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1、 幾何概型 【考點梳理】 1 幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度 (面積或體積)成比例，則稱這樣的概 率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型. 2. 幾何概型的兩個基本特點 (1) 無限性：在一次試驗中可能出現的結果有無限多個. (2) 等可能性：每個試驗結果的發(fā)生具有等可能性. 3. 幾何概型的概率公式 _ 構成事件A的區(qū)域長度 面積或體積 _ P(A)試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度 面積或體積 . 【考點突破】 考點一、與長度(角度)有關的幾何概型 C,現作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC ) A. 線段BC有公共點的概率為 1 答案(1) C (2) 3 解析(1
2、) 設|AC = x，則 I BC = 12-X,所以x(12 x)20，解得 2x10,故所求概率 P 10 2 2 12 = 3. (2)以A為圓心，以AD= 1 為半徑作圓弧 D3 交AC AR AB分別為C, P, B . 依題意，點P在三 D 上任何位置是等可能的， 且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點 【例 1 (1)在長為 12 cm 的線段AB上任取一點 CB的長，則該矩形的面積大于 20 cm2的概率為( C. 2 3 如圖所示，四邊形 4 D.- 5 ABCD 矩形，AB= 3, BC= 1,在/ DA餉作射線AR則射線AP與 2 P在m c 上發(fā)生”.3 _ n 又在
3、 Rt ABC中，易求/ BAC=Z B AC =. 6 1 I 6 p= C = - | n ! H 7 】 【類題通法】 1.解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍, 且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位 置. 2.當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角對應的弧長的大小作為區(qū)域度 量來計算概率事實上，當半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應的圓心角的弧度數之比. 【對點訓練】 1. 某公司的班車在 7: 30, 8: 00, 8: 30 發(fā)車，小明在 7: 50 至& 30 之間到達發(fā)車站乘 答案B 解析如圖，7
4、: 50 至& 30 之間的時間長度為 40 分鐘，而小明等車時間不超過 10 分 鐘是指小明在 7: 50 至 8: 00 之間或 8: 20 至 8: 30 之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長 20 1 度之和為 20 分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為 P= 40 = 2.故選 B. 7:50 8:00 8:10 8:20 8i30 n I I I A H C D 2 .如圖所示，在等腰直角三角形 ABC中，過直角頂點 C在/ ACB內部任作一條射線 CM與 AB交于點 M貝U AMAC的概率為 _ . 1 3. 故所求事件的概率 當考查對象為點, 坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的
5、，則他等車時間不超過 1 1 A. B 3 2 2 3 C 3 D 3 10 分鐘的概率是（ Hr B 3 4 答案4 解析過點C作CN交AB于點N,使AN= AC如圖所示.顯然當射線CM處在/ ACh內時, AMAC 又/ A= 45,所以/ ACN= 67.5。，故所求概率為 P= 69= 4- 考點二、與面積有關的幾何概型 【例 2】如圖，大正方形的面積是 34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形 的較短邊長為 3,向大正方形內拋撒一枚幸運小花朵， 則小花朵落在小正方形內的概率為 （ ） 解析要使該函數無零點，只需 1 2 A. 17 B .17 4 17 答案B 解析 大正
6、方形的面積34,.大正方形的邊長是，34,由直角三角形的較短邊長為 3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是 5 和 3，則小正方形邊長為 2,面積為 4,.小花朵 落在小正方形內的概率為 P=蘭=2 34 17 【例 3】在區(qū)間0 , 1 上任取兩個數 a, b,則函數f（x）= x1 2+ ax + b2無零點的概率為（ 3 3 3. 5 1-2x1X 1X1 【類題通法】 1. 與面積有關的平面圖形的幾何概型, 的判斷及面積的計算，基本方法是數形結合 2. 解題時可根據題意構造兩個變量， 圖形，以便求解 【對點訓練】 解題的關鍵是對所求的事件 A構成的平面區(qū)域形狀 把變量看成點的坐標， 找
7、到全部試驗結果構成的平面 1 如圖，將半徑為 1 的圓分成相等的四段弧， 再將四段弧圍成星形放在圓內 （陰影部分）現 在往圓內任投一點，此點落在星形區(qū)域內的概率為 （4 A. 1 n 1 B. n 1 C. 1 n 答案A D 冗 6 n 4_ n ,又因為圓的面積等于 n X12= n，因此所求的概率等于 - =1. n n 2. 從區(qū)間0 , 1隨機抽取 2n個數X1, X2,xn, y1, y2,y，構成n個數對（X1, y, 答案C解析順次連接星形的四個頂點, 則星形區(qū)域的面積等于 （X2, y2），（Xn, yn），其中兩數的平方和小1 的數對共有 m個，則用隨機模擬的方法得到 的圓
8、周率 n的近似值為（ 4n A. - B m ) 2n m 4m n 2m n (2)24 3 3. 7 解析如圖，數對（Xi, y）（i = 1, 2,，n）表示的點落在邊長為 1 的正方形OAB（內 （包 括邊界），兩數的平方和小于 1 的數對表示的點落在半徑為 1 的四分之一圓（陰影部分）內由幾 S fn RR S扇形 4 n m n m ( P= S = R1 2 = ，又 P= n，所以 =n 故 SE方形 R 4 n 4 n 1 6. 【例 5】有一底面半徑為 1、高為 2 的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內 何概型的概率計算公式知 4m n . 8 考點三、與體積有
9、關的幾何概型 【例 4】如圖，在長方體 ABCD- ABGD中，有一動點在此長方體內隨機運動，則此動點在 三棱錐A ABD內的概率為 1 答案6 故點P到點O的距離大于 1 的概率P= 1 3=|.2n 由幾何概型，得 V半球 P1=V柱 X13 * n XI X2 1 解 因為 1 1 1 VA A.BD= VA A1BD V長方體 3 3. 9 【類題通法】 對于與體積有關的幾何概型問題， 關鍵是計算問題的總體積 （總空間）以及事件的體積（事件 空間），對于某些較復雜的也可利用其對立事件求解. 【對點訓練】 1.一只蜜蜂在一個棱長為 3 的正方體內自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方
10、 體 6 個表面的距離均大于 1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為 （ ） 1 A. 8 1 B . 6 C 1 .27 3 D .8 答案 C 解析 由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心， 且棱長為 1 的小 一 1 正方體內這個小正方體的體積為 1,大正方體的體積為 27,故安全飛行的概率為 P27. 2.在棱長為 2 的正方體 ABCDABCD中，點O為底面 ABCD勺中心，在正方體 ABCDABCD 內隨機取一點P,則點P到點0的距離大于 1 的概率為（ ） n n C. 6 D. 1 - 6 答案B 解析設“點P到點O的距離大于 1”為事件A 則事件A發(fā)生時，點P位于以點O為球心，以 1 為半徑的半球的外部. 1 3 V正方體=2 = 8, 4 V半球=3 n 71 2 - 3 n HA* = 23 =1 - 12 A. n 12 10 A. 2 答案C 2 2 a -4b 0,即(a+ 2b)( a- 2b)0,. a- 2b0.作出 0w bw 1,的可行域（如陰影部分所示），易得該函數無零點的概率 P a- 2b0 隨機取一點P,則點P到點0的距離大于 1 的概率為（ ） 1 2 3 A. 3 B - 3 C - 4 D 答案B 解析設點P到點O的距離小于等于 1 的概率為P1,
2019高考數學考點突破——概率：幾何概型學案
