāng)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí), 有 . Cauchy余項(xiàng): 在上述積分型余項(xiàng)的條件下, 有Cauchy余項(xiàng) . 特別地， 時(shí)，Cauchy余項(xiàng)為 在 與 之間.? Taylor級(jí)數(shù): Taylor公式僅有有限項(xiàng), 是用多項(xiàng)式逼近函數(shù). 項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí), 得 , 稱此級(jí)

10、數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn) 的Taylor級(jí)數(shù). 只要函數(shù) 在點(diǎn) 無限次可導(dǎo), 就可寫出其Taylor級(jí)數(shù). 稱 = 時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為Maclaurin級(jí)數(shù), 即級(jí)數(shù) . 自然會(huì)有以下問題: 對(duì)于在點(diǎn) 無限次可導(dǎo)的函數(shù) , 在 的定義域內(nèi)或在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi), 函數(shù) 和其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢 ? 2． 函數(shù)與其Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系： 例1 函數(shù) 在點(diǎn) 無限次可微 . 求得 . 其Taylor級(jí)數(shù)為 . 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. 僅在區(qū)間 內(nèi)有 = . 而在其他點(diǎn)并不相等, 因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散. 那么, 在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),

11、是否必有 和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢 ? 回答也是否定的 . 例2 函數(shù) 在點(diǎn) 無限次可導(dǎo)且有 因此其 Taylor級(jí)數(shù) ，在 內(nèi)處處收斂 . 但除了點(diǎn) 外, 函數(shù) 和其Taylor級(jí)數(shù)并不相等. 另一方面, 由本章§1命題4推論2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)倘有,則在點(diǎn)無限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù) 必為函數(shù)在點(diǎn) 的Taylor級(jí)數(shù). 綜上 , 我們有如下結(jié)論: ⑴ 對(duì)于在點(diǎn) 無限次可導(dǎo)的函數(shù) , 其Taylor級(jí)數(shù)可能除點(diǎn) 外均發(fā)散, 即便在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)其Taylor級(jí)數(shù)收斂, 和函數(shù)也未必就是 . 由此可見, 不同的函數(shù)可能會(huì)有完全相同的Taylor?級(jí)數(shù).

12、 ⑵ 若冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù) , 則該冪級(jí)數(shù)就是函數(shù) 在點(diǎn) 的Taylor級(jí)數(shù). 于是 , 為把函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于 的冪級(jí)數(shù)，我們只能考慮其Taylor級(jí)數(shù).? 3． 函數(shù)的Taylor展開式： 若在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)函數(shù) 的Taylor級(jí)數(shù)收斂且和恰為 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 可展開成Taylor級(jí)數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間. 稱此時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為函數(shù) 在點(diǎn) 的Taylor展開式或冪級(jí)數(shù)展開式. 簡(jiǎn)稱函數(shù) 在點(diǎn) 可展為冪級(jí)數(shù). 當(dāng)= 0 時(shí), 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式. 通常多考慮的是Maclaurin展開式. 4.

13、????????? 可展條件: Th 1 ( 必要條件 ) 函數(shù) 在點(diǎn) 可展 , 在點(diǎn) 有任意階導(dǎo)數(shù) . Th 2 ( 充要條件 ) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 有任意階導(dǎo)數(shù) . 則 在區(qū)間 內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)( 即可展 )的充要條件是: 對(duì) ,有 . 其中 是Taylor公式中的余項(xiàng). 證 把函數(shù) 展開為 階Taylor公式, 有 . Th 3 ( 充分條件 ) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 有任意階導(dǎo)數(shù) , 且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界, 則函數(shù) 可展. 證 利用Lagrange型余項(xiàng) , 設(shè) , 則有 . 例3? 展開函數(shù) ⅰ> 按冪; ⅱ> 按冪.

