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1、
指數函數與對數函數
題型預測
指數函數與對數函數都是非常重要的初等函數，也是我們在高中階段研究函數問題時主要的載體．其它初等函數與之相復合，所得到的新函數的定義域、值域、單調性，以及它們與不等式的綜合常常成為考查的核心．
范例選講
例1．已知，其中．
（1）試求的定義域和值域；求出的反函數；
（2）求出的反函數；
（3）判斷函數的奇偶性和單調性；
（4）若實數滿足，求的取值范圍.
講解 （1） 由于，所以，函數的定義域為R.
為求的值域，觀察函數的解析式．注意到其實是一個單調函數（）和一個非單調函數（）之和，因此，的單調性并不能通過簡單判斷很快
2、得到．
解決這個問題，我們可以有下面的兩種選擇：
一、從單調性的定義出發(fā)．即任取，且，比較的大小關系，這種方法留給同學自己完成．
二、通過剛才的觀察，很快可以看出：在上單調遞增，此時，的取值范圍為；
當時，，因此，若令，則
由，則可知：此時的取值范圍為．
又時，．所以，函數的值域為．
所以，函數的值域為R．
（2）設，則=，利用與互為倒數，可得=，所以，．
所以，=，R．
（3）任取R，則==，所以，函數為奇函數．
任取，且，則由及指數函數的性質可知：
，，
所以，，即．
所以，在定義域內單調遞增．
（4）由得：，即：
結合的單調性可知：上式等價于
3、：，解之得：．
點評 ①定義域是研究函數的基礎．求值域、判斷奇偶性、單調性、研究函數圖象等都應先從定義域出發(fā)．②從定義域出發(fā)，利用函數的單調性，是求函數值域常用的方法．
例2．已知函數，對定義域內的任意都有成立．
（1）求實數的值；
（2）若當時，的取值范圍恰為，求實數的值．
講解：（1）由及可得：
解之得：．
當時，函數無意義，所以，只有．
（2）時， ，其定義域為.
所以，或．
①若，則．
為研究時的值域，可考慮在上的單調性．下證在上單調遞減．
任取，且，則
又，所以，，即．
所以，當，在上單調遞減
由題：時，的取值范圍恰為，所以，必有，解之得：（因為，所以舍去）
②若，則．又由于，所以，．
此時，同上可證在上單調遞增（證明過程略）．
所以，在上的取值范圍應為，而為常數，故的取值范圍不可能恰為．
所以，在這種情況下，無解．
綜上，符合題意的實數的值為，
點評 本題（2）中，充分的運用已知條件，可以減少分類討論的次數．
3
【備戰(zhàn)】北京中國人民大學附中高考數學（題型預測范例選講）綜合能力題選講 第03講 指數函數與對數函數（含詳解）
