高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第十二篇 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)

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1、 精品資料 第1講　算法的含義及流程圖 知 識(shí) 梳 理 1．算法與流程圖 (1)算法通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成． (2)流程圖是由一些圖框和流程線組成的，其中圖框表示各種操作的類型，圖框中的文字和符號(hào)表示操作的內(nèi)容，流程線表示操作的先后次序． 2．三種基本邏輯結(jié)構(gòu) (1)順序結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，這是任何一個(gè)算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)． 其結(jié)構(gòu)形式為 (2)選擇結(jié)構(gòu)是指算法的流程根據(jù)給定的條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流

2、向的結(jié)構(gòu)形式，也稱為分支結(jié)構(gòu)． 其結(jié)構(gòu)形式為 (3)循環(huán)結(jié)構(gòu)是指在算法中，需要重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)． 反復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體．循環(huán)結(jié)構(gòu)又分為當(dāng)型和直到型．循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計(jì)算的算法中，如累加求和，累乘求積等問題常常需要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)算法． 其結(jié)構(gòu)形式為 3．賦值語(yǔ)句、輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句 賦值語(yǔ)句用符號(hào)“←”表示，其一般格式是變量←表達(dá)式(或變量)，其作用是對(duì)程序中的變量賦值；輸入語(yǔ)句“Read a，b”表示輸入的數(shù)據(jù)依次送給a，b，輸出語(yǔ)句“Print x”表示輸出運(yùn)算結(jié)果x. 4．算法的選擇結(jié)構(gòu)由條件語(yǔ)句來(lái)表達(dá)，條件語(yǔ)句有兩種，一種 是If－

3、Then－Else語(yǔ)句，其格式是 5．算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，可以運(yùn)用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)． (1)當(dāng)循環(huán)的次數(shù)已經(jīng)確定，可用“For”語(yǔ)句表示“For”語(yǔ)句的一般形式為 說明：上面“For”和“End for”之間縮進(jìn)的步驟稱為循環(huán)體，如果省略“Step步長(zhǎng)”，那么重復(fù)循環(huán)時(shí)，I每次增加1. (2)不論循環(huán)次數(shù)是否確定都可以用下面循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)當(dāng)型和直到型兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu)． 當(dāng)型語(yǔ)句的一般格式是 直到型語(yǔ)句的一般格式是 辨 析 感 悟 1．對(duì)算法概念的認(rèn)識(shí) (1)任何算法必有條件結(jié)構(gòu)．() (2)算法可以無(wú)限操作下去．() 2．對(duì)程序框圖的認(rèn)識(shí) (3)?是賦值框，有計(jì)算功能．

4、() (4)當(dāng)型循環(huán)是給定條件不成立時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，反復(fù)進(jìn)行，直到條件成立為止．() (5)(2012江西卷改編)下圖是某算法的流程圖，則算法運(yùn)行后輸出的結(jié)果是3.(√) 3．對(duì)算法語(yǔ)句的理解 (6)5＝x是賦值語(yǔ)句．() (7)輸入語(yǔ)句可以同時(shí)給多個(gè)變量賦值．(√) [感悟提升] 三點(diǎn)提醒　一是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷； 二是注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不能混用，如(3)； 三是賦值語(yǔ)句賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是表達(dá)式，右邊的表達(dá)

5、式可以是一個(gè)常量、變量或含變量的運(yùn)算式. 考點(diǎn)一　基本邏輯結(jié)構(gòu) 【例1】 (1)(2013山東卷改編)執(zhí)行兩次如圖1所示的流程圖，若第一次輸入的a的值為－1.2，第二次輸入的a的值為1.2，則第一次、第二次輸出的a的值分別為________． 圖1　　　　　　　圖2 (2)(2013廣東卷改編)執(zhí)行如圖2所示的流程圖，若輸入n的值為3，則輸出s的值是________． 解析　(1)執(zhí)行流程圖，第一次輸入a＝－1.2＜0，a＝－0.2＜0，a＝0.8＞0且0.8＜1，故輸出a＝0.8；第二次輸入a＝1.2＞0且1.2＞1，a＝0.2＜1，故輸出a＝0.2. (2)第1次執(zhí)行循

