高三數(shù)學(xué) 專題28 轉(zhuǎn)化與化歸思想課件 理

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1、專題28 轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想思 想 方 法 概 述熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題思想方法概述轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題決的問題3

2、轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中容和解題過程中1.轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想

3、轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想(1)把什么問題進行轉(zhuǎn)化，即化歸對象把什么問題進行轉(zhuǎn)化，即化歸對象.(2)化歸到何處去，即化歸目標(biāo)化歸到何處去，即化歸目標(biāo).(3)如何進行化歸，即化歸方法如何進行化歸，即化歸方法.化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心.2.常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)

4、化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式功的思維方式.常見的轉(zhuǎn)化方法有：常見的轉(zhuǎn)化方法有：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題基本公式或基本圖形問題.(2)換元法：運用換元法：運用“換元換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題.(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式解析式)與與空間形式空

5、間形式(圖形圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的價命題，達到化歸的目的.(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題.(6)構(gòu)造法：構(gòu)造法：“構(gòu)造構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.(7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問

6、題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑.(8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定于確定.(9)參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進行解決式進行解決.(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結(jié)果看做集合問題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問題的整體問，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集，通過解決全集U及補集及補集 UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則

7、. 熱點一 特殊與一般的轉(zhuǎn)化 熱點二 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化 熱點三 正難則反的轉(zhuǎn)化熱點分類突破熱點一 特殊與一般的轉(zhuǎn)化解析找特殊情況，當(dāng)找特殊情況，當(dāng)ABy軸時，軸時，AB的方程為的方程為y1，則，則A(2，1)，B(2,1)，過點過點A的切線方程為的切線方程為y1(x2)，即，即xy10.同理，過點同理，過點B的切線方程為的切線方程為xy10，則則l1，l2的交點為的交點為(0，1).答案A解析由于直接求解較困難，可探求一般規(guī)律，由于直接求解較困難，可探求一般規(guī)律，一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的

8、高度特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果效果.思維升華變式訓(xùn)練1(1)在在ABC中，角中，角A、B、C所對的邊分別為所對的邊分別為a、b、c，若若a、b、c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則 _.解析根據(jù)題意，所求數(shù)值是一個定值，根據(jù)題意，所求數(shù)值是一個定值，故可利用滿足條件的直角三角形進行計算故可利用滿足條件的直角三角形進行計算.令令a3，b4，c5，則，則ABC為直角三角形，為直角三角形，(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)偶函數(shù)，

9、且對任意實數(shù)x都有都有xf(x1)(1x)f(x)，則則 _.解析因為因為xf(x1)(1x)f(x)，使使f(x)特殊化，可設(shè)特殊化，可設(shè)f(x)xg(x)，其中其中g(shù)(x)是周期為是周期為1的奇函數(shù)，再將的奇函數(shù)，再將g(x)特殊化，特殊化，可設(shè)可設(shè)g(x)sin 2x，則，則f(x)xsin 2x，答案0熱點二 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化解析1,2是方程是方程ax2bx20的兩實根，的兩實根，由由(3 1)x3x2x20，答案D(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)3e|x|.若存在實數(shù)若存在實數(shù)t1，)，使得對任意的使得對任意的x1，m，mZ且且m1，都有，都有f(xt)3ex，則，則m的最

10、大值為的最大值為_.解析因為當(dāng)因為當(dāng)t1，)且且x1，m時，時，xt0，所以所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)所以原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)t1，)，使得不等式使得不等式t1ln xx對任意對任意x1，m恒成立恒成立.令令h(x)1ln xx(x1).因為因為h(x) 10，所以函數(shù)所以函數(shù)h(x)在在1，)上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，又又x1，m，所以，所以h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得對所以要使得對x1，m，t值恒存在，值恒存在，只須只須1ln mm1.且函數(shù)且函數(shù)h(x)在在1，)上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，所以滿足條件的最大整數(shù)所以滿足

11、條件的最大整數(shù)m的值為的值為3.答案3函數(shù)、方程與不等式就像函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟一胞三兄弟”，解，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)的幫助，解決決方程、不等式的問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值值(值域值域)問題，從而求出參變量的范圍問題，從而求出參變量的范圍.思維升華變式訓(xùn)練2 (1)若關(guān)于若關(guān)于x的方程的方程9x(4a)3x40有解，則實有解，則實數(shù)數(shù)

12、a的取值范圍是的取值范圍是_.解析設(shè)設(shè)t3x，則原命題等價于關(guān)于，則原命題等價于關(guān)于t的方程的方程t2(4a)t40有正解，有正解，a8，即實數(shù)，即實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是(，8.答案(，8(2)設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若上的單調(diào)增函數(shù)，若f(1axx2)f(2a)對任意對任意a1,1恒成立，則恒成立，則x的取值的取值范圍為范圍為_.解析f(x)在在R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，由由f(1axx2)f(2a)，可得可得1axx22a，a1,1，a(x1)x210，對對a1,1恒成立恒成立.令令g(a)(x1)ax21，則當(dāng)且僅當(dāng)則當(dāng)且僅當(dāng)g(1)x2x20，g(1)x2

