海門中學2008～2009第一學期高三期中考試(數(shù)學試卷)

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1、海門中學2008～2009第一學期高三期中考試 數(shù) 學 試 卷 一、選擇題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1.設(shè)全集，集合，集合，則=__ 2.復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)=________ 3. 若曲線在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標為 ． 4.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則 _______ 5. 如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8， 一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點的 最短路線的長為 . 6．已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量 ．若，且 ，則角的大小分別

2、為 7． 如圖是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖,已知=4,且 的面積為16,過作軸,則的長為 . 8. 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=x2，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有_________個 9．在中，、分別為角、的對邊，若，，，則邊的長等于　　　　?。? 10．一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，則這個球的體積為　　　　　?。? 11．已知，則 A C B O P 1

3、2．如圖，O，A，B是平面上的三點，向量 設(shè)P為線段AB的垂直平分線CP上任意一點，向量 ，則= . 13．若對任意實數(shù)t， 都有．記，則 ． 14. 已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示，對于滿足的任意、，給出下列結(jié)論： ① ； ② ； ③ ． 其中正確結(jié)論的序號是　　　　　　?。ò阉姓_結(jié)論的序號都填上） 二、解答題：共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 已知向量，，函數(shù)． （Ⅰ）求的最大值及相應(yīng)的的值； （Ⅱ）若，求的值．

4、 16．（本小題滿分14分）在中，已知內(nèi)角，邊．設(shè)內(nèi)角，周長為．（1）求函數(shù)的解析式和定義域； （2）求的最大值． 17．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，． （Ⅰ）設(shè)是上的一點，證明：平面平面； （Ⅱ）求四棱錐的體積． A B C M P D 18．（本小題滿分15分）已知，（），直線與函數(shù)、的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1． （Ⅰ）求直線的方程及的值； （Ⅱ）若（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的

5、最大值； （Ⅲ）當時，求證：． 19. （本小題滿分16分）設(shè)，定義，其中n∈N*.（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式； （2）若，其中n∈N*，試比較9與大小，并說明理由. 20. （本小題滿分16分）已知定理：“若為常數(shù)，滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱”．設(shè)函數(shù)，定義域為A． （1）試證明的圖象關(guān)于點成中心對稱； （2）當時，求證：； （3）對于給定的，設(shè)計構(gòu)造過程：，…，．如果，構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果，構(gòu)造過程將停止．若對任意，構(gòu)造過程可以無限進行下去，求a的值．

6、 海門中學2008～2009第一學期高三期中考試 參考答案 一、選擇題：本大題共14小題，每小題6分，共84分 1.設(shè)全集，集合，集合，則=__ 2.復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)=____1+2i ____ 3. 若曲線在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標為 （1，0） ． 4.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則 ___-1____ 5. 如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8， 一質(zhì)點自點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點的 最短路線的長為 .

7、 6．已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量 ．若，且 ，則角的大小分別為 7． 如圖是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖,已知=4,且 的面積為16,過作軸,則的長為 . 8. 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=x2，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有_____6____個 9．在中，、分別為角、的對邊，若，，，則邊的長等于　　　 　?。? 10．一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，則這個球的

8、體積為　　　　　?。? A C B O P 11．已知，則 12．如圖，O，A，B是平面上的三點，向量 設(shè)P為線段AB的垂直平分線CP上任意一點，向量 ，則= ▲ . 13．若對任意實數(shù)t， 都有．記，則 －1 ． 14. 已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示，對于滿足的任意、，給出下列結(jié)論： ④ ； ⑤ ； ⑥ ． 其中正確結(jié)論的序號是　　　②③　　　?。ò阉姓_結(jié)論的序號都填上） 二、解答題：共4小題，共76分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分18分） 已知向量，，函數(shù)． （Ⅰ

9、）求的最大值及相應(yīng)的的值； （Ⅱ）若，求的值． 解：（Ⅰ）因為，，所以 ． 因此，當，即（）時，取得最大值； （Ⅱ）由及得，兩邊平方得 ，即． 因此，． 16．（本小題滿分18分） 在中，已知內(nèi)角，邊．設(shè)內(nèi)角，周長為． （1）求函數(shù)的解析式和定義域； （2）求的最大值． 解：（1）的內(nèi)角和， 由得． 應(yīng)用正弦定理，知， ． 因為， 所以 （2）因為 ， 所以，當，即時，取得最大值． 17．（本小題滿分20分） A B C M P D 如圖，在四棱錐中，平面平面，

10、，是等邊三角形，已知，． （Ⅰ）設(shè)是上的一點，證明：平面平面； （Ⅱ）求四棱錐的體積． （Ⅰ）證明：在中， 由于，，， A B C M P D O 所以． 故． 又平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又平面， 故平面平面． （Ⅱ）解：過作交于， 由于平面平面， 所以平面． 因此為四棱錐的高， 又是邊長為4的等邊三角形． 因此． 在底面四邊形中，，， 所以四邊形是梯形，在中，斜邊邊上的高為， 此即為梯形的高， 所以四邊形的面積為． 故． 18．（本小題滿分20分） 已知，（），直線與函數(shù)、的圖像都 相切，且與函數(shù)的圖像

11、的切點的橫坐標為1． （Ⅰ）求直線的方程及的值； （Ⅱ）若（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的最大值； （Ⅲ）當時，求證：． 解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數(shù)在點處的切線，故其斜率 ， 所以直線的方程為． 又因為直線與的圖像相切，所以由 ， 得（不合題意，舍去）； （Ⅱ）因為（），所以 ． 當時，；當時，． 因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 因此，當時，取得最大值； （Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，即．因此，有． 19.設(shè)，定義，其中n∈N*. （1）求數(shù)列｛an｝的通項公式； （2）若，其中n∈N*，試比較9與大小，并說明理由. （1）＝2，，，∴

12、 ∴，∴數(shù)列｛an｝上首項為，公比為的等比數(shù)列， （2） 兩式相減得： 當n=1時，9＜；當n=2時，9＜； 當n≥3時，22n=[(1+1)n]2=()2>(2n+1)2,∴9>. 20、已知定理：“若為常數(shù)，滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱”．設(shè)函數(shù)，定義域為A． （1）試證明的圖象關(guān)于點成中心對稱； （2）當時，求證：； （3）對于給定的，設(shè)計構(gòu)造過程：，…，．如果，構(gòu)造過程將繼續(xù)下去；如果，構(gòu)造過程將停止．若對任意，構(gòu)造過程可以無限進行下去，求a的值． 解（1）∵，∴． 由已知定理，得的圖象關(guān)于點成中心對稱． （2）先證明在上是增函數(shù)，只要證明在上是增函數(shù)． 設(shè)，則， ∴在上是增函數(shù)． 再由在上是增函數(shù)，得 當時，，即． （3）∵構(gòu)造過程可以無限進行下去，∴對任意恒成立． ∴方程無解，即方程無解或有唯一解． ∴或由此得到．