6、環(huán)：s＝1，i＝2(2≤3成立)；第2次執(zhí)行循環(huán)：s＝2，i＝3(3≤3成立)；第三次執(zhí)行循環(huán)：s＝4，i＝4(4≤3不成立)，結(jié)束循環(huán)，故輸出的s＝4. 答案　(1)0.8,0.2　(2)4 規(guī)律方法 此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照流程圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)． 【訓(xùn)練1】 (2013天津卷改編)閱讀下邊的流程圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出n的值為________． 解析　第1次，S＝－1，不滿足判斷框內(nèi)的條件；第2次，n＝2，S＝1，不滿足判斷框內(nèi)的條件；第3次，

7、n＝3，S＝－2，不滿足判斷框內(nèi)的條件；第4次，n＝4，S＝2，滿足判斷框內(nèi)的條件，結(jié)束循環(huán)，所以輸出的n＝4. 答案　4 考點(diǎn)二　流程圖的識(shí)別與應(yīng)用問題 【例2】 (1)(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷改編)執(zhí)行如圖1的流程圖，如果輸入的N＝4，那么輸出的S＝________. 圖1　　　　　　　　　圖2 ①1＋＋＋；②1＋＋＋；③1＋＋＋＋；④1＋＋＋＋ (2)(2013重慶卷改編)執(zhí)行如圖2所示的流程圖，如果輸出s＝3，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是________． ①k≤6；②k≤7；③k≤8；④k≤9 解析　(1)由框圖知循環(huán)情況為：T＝1，S＝1，k＝2；T＝，S＝1＋，

8、k＝3；T＝，S＝1＋＋，k＝4；T＝，S＝1＋＋＋，k＝5＞4，故輸出S. (2)首次進(jìn)入循環(huán)體，s＝1log23，k＝3；第二次進(jìn)入循環(huán)體，s＝＝2，k＝4；依次循環(huán)，第六次進(jìn)入循環(huán)體，s＝3，k＝8，此時(shí)終止循環(huán)，則判斷框內(nèi)填k≤7. 答案　(1)②　(2)② 規(guī)律方法 識(shí)別、運(yùn)行流程圖和完善流程圖的思路 (1)要明確流程圖的順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)． (2)要識(shí)別、運(yùn)行流程圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題． (3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證． 【訓(xùn)練2】 (2013福建卷改編) 閱讀如圖所示的流程圖，若輸入的k＝10，則該算法的功能是________． ①計(jì)算數(shù)

9、列{2n－1}的前10項(xiàng)和；②計(jì)算數(shù)列{2n－1}的前9項(xiàng)和；③計(jì)算數(shù)列{2n－1}的前10項(xiàng)和；④計(jì)算數(shù)列{2n－1}的前9項(xiàng)和． 解析　由流程圖可知：輸出S＝1＋2＋22＋…＋29，所以該算法的功能是計(jì)算數(shù)列{2n－1}的前10項(xiàng)的和． 答案?、? 考點(diǎn)三　基本算法語(yǔ)句 【例3】 (2014南京調(diào)研)寫出下列偽代碼的運(yùn)行結(jié)果． (1)圖1的運(yùn)行結(jié)果為________； (2)圖2的運(yùn)行結(jié)果為________． 解析　(1)圖1的偽代碼是先執(zhí)行S←S＋i，后執(zhí)行i←i＋1 ∴S＝0＋1＋2＋…＋(i－1)＝>20，∴i的最小值為7. (2)圖2的偽代碼是先執(zhí)行

10、i←i＋1，后執(zhí)行S←S＋i， ∴S＝0＋1＋2＋…＋i＝>20.∴i的最小值為6. 答案　(1)7　(2)6 規(guī)律方法 編寫偽代碼的關(guān)鍵在于搞清問題的算法，特別是算法結(jié)構(gòu)，然后確定采取哪一種算法語(yǔ)句． 【訓(xùn)練3】 下面是一個(gè)算法的偽代碼，如果輸入的x的值是20，則輸出的y的值是________． 解析　∵x＝20>5， ∴執(zhí)行賦值語(yǔ)句y＝7.5x＝7.520＝150. 答案　150 1．在設(shè)計(jì)一個(gè)算法的過程中要牢記它的五個(gè)特征：概括性、邏輯性、有窮性、不唯一性、普遍性． 2．算法的思想與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合會(huì)是新高考命題的方向，要注意此方面知識(shí)的積累． 3．條件語(yǔ)句一般