13、x0恒成立，恒成立，解之，得解之，得x0或或x1.故實數(shù)故實數(shù)x的取值范圍為的取值范圍為x1或或x0.答案(，10，)熱點三 正難則反的轉(zhuǎn)化例3若對于任意若對于任意t1,2，函數(shù)，函數(shù)g(x)x3 x22x在區(qū)間在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取的取值范圍是值范圍是_.解析g(x)3x2(m4)x2，若若g(x)在區(qū)間在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，上總為單調(diào)函數(shù)，則則g(x)0在在(t,3)上恒成立，或上恒成立，或g(x)0在在(t,3)上恒成立上恒成立.由由得得3x2(m4)x20，即即m4 3x在在x(t,3)上恒成立，上恒成立，所以所以m4 3t恒成

14、立，則恒成立，則m41，即即m5；由由得得m4 3x在在x(t,3)上恒成立，上恒成立，否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可正面求解，再取正面答案的補集即可.一般地，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單相對很少，從反面考慮較簡單.因此，間接法多因此，間接法多用于含有用于含有“至多至多”、“至少至少”及否定性命題情及否定性命題情形的問題中形的問題中.思維升華變式訓(xùn)練3若二次函數(shù)若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間在區(qū)間1,1內(nèi)至

15、少存在一個值內(nèi)至少存在一個值c，使得，使得f(c)0，求實數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍的取值范圍.解如果在如果在1,1內(nèi)沒有值滿足內(nèi)沒有值滿足f(c)0，將問題進行化歸與轉(zhuǎn)化時，一般應(yīng)遵循以下幾種原則將問題進行化歸與轉(zhuǎn)化時，一般應(yīng)遵循以下幾種原則(1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.(2)簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題問題.(3)直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題題(如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問題向平面幾何問題如數(shù)形結(jié)合思想，立

16、體幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化).本講規(guī)律總結(jié)(4)正難則反原則：若問題直接求解困難時，可考慮正難則反原則：若問題直接求解困難時，可考慮運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題運用反證法或補集法或用逆否命題間接地解決問題. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟1.(2014山東山東)設(shè)集合設(shè)集合Ax|x1|2，By|y2x，x0,2，則，則AB等于等于()A.0,2 B.(1,3)C.1,3) D.(1,4)34解析由由|x1|2，解得，解得1x3，由由y2x，x0,2，解得，解得1y4，所以所以AB(1,3)1,41,3).C12真題感悟34解析f(x)f(x)sin x，f(x2

17、)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x).f(x)是以是以2為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).12真題感悟3412真題感悟34答案A3.(2014陜西陜西)若圓若圓C的半徑為的半徑為1，其圓心與點，其圓心與點(1,0)關(guān)關(guān)于直線于直線yx對稱，則圓對稱，則圓C的標(biāo)準方程為的標(biāo)準方程為_.12真題感悟34解析圓圓C的圓心為的圓心為(0,1)，半徑為，半徑為1，標(biāo)準方程為標(biāo)準方程為x2(y1)21.x2(y1)214.(2014山東山東)已知實數(shù)已知實數(shù)x，y滿足滿足axay(0aln(y21)C.sin xsin yD.x3y312真題感悟34解析因為因為0a1，ax

18、y.采用賦值法判斷，采用賦值法判斷，12真題感悟34A中，當(dāng)中，當(dāng)x1，y0時，時， 1，A不成立不成立.B中，當(dāng)中，當(dāng)x0，y1時，時，ln 10，所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，排除上單調(diào)遞增，排除A，D；取取a1，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)ex ，押題精練123456所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，排除上單調(diào)遞增，排除B，故選故選C.答案C押題精練123456A押題精練123456押題精練123456答案C押題精練123456解析令令tf(x)，則該函數(shù)的零點即，則該函數(shù)的零點即f(t)10的解的解.先解方程先解方程f(t)1.當(dāng)當(dāng)t0時，方程為時

19、，方程為2t1，解得，解得t0；當(dāng)當(dāng)t0時，方程為時，方程為log2t1，解得，解得t2；所以方程所以方程f(t)1的解為的解為0或或2.再解方程再解方程f(x)0和和f(x)2.當(dāng)當(dāng)x0時，因為時，因為2x0，故由，故由2x2，得，得x1；當(dāng)當(dāng)x0時，由時，由log2x0，得，得x1；由；由log2x2，得得x4；故函數(shù)故函數(shù)yf(f(x)1的零點為的零點為1,4，共，共2個個.答案2押題精練123456押題精練123456押題精練123456故第故第組是區(qū)間組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)；上的正交函數(shù)；故第故第組不是區(qū)間組不是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)；上的正交函數(shù)；故第故第組是區(qū)間組是區(qū)間1,1

20、上的正交函數(shù)上的正交函數(shù).綜上，滿足條件的共有兩組綜上，滿足條件的共有兩組.答案C押題精練123456押題精練123456解f(x)在在R上為奇函數(shù)上為奇函數(shù),又在又在0，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，f(x)在在R上為增函數(shù)，且上為增函數(shù)，且f(0)0.由題設(shè)條件可得，由題設(shè)條件可得，f(cos 23)f(4m2mcos )0.又由又由f(x)為奇函數(shù)，可得為奇函數(shù)，可得f(cos 23)f(2mcos 4m).f(x)在在R上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，cos 232mcos 4m，即即cos2mcos 2m20.押題精練123456押題精練123456令令cos t，0 ，0t1.于是問題轉(zhuǎn)化為對一切于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0t1，不等式不等式t2mt2m20恒成立恒成立.t22m(t2)，即，即m 恒成立恒成立.存在實數(shù)存在實數(shù)m滿足題設(shè)的條件，即滿足題設(shè)的條件，即m42 .