概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè) 2

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1、 第一章隨機(jī)事件與概率 1. 將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點(diǎn)。 解： ,, 2.設(shè)，，試就以下三種情況分別求： （1），（2），（3） 解: （1） （2） （3） 3.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 解: 記H表撥號(hào)不超過三次而能接通。 Ai表第i次撥號(hào)能接通。 注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)

2、（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 4．進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率均為，試求以下事件的概率： （1）直到第次才成功； （2）在次中取得次成功； 解: (1) (2) 5. 設(shè)事件A，B的概率都大于零，說明以下四種敘述分別屬于那一種：（a）必然對(duì)，（b）必然錯(cuò)，（c）可能對(duì)也可能錯(cuò)，并說明理由。 （1）若A，B互不相容，則它們相互獨(dú)立。 （2）若A與B相互獨(dú)立，則它們互不相容。 （3），則A與B互不相容。 （4），則A與B相互獨(dú)立。 解: (1)b, 互斥事件,一定不是獨(dú)立事件

3、(2)c, 獨(dú)立事件不一定是互斥事件, (3)b, 若A與B互不相容,則, 而 (4)a, 若A與B相互獨(dú)立,則, 這時(shí) 6. 有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中放有3個(gè)白球，2個(gè)紅球；乙盒中放有4個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)地取一個(gè)球放到乙盒中，再從乙盒中取出一球，試求： (1)從乙盒中取出的球是白球的概率； (2)若已知從乙盒中取出的球是白球，則從甲盒中取出的球是白球的概率。 解: (1)記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋” 再記B表“再從乙袋中取得白球”。 ∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥 ∴ P (B)=P (A1)P(B|

4、A1)+ P (A2)P (B| A2) == (2) 7.思考題：討論對(duì)立、互斥（互不相容）和獨(dú)立性之間的關(guān)系。 解:獨(dú)立事件不是對(duì)立事件,也不一定是互斥事件;對(duì)立事件是互斥事件,不能是獨(dú)立事件;互斥事件一般不是對(duì)立事件,一定不是獨(dú)立事件. 第二章隨機(jī)變量及其概率分布 1.設(shè)X的概率分布列為： Xi? 0 1 2 3 Pi? 0.1 0.1 0.1 0.7 F(x)為其分布的函數(shù)，則F（2）=？ 解: 2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)=則常數(shù)c等于？ 解:由于,故 3.一辦公室內(nèi)有5臺(tái)計(jì)算機(jī)，調(diào)查表明在任一時(shí)刻每臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率為0.6，

5、計(jì)算機(jī)是否被使用相互獨(dú)立，問在同一時(shí)刻 (1) 恰有2臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？ (2) 至少有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？ (3) 至多有3臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？ (4) 至少有1臺(tái)計(jì)算機(jī)被使用的概率是多少？ 解: (1) (2) (3) =0.0768+0.2304+0.1728=0.48 (4) 4.設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間 (0, 5) 上服從均勻分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0 有實(shí)根的概率。 解: 由可得: 所以 5.假設(shè)打一次電話所用時(shí)間（單位：分）X服從的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進(jìn)電話亭，試求你等待：（1）

6、超過10分鐘的概率；（2）10分鐘 到20分鐘的概率。 解: 6. 隨機(jī)變量X～N (3, 4), (1) 求 P(22),P(X>3)；（2）確定c，使得 P(X>c) = P(X

7、1 2 0 0.1 0.15 1 0.3 0.45 Z 0 1 2 P 0.25 0.3 0.45 8. 思考題:舉出幾個(gè)隨機(jī)變量的例子。 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 1.設(shè)盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黑球，從中隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球個(gè)數(shù)，用Y表示取到的白球個(gè)數(shù)，寫出 (X, Y) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。 解: X Y 0 1 2 0 0 0 0.1 1 0 0.4 0.2 2 0.1 0.2 0 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.

8、1 b 0.2 2.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為： 試根椐下列條件分別求a和b的值； (1)； (2)； (3)設(shè)是的分布函數(shù)，。 解: (1), (2),, 3.的聯(lián)合密度函數(shù)為： 求（1）常數(shù)k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。 解: (1),故 (2) (3) (4) 4．的聯(lián)合密度函數(shù)為： 求（1）常數(shù)k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。 解: (1),故 (2) (3) 5.設(shè)(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的

9、邊緣密度函數(shù)。 解: 6. 設(shè)(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)。 解: , , 7. (X, Y) 的聯(lián)合分布律如下， Y X 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 a b 1/9 試根椐下列條件分別求a和b的值； (1) ； (2) ； （3）已知與相互獨(dú)立。 解: (1), (2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18 8.(X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論與是否相互獨(dú)立？ 解: ,

10、c=6 , ,故與相互獨(dú)立. 9.思考題：聯(lián)合分布能決定邊緣分布嗎？反之呢？ 解:聯(lián)合分布可以得到邊緣分布,反之不真. 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1．盒中有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球的個(gè)數(shù)，則EX是：B （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2. 2.設(shè)有密度函數(shù)：, 求,并求大于數(shù)學(xué)期望的概率。(該題數(shù)有錯(cuò)) 解: 3.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為 Y X 0 1 2 0 0.1 0.2 a 1 0.1 b 0.2 已知，