11、用在需要對(duì)條件進(jìn)行判斷的算法設(shè)計(jì)中，如判斷一個(gè)數(shù)的正負(fù)，確定的兩個(gè)數(shù)的大小等問題都要用到條件語(yǔ)句． 4．循環(huán)語(yǔ)句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種，要區(qū)別兩者的異同，主要解決遇到需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)時(shí)，用循環(huán)語(yǔ)句編寫偽代碼．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教你審題11——算法語(yǔ)句的識(shí)別與讀取 【典例】 (2013陜西卷改編)根據(jù)如圖所示的偽代碼，當(dāng)輸入x為60時(shí)，輸出y的值為________． [審題]　一審圖：本題是一個(gè)含條件語(yǔ)句的偽代碼． 二審過程：實(shí)際是一個(gè)分段函數(shù)求值問題． 三審結(jié)論：要求y值，應(yīng)根據(jù)x的取值找對(duì)應(yīng)的解析式． 解析　通過閱讀理解知，算法語(yǔ)句是一個(gè)分

12、段函數(shù)y＝f(x)＝ ∴y＝f(60)＝25＋0.6(60－50)＝31. 答案　31 [反思感悟] 計(jì)算機(jī)在執(zhí)行條件語(yǔ)句時(shí)，首先對(duì)If后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，就執(zhí)行Then后的語(yǔ)句1，若條件不符合，對(duì)于If—Then—Else語(yǔ)句就執(zhí)行Else后的語(yǔ)句2，然后結(jié)束這一條件語(yǔ)句．對(duì)于If—Then語(yǔ)句，則直接結(jié)束該條件語(yǔ)句． 【自主體驗(yàn)】 為了在運(yùn)行下面的偽代碼后輸出y＝16，應(yīng)輸入的整數(shù)x的值是________． 解析　當(dāng)x<0時(shí)，由(x＋1)2＝16得x＝－5；當(dāng)x≥0時(shí)，由1－x2＝16得x2＝－15，矛盾． 答案　－5 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分

13、鐘) 一、填空題 1．(2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷改編)執(zhí)行如圖所示的流程圖，如果輸入的t∈[－1,3]，則輸出的s的范圍為________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　作出分段函數(shù)s＝ 的圖象(圖略)，可知函數(shù)s在[－1,2]上單調(diào)遞增，在[2,3]上單調(diào)遞減，s(－1)＝－3，s(2)＝4，s(3)＝3， ∴t∈[－1,3]時(shí)，s∈[－3,4]． 答案　[－3,4] 2.(2013北京卷)執(zhí)行如圖所示的流程圖，輸出的S值為________． 解析　初始條件i＝0，S＝1，逐次計(jì)算結(jié)果是S＝，i＝1；S＝，i＝2，此時(shí)滿足輸出條件，故輸出S＝. 答案　

14、 3．按照下面的算法進(jìn)行操作： S1　x←2.35 S2　y←Int(x) S3　Print y 最后輸出的結(jié)果是________． 解析　Int(x)表示不大于x的最大整數(shù)． 答案　2 4．下面?zhèn)未a的結(jié)果為________． A←1 A←A＋2 A←A＋3 A←A＋4 A←A＋5 Print“A＝”，A END 解析　計(jì)算1＋2＋3＋4＋5的值．該偽代碼是1＋2＋3＋4＋5＝15. 答案　15 5．(2013福建卷改編)閱讀如圖所示的流程圖，運(yùn)行相應(yīng)的算法，如果輸入某個(gè)正整數(shù)n后，輸出的S∈(10,20)，那么n的值為________． 解析　第一次運(yùn)行