14、 解 , , . 所以 , ⅰ> . 可見 , 的多項(xiàng)式 的Maclaurin展開式就是其本身. ⅱ> . 二.?????????? 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式: ? 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式. ? 為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 , 或直接展開, 或間接展開. 1. . ( 驗(yàn)證對(duì) R ， 在 區(qū)間 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展

15、). . 2. , . , . 可展是因?yàn)?在 內(nèi)一致有界. 3. 二項(xiàng)式 的展開式: 為正整數(shù)時(shí), 為多項(xiàng)式, 展開式為其自身; 為不是正整數(shù)時(shí), 可在區(qū)間 內(nèi)展開為 對(duì)余項(xiàng)的討論可利用Cauchy余項(xiàng). 具體討論參閱[1]P56.? 時(shí), 收斂域?yàn)?; 時(shí), 收斂域?yàn)?; 時(shí), 收斂域?yàn)?. 利用二項(xiàng)式 的展開式 , 可得到很多函數(shù)的展開式. 例如取 ,得 ， . 時(shí),

16、 , .? 間接展開: 利用已知展開式 , 進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算, 可得到一些函數(shù)的展開式. 利用微積運(yùn)算時(shí), 要求一致收斂. 冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂 ,總可保證這些運(yùn)算暢通無阻. 4. . . 事實(shí)上 , 利用上述 的展開式, 兩端積分 , 就有 , . 驗(yàn)證

17、知展開式在點(diǎn) 收斂, 因此 , 在區(qū)間 上該展開式成立. 5. . 由 . 兩端積分,有 驗(yàn)證知上述展開式在點(diǎn) 收斂, 因此該展開式在區(qū)間 上成立.(這里應(yīng)用了習(xí)題中第2題的結(jié)果,) 例4 展開函數(shù) . 解 . 例5 展開函數(shù) . 解 . 習(xí) 題 課? 一. 求收斂區(qū)間或收斂域: 例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間 . 例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域.

18、 解 設(shè) , 注意到 , 有 . 時(shí), 收斂域?yàn)?. 二. 函數(shù)展開: 例3 把函數(shù) 展開成 的冪級(jí)數(shù) . 解 , , , ; ; , . 與 的展開式 比較. 例4 展開函數(shù) . 解 , , . 因此,? ， . 例5 展開函數(shù) . 解 , ; 因此, , .

19、 例6 把函數(shù) 展開成 的冪級(jí)數(shù). 解 , . 而 = , . ? 三. 函數(shù)展開式應(yīng)用舉例: ? 1.?????? 做近似計(jì)算 : 例7 計(jì)算積分 , 精確到 . 解 . 因此, . ? 上式最后是Leibniz型級(jí)數(shù) , 其余和的絕對(duì)值不超過余和首項(xiàng)的絕對(duì)值 . 為使,可取 .故從第 項(xiàng)到第 項(xiàng)這前7 項(xiàng)之和達(dá)到要求的精度.于是 ?

20、 . ? 2. 利用展開式求高階導(dǎo)數(shù): 原理. 例8 設(shè) 證明對(duì) 存在并求其值. 解 , . 時(shí), , 直接驗(yàn)證可知上式當(dāng) 時(shí)也成立 . 因此在 內(nèi)有 , . 函數(shù) 作為 的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù), 對(duì) 存在 , 且 即 四. 冪級(jí)數(shù)求和: ? 原理: 對(duì)某些冪級(jí)數(shù), 有可能利用初等運(yùn)算或微積運(yùn)算以及變量代換化為

21、已知的函數(shù)展開式( 特別是化為函數(shù) 和 的展開式 ),借以求和. 例9 求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)并求級(jí)數(shù) 和Leibniz級(jí)數(shù) 的和. 解 冪級(jí)數(shù) 的 收斂域?yàn)?, 設(shè)和函數(shù)為 ,則在 內(nèi)有 , 注意到 , 則對(duì) 有 . 又 在點(diǎn) 連續(xù) , 于是在區(qū)間 內(nèi)上式成立. 即有 , . 取 , 有 . 取 , 有 . 例10 求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù). 并利用該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)以及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和. 解 該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?. 在 內(nèi)設(shè) . 現(xiàn)求 . 對(duì) ,有

22、 . 由 連續(xù) , 有 . 因此, , . 作代換 , 有 . . . 例11 求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù). 解法一 收斂域?yàn)?,設(shè)和函數(shù)為 , 則有 . 因此, = , . 解法二 , . 例12 求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù). 解 . 例13 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和. 解 該級(jí)數(shù)為L(zhǎng)eibniz型級(jí)數(shù), 因此收斂. 考慮冪級(jí)數(shù) , 其收斂域?yàn)?. 設(shè)和函數(shù)為 , 在 內(nèi)有 , . 注意到 ,對(duì) 有 , . 于是, .