11、 則a和b的值是：D （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。 4．設(shè)隨機(jī)變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求。 解： X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 5．設(shè)X有分布律： 則是：D （A）1；（B）2； （C）3； （D）4. 6.丟一顆均勻的骰子，用X表示點(diǎn)數(shù)，求. 解：X的分布為 7.有密度函數(shù)：，求 D(X). 解：， 8.設(shè),,相互獨(dú)立，則的值分別是：

12、 （A） -1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88. 解: A 9. 設(shè)，與有相同的期望和方差，求的值。 （A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5. 解: B 10．下列結(jié)論不正確的是（ ） （A）與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)； （B）與相關(guān)，則與不相互獨(dú)立； （C），則與相互獨(dú)立； （D），則與不相關(guān)； 解: B 11．若 ，則不正確的是（ ） （A）；（B）； （C）；（D）； 解:D 12．（）有聯(lián)合分布律如下，試分析與的相關(guān)性和獨(dú)立性。 Y X -1

13、0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 解: 由于 而 所以與不獨(dú)立. 由于,所以,與不相關(guān) 13．是與不相關(guān)的（ B ） （A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。 14. 是與相互獨(dú)立的（A ） （A） 必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。 15.思考題：（1） 設(shè)隨機(jī)變量 (X, Y) 有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證與不相關(guān)，但不獨(dú)立。 解: 0,,不相關(guān) 顯然:,所以與不獨(dú)立. （2）設(shè)有，

14、試驗(yàn)證，但與不相互獨(dú)立 解: 顯然:,所以與不獨(dú)立. 討論與獨(dú)立性，相關(guān)性與獨(dú)立性之間的關(guān)系 解:若X與Y相互獨(dú)立,則,反之不成立. 獨(dú)立一定不相關(guān),反之不真. 第五章大數(shù)定律及中心極限定理 1.一批元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用，其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時(shí)，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時(shí)）的近似概率。 解: 設(shè)第只元件的壽命為(),,,則是這30只元件壽命的總合,,, 則所求的概率為: 2.某一隨機(jī)試驗(yàn)，“成功”的概率為0.04，獨(dú)立

15、重復(fù)100次，由中心極限定理求最多“成功”6次的概率的近似值。 解: 設(shè)成功的次數(shù)為,則,, 第六章樣本與統(tǒng)計(jì)量 1.有n=10的樣本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，則樣本均值=1.57 ，樣本均方差 0.2541，樣本方差0.06456。 2．設(shè)總體方差為有樣本，樣本均值為，則 。 3. 查有關(guān)的附表，下列分位點(diǎn)的值： =?，=9.236 ，=-1.3722 。 4．設(shè)是總體的樣本，求。 解: 5．設(shè)總體，樣本，樣本均值，樣本方差，則 ， ， ～，～ 第七章 參數(shù)估計(jì) 1.設(shè)總體的密度

16、函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù) 的矩估計(jì)。 解:,故 的矩估計(jì): 2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)，為估計(jì)的值，在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)查了20次，每次1分鐘，結(jié)果如下： 次數(shù)： 2 3 4 5 6 量數(shù)： 9 5 3 7 4 試求的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)。 解:,,,,所以, 3.設(shè)總體的密度函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù) 的極大似然估計(jì)。 解:由題設(shè),似然函數(shù)為: , 解得的極大似然估計(jì)為 4.纖度是衡量纖維粗

17、細(xì)程度的一個(gè)量，某廠化纖纖度,抽取9根纖維，測(cè)量其纖度為：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，試求的置信度為的置信區(qū)間，（1）若,（2）若未知 解: (1),的置信區(qū)間為 (2) ,,時(shí), 置信區(qū)間為: 5. 為分析某自動(dòng)設(shè)備加工的另件的精度，抽查16個(gè)另件，測(cè)量其長度，得㎜，s = 0.0494㎜,設(shè)另件長度,取置信度為，（1）求的置信區(qū)間，（2）求的置信區(qū)間。 解:,,, 所以置信區(qū)間為: . 的置信區(qū)間為:[0.0361,0.0762] 第八章假設(shè)檢驗(yàn) 1.某種電子元件的阻值（歐姆）,隨機(jī)抽取25個(gè)元件，測(cè)得平均電阻值，試在下檢驗(yàn)電阻值的期望是否符合要求？ 解:檢驗(yàn)假設(shè):, 由已知可得: 查表得:,故拒絕原假設(shè), 電阻值的期望不符合要求 2.在上題中若未知，而25個(gè)元件的均方差，則需如何檢驗(yàn)，結(jié)論是什么？ 解:由于方差未知,故用t檢驗(yàn). 檢驗(yàn)假設(shè): , 查表 由于,故接收原假設(shè), 電阻值的期望符合要求, 3.成年男子肺活量為毫升的正態(tài)分布，選取20名成年男子參加某項(xiàng)體育鍛練一定時(shí)期后，測(cè)定他們的肺活量，得平均值為毫升，設(shè)方差為，試檢驗(yàn)肺活量均值的提高是否顯著（取）？ 解: 檢驗(yàn)假設(shè): ,, 查表得: ,故接收原假設(shè),即提高不顯著.