15、，S＝1，k＝2；第二次運(yùn)行，S＝3，k＝3；第三次運(yùn)行，S＝7，k＝4；第四次運(yùn)行，S＝15，k＝4. 答案　4 　　 第5題圖　　　　 　　　　　第6題圖　　 6．(2013湖南卷改編)執(zhí)行如圖所示的流程圖，如果輸入a＝1，b＝2，則輸出的a的值為________． 解析　第一次循環(huán)，a＝1＋2＝3，第二次循環(huán)，a＝3＋2＝5，第三次循環(huán)，a＝5＋2＝7，第四次循環(huán)，a＝7＋2＝9＞8，滿足條件，輸出a＝9. 答案　9 7．(2013江蘇卷) 如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的n的值是________． 解析　第一

16、次循環(huán)：a＝8，n＝2；第二次循環(huán)：a＝26，n＝3. 答案　3 8．如下給出的是用條件語(yǔ)句編寫的一個(gè)偽代碼，該偽代碼的功能是________． 答案　求下列函數(shù)當(dāng)自變量輸入值為x時(shí)的函數(shù)值f(x)，其中f(x)＝ 9．(2014臨沂一模)某流程圖如圖所示，該算法運(yùn)行后輸出的k的值是________． 解析　第一次循環(huán)，S＝20＝1，k＝1；第二次循環(huán)，S＝1＋21＝3，k＝2；第三次循環(huán)，S＝3＋23＝11，k＝3；第四次循環(huán)，S＝11＋211，k＝4；第五次循環(huán)S＝11＋211≤100不成立，輸出k＝4. 答案　4 10．(2014棗莊模擬)如圖是一個(gè)算法的流程圖，若

17、輸出的結(jié)果是31，則判斷框中整數(shù)M的值是________． 解析　本算法計(jì)算的是S＝1＋2＋22＋…＋2A，即S＝＝2A＋1－1，由2A＋1－1＝31得2A＋1＝32，解得A＝4，則A＋1＝5時(shí)，條件不成立，所以M＝4. 答案　4 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2014南通調(diào)研)根據(jù)如圖的算法，輸出的結(jié)果是________． 解析　S＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55. 答案　55 2．(2014泰州調(diào)研)如圖，運(yùn)行偽代碼所示的程序，則輸出的結(jié)果是________． 解析　流程圖的執(zhí)行如下： a 1 1＋2＝3 3＋5＝8 8＋13＝

18、21 b 2 3＋2＝5 8＋5＝13 21＋13＝34 I 2 2＋2＝4 4＋2＝6 6＋2＝8 當(dāng)I＝8時(shí)，b＝34，退出循環(huán)． 答案　34 3．(2013遼寧卷)執(zhí)行如圖所示的流程圖，若輸入n＝8，則輸出S＝________. 解析　S＝S＋的意義在于對(duì)求和． 因?yàn)椋?，同時(shí)注意i＝i＋2，所以所求的S＝＝. 答案　 　 第3題圖　　　　　　第4題圖 4．(2013湖北卷)閱讀如圖所示的流程圖，運(yùn)行相應(yīng)的算法．若輸入m的值為2，則輸出的結(jié)果i＝________. 解析　i＝1，A＝2，B＝1→i＝2，A＝4，B＝2→i＝3，A＝8，B＝6→i＝4，

19、A＝16，B＝24，滿足A＜B，輸出i＝4. 答案　4 5．(2014淄博二模) 執(zhí)行如圖所示的流程圖，若輸出的結(jié)果是8，則輸入的數(shù)是________． 解析　由a≥b得x2≥x3，解得x≤1.所以當(dāng)x≤1時(shí)，輸出a＝x2，當(dāng)x＞1時(shí)，輸出b＝x3.所以當(dāng)x≤1時(shí)，由a＝x2＝8，解得x＝－＝－2.若x＞1，由b＝x3＝8，得x＝2，所以輸入的數(shù)為2或－2. 答案　2或－2 6．(2014麗水模擬) 依據(jù)小區(qū)管理?xiàng)l例，小區(qū)編制了如圖所示的住戶每月應(yīng)繳納衛(wèi)生管理費(fèi)的流程圖，并編寫了相應(yīng)的算法．已知小張家共有4口人，則他家每個(gè)月應(yīng)繳納的衛(wèi)生管理費(fèi)(單位：元)是________

20、． 解析　當(dāng)n＝4時(shí)，S＝5＋1.2(4－3)＝6.2. 答案　6.2 第2講　合情推理與演繹推理 知 識(shí) 梳 理 1．歸納推理 (1)定義：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性的推理．或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)． (2)歸納推理的特點(diǎn) ①歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理； ②歸納推理的結(jié)論不一定為真； ③歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，推廣的一般性命題就越可靠． 2．類比推理 (1)定義：由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有

21、類似的其他特征的推理，稱為類比推理．類比推理是兩類事物特征之間的推理． (2)類比推理的特點(diǎn) ①類比推理是由特殊到特殊的推理； ②類比推理屬于合情推理，其結(jié)論具有或然性，可能為真，也可能為假； ③類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，類比得出的命題就越可靠． 3．演繹推理 (1)定義：演繹推理是根據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程． (2)演繹推理的特點(diǎn) ①演繹推理是由一般到特殊的推理； ②當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真． (3)演繹推理的主要形式是三段論，其一般模式為： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況

22、； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷． 辨 析 感 悟 1．對(duì)合情推理的認(rèn)識(shí) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．() (2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．(√) (3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適．() (4)(教材習(xí)題改編)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝n(n∈N*)．() (5)(2014安慶調(diào)研改編)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為1∶

23、8.(√) 2．對(duì)演繹推理的認(rèn)識(shí) (6)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的．(√) (7)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．() [感悟提升] 三點(diǎn)提醒　一是合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的． 二是在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤，如(3)． 三是應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如

24、果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的．如(7). 考點(diǎn)一　歸納推理 【例1】 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為＝n2＋n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式： 三角形數(shù)　　　　　N(n,3)＝n2＋n， 正方形數(shù) N(n,4)＝n2， 五邊形數(shù) N(n,5)＝n2－n， 六邊形數(shù) N(n,6)＝2n2－n …… 可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝____________. 解析　由N(n,3)＝n2＋n， N(n,

25、4)＝n2＋n， N(n,5)＝n2＋n， N(n,6)＝n2＋n， 推測(cè)N(n，k)＝n2＋n，k≥3. 從而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000. 答案　1 000 規(guī)律方法 歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法． 【訓(xùn)練1】 (1)(2014佛山質(zhì)檢)觀察下列不等式： ①＜1；②＋＜；③＋＋＜. 則第5個(gè)不等式為________． (2)(2013陜西卷)觀察下列等式 (1＋1)＝21 (2＋1)(

26、2＋2)＝2213 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135 …… 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________． 解析　(2)由已知的三個(gè)等式左邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式左邊為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三個(gè)等式右邊的變化規(guī)律，得第n個(gè)等式右邊為2n與n個(gè)奇數(shù)之積，即2n135…(2n－1)． 答案　(1)＋＋＋＋＜ (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1) 考點(diǎn)二　類比推理 【例2】 在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABC

27、D的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為________”． 審題路線　三角形面積類比為四面體的體積?三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面積?內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑?二維圖形中類比為三維圖形中的?得出結(jié)論． 答案　V四面體ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r 規(guī)律方法 在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：①找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；②找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等． 【訓(xùn)練2】 二維空間中圓的一維測(cè)

28、度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.則四維空間中“超球”的四維測(cè)度W＝2πr4，猜想其三維測(cè)度V＝________. 解析　由已知，可得圓的一維測(cè)度為二維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù)；球的二維測(cè)度是三維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù)．類比上述結(jié)論，“超球”的三維測(cè)度是四維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù)，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3. 答案　8πr3 考點(diǎn)三　演繹推理 【例3】 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an

29、. 證明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴＝2，又＝1≠0，(小前提) 故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知＝4(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)＝4Sn－1 ＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 規(guī)律方法 演繹推理是從一般到特殊的

30、推理；其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略． 【訓(xùn)練3】 “因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，而y＝logx是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝logx是增函數(shù)(結(jié)論)”，以下推理的錯(cuò)誤是________． ①大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤；②小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤；③推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤；④大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤． 解析　當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝logax是減函數(shù)．故大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤． 答案?、? 1．合情推理主要包括歸納推理和類比推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，在得到一

31、個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向． 2．演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論．?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來(lái)進(jìn)行． 3．合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確．而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 創(chuàng)新突破9——新定義下的歸納推理 【典例】 (2013湖南卷)對(duì)于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，例如： (1)子集{a1，a

32、3，a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于______； (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1，p2，…，p100滿足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q1，q2，…，q100滿足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為________． 解析　(1)根據(jù)題意可知子集{a1，a3，a5}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,0，…，0，此數(shù)列前3項(xiàng)和為2. (2)根據(jù)題意可寫出子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1，0，…，1,0，則P＝{a1，a3，…，a2n－1，…，a99}(1≤n≤50)， 子集Q的“特征數(shù)

33、列”為1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，則Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，則P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有17項(xiàng)． 答案　(1)2　(2)17 [反思感悟] 此類問題一定要抓住題設(shè)中的例子與定義的緊密結(jié)合， 細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，需有一定的邏輯推理能力． 【自主體驗(yàn)】 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值x1，x2，…，xn總滿足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)．現(xiàn)已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋

34、sin C的最大值是________． 解析　已知[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤ f，(大前提) 因?yàn)閒(x)＝sin x在(0，π)上是凸函數(shù)，(小前提) 所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，(結(jié)論) 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝. 因此sin A＋sin B＋sin C的最大值是. 答案　 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①結(jié)論正確；②大前

35、提不正確；③小前提不正確；④全不正確． 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù)，所以小前提不正確． 答案　③ 2．(2014西安五校聯(lián)考)觀察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，則得出第n個(gè)式子的結(jié)論：________. 解析　各等式的左邊是第n個(gè)自然數(shù)到第3n－2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 3．若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)的

36、和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為＝a1＋(n－1)，類似地，請(qǐng)完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則________． 答案　數(shù)列{}為等比數(shù)列，且通項(xiàng)為＝b1()n－1 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________. 解析　由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 答案　－g(x) 5．(2012江西卷改編)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a

37、3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于________． 解析　從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 答案　123 6．(2014長(zhǎng)春調(diào)研)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是________． ①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋

38、C(x)S(y)； ④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． 解析　經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． 答案?、邰? 7．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： ①“mn＝nm”類比得到“ab＝ba”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③“(mn)t＝m(nt)”類比得到“(ab)c＝a(bc)”；

39、 ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，ap＝xp?a＝x”； ⑤“|mn|＝|m||n|”類比得到“|ab|＝|a||b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的是________． 解析　①②正確；③④⑤⑥錯(cuò)誤． 答案?、佗? 8．(2014南京一模)給出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，請(qǐng)從中歸納出第n個(gè)等式：＝________. 答案　2cos 二、解答題 9．給出下面的數(shù)表序列： 　　　… 其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3，5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上

40、的兩數(shù)之和． 寫出表4，驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)． 解　表4為　　　　　　1　3　5　7 　　　　　　　　　 4　8　12 　　　　　　　　　　12　20 　　　　　　　　　　　32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列． 將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列． 10．f(x)＝，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般

41、性結(jié)論，并給出證明． 解　f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋＝＋＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝. 證明：f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋＝＋ ＝＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2012江西卷改編)觀察下列事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為________． 解析　由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的

42、個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80. 答案　80 2．觀察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為________． 解析　9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4(5＋1)，…，一般地，有(n＋2)2－

43、n2＝4(n＋1)(n∈N*)． 答案　(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*) 3．(2013湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)．若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4. (1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L分別是________； (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)

44、． 解析　(1)四邊形DEFG是一個(gè)直角梯形，觀察圖形可知：S＝(＋2)＝3，N＝1，L＝6. (2)由(1)知，S四邊形DEFG＝a＋6b＋c＝3. S△ABC＝4b＋c＝1. 在平面直角坐標(biāo)系中，取一“田”字型四邊形，構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正方形，該正方形中S＝4，N＝1，L＝8.則S＝a＋8b＋c＝4.聯(lián)立解得a＝1，b＝.c＝－1. ∴S＝N＋L－1，∴若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝71＋18－1＝79. 答案　(1)3,1,6　(2)79 二、解答題 4．(2012福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213＋co

45、s217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解　(1)選擇②式，計(jì)算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15 ＝1－sin 30 ＝1－ ＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2

46、(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 第3講　直接證明與間接證明 知 識(shí) 梳 理 1．直接證明 (1)綜合法定義： 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．這樣的思維方法稱為綜

47、合法． (2)框圖表示：→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)． (3)分析法定義： 從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等．這樣的思維方法稱為分析法． (4)框圖表示：→→→…→ . 2．間接證明 (1)反證法定義： 在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯(cuò)誤，二者必居其一．我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)

48、論成立．這種證明方法叫作反證法． (2)反證法的證題步驟是： ①作出否定結(jié)論的假設(shè)； ②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾； ③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 辨 析 感 悟 對(duì)三種證明方法的認(rèn)識(shí) (1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．() (2)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾．() (3)在解決問題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程．(√) (4)證明不等式＋＜＋最合適的方法是分析法．(√) [感悟提升] 兩點(diǎn)提醒　一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點(diǎn)是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分

49、條件，如(1)； 二是應(yīng)用反證法證題時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．所謂矛盾主要指：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；⑤自相矛盾. 考點(diǎn)一　綜合法的應(yīng)用 【例1】 (2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1. 證明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2

50、＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1. 規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過程，但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. (2)已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證：＋＋＞3. 證明　(1)∵a＋b＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋ ＝2＋2＋4＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

51、＝時(shí)等號(hào)成立． (2)∵a，b，c全不相等，且都大于0 ∴與，與，與全不相等， ∴＋＞2，＋＞2，＋＞2， 三式相加得＋＋＋＋＋＞6， ∴＋＋＞3， 即＋＋＞3. 考點(diǎn)二　分析法的應(yīng)用 【例2】 已知a＞0，求證：－≥a＋－2. 審題路線　從結(jié)論出發(fā)?觀察不等式兩邊的符號(hào)?移項(xiàng)(把不等式兩邊都變?yōu)檎?xiàng))?平方?移項(xiàng)整理?平方?移項(xiàng)整理可得顯然成立的結(jié)論． 證明　(1)要證－≥a＋－2， 只需要證＋2≥a＋＋. ∵a＞0，故只需要證2≥2， 即a2＋＋4＋4 ≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只需要證2≥， 只需要證4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不

52、等式成立． 規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵． (2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證． 【訓(xùn)練2】 已知m＞0，a，b∈R，求證：2≤. 證明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要證原不等式成立， 只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2) 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證． 考點(diǎn)三　反證法的應(yīng)用 【例3

53、】 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列． (1)解　由已知得∴d＝2， 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明　由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr. 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0. ∴p＝r，與p≠r矛盾． ∴數(shù)列

54、{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． 規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 【訓(xùn)練3】 已知a≥－1，求證三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根． 證明　假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則 ? ∴－＜a＜－1. 這與已知a≥－1矛盾， 所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立．

55、 1．分析法的特點(diǎn)：從未知看需知，逐步靠攏已知． 2．綜合法的特點(diǎn)：從已知看可知，逐步推出未知． 3．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)．分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思考．實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)． 4．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答題模板13——反證法在證明題中的應(yīng)用 【典例】 (14分)(2013北京卷)直線y

56、＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形． [規(guī)范解答]　(1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形， 所以AC與OB相互垂直平分．(2分) 所以可設(shè)A，代入橢圓方程得＋＝1， 即t＝. 所以|AC|＝2.(5分) (2)假設(shè)四邊形OABC為菱形． 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0. 由消y并整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.(7分) 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則

57、 ＝－， ＝k＋m＝. 所以AC的中點(diǎn)為M.(9分) 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0， 所以直線OB的斜率為－.(11分) 因?yàn)閗≠－1，所以AC與OB不垂直．(13分) 所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾． 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形．(14分) [反思感悟] (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，明確作假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的． (2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時(shí)，常采用反證法． (3)利用反證法證明時(shí)，一定要回到結(jié)論上去

58、． 答題模板　用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板： 第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q； 第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題. 【自主體驗(yàn)】 設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0. (1)證明：l1與l2相交； (2)證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上． 證明　(1)假設(shè)l1與l2不相交， 則l1與l2平行或重合，有k1＝k2， 代入k1k2＋2

59、＝0，得k＋2＝0. 這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1≠k2， 即l1與l2相交． (2)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 從而2x2＋y2＝22＋2 ＝＝＝1， 所以l1與l2的交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．(2014安陽(yáng)模擬)若a＜b＜0，則下列不等式中成立的是________． ①＜；②a＋＞b＋；③b＋＞a＋；④＜. 解析　(特值法)取a＝－2，b＝－1，驗(yàn)證③正確． 答案　③ 2．用反證法證明命題：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，應(yīng)反設(shè)_____

60、___成立．解析　由反證法的定義得，反設(shè)即否定結(jié)論． 答案　a，b都不能被5整除 3．(2014上海模擬)“a＝”是“對(duì)任意正數(shù)x，均有x＋≥1”的________條件． 解析　當(dāng)a＝時(shí)，x＋≥2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝時(shí)取等號(hào)；反之，顯然不成立． 答案　充分不必要 4．(2014張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應(yīng)是________． ①a－b＞0；②a－c＞0；③(a－b)(a－c)＞0；④(a－b)(a－c)＜0. 解析　由題意知＜a?b2－ac＜3a2 ?(a＋c)2－ac＜3a2 ?a2＋2ac＋c

61、2－ac－3a2＜0 ?－2a2＋ac＋c2＜0 ?2a2－ac－c2＞0 ?(a－c)(2a＋c)＞0?(a－c)(a－b)＞0. 答案?、? 5．(2014天津模擬)p＝＋，q＝(m，n，a，b，c，d均為正數(shù))，則p，q的大小關(guān)系為________． 解析　q＝ ≥＝＋＝p. 答案　p≤q 6．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是________． 解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故①③④能使＋≥2成立． 答案　3 7．已知a，b，m均為正數(shù)，且a＞b，則與的大小關(guān)系是_

62、_______． 解析?。剑剑? ∵a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜. 答案?。? 8．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是________(填序號(hào))． 答案?、? 二、解答題 9．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證： lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 證明　∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴≥＞0，≥＞0，≥＞0. 又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立． ∴＞abc成立． 上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)， 得lg＞lg abc， ∴l(xiāng)g＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋l

63、g c. 10．(2014鶴崗模擬)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ (1)證明　假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)， 因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)解　當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列，否則2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，這與

64、公比q≠0矛盾． 綜上，當(dāng)q＝1數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2014漳州一模)設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋，b＋，c＋________. ①都大于2；②都小于2；③至少有一個(gè)不大于2；④至少有一個(gè)不小于2 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋＋＝＋＋ ≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個(gè)不小于2. 答案　④ 2．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為________． 解析　∵≥≥，又f

65、(x)＝x在R上是減函數(shù)，∴f≤f()≤f. 答案　A≤B≤C 3．(2014株洲模擬)已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________． 解析　∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1， ∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝12時(shí)等號(hào)成立，∴a＋b的最小值為16. ∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案　(0,16] 二、解答題 4．是否存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；若不存在，說明

66、理由． 證明　假設(shè)存在兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不為0的等差數(shù)列． 設(shè){an}的公比為q1，{bn}的公比為q2， 則b2－a2＝b1q2－a1q1，b3－a3＝b1q－a1q， b4－a4＝b1q－a1q. 由b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成等差數(shù)列得 即 ①q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0， 由a1≠0得q1＝q2或q1＝1. ⅰ)當(dāng)q1＝q2時(shí)，由①，②得b1＝a1或q1＝q2＝1， 這時(shí)(b2－a2)－(b1－a1)＝0，與公差不為0矛盾． ⅱ)當(dāng)q1＝1時(shí)，由①，②得b1＝0或q2＝1， 這時(shí)(b2－a2)－(b1－a1)＝0，與公差不為0矛盾． 綜上所述，不存在兩個(gè)等比數(shù)