全國通用高考數(shù)學 二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題20 概率含解析

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1、 【走向高考】（全國通用）20xx高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題20 概率（含解析） 一、選擇題 1．(文)(20xx·廣東文，7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有1件次品的概率為(　　) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 [答案]　B [解析]　5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，有10種，分別是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6種，分別

2、是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，設事件A＝“恰有一件次品”，則P(A)＝＝0.6，故選B． (理)(20xx·太原市一模)某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中抽取一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　記甲、乙各摸一次得的編號為(x，y)，則共有36個不同的結果，其中甲、乙摸出球的編號相同的結果有6個，故所求概率P＝1－＝. [方法點撥]　1.用古典概型概率計算公式P＝求

3、概率，必須先判斷事件的等可能性． 2．當某事件含有的基本事件情況比較復雜，分類較多時，可考慮用對立事件概率公式求解． 3．要熟練掌握列舉基本事件的方法，當古典概型與其他知識結合在一起考查時，要先依據(jù)其他知識點的要求求出所有可能的事件及基本事件數(shù)，再計算． 2．(文)若不等式組表示的平面區(qū)域為M，x2＋y2≤1所表示的平面區(qū)域為N，現(xiàn)隨機向區(qū)域M內拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [答案]　A [解析]　如圖，不等式組表示的平面區(qū)域M為△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S△OAB＝3， 區(qū)域N在M中的部分面積為，∴所求概

4、率P＝＝. (理)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　∵S陰＝2(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2， S正方形＝e2，∴P＝. [方法點撥]　1.當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解； 2．利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的測度的計算，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域． 3．幾何概型與其他知識結合命題，應先依據(jù)所給條件轉化為幾何概型，求出區(qū)域的幾何測度，再代入公

5、式求解． 3．(文)在長為10cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積小于24cm2的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　D [解析]　設線段AC的長為xcm，其中0<x<10，則線段CB的長為(10－x)cm，那么矩形的面積為x(10－x)cm2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故該矩形面積小于24cm2的概率為＝，故選D． (理)在區(qū)間[1,6]上隨機取一實數(shù)x，使得2x∈

6、[2,4]的概率為(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [答案]　B [解析]　由2x∈[2,4]知1≤x≤2， ∴P(2x∈[2,4])＝＝. 4．(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，則甲、乙都不在兩端的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　甲、乙、丙、丁四人站成一排有24種情形， 其中甲、乙都不在兩邊有4種情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙． 因此所求概率為P＝＝. (理)在某地的奧運火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3，…，18的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為(　

7、　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　設選出的三人編號為a－3，a，a＋3，則，∴4≤a≤15，共12種，從18人中選3人有C種選法，∴P＝＝. 5．(文)扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°.點C、D、E將弧AB等分成四份．連接OC、OD、OE，從圖中所有的扇形中隨機取出一個，面積恰為的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　所有的扇形共10個，其中面積為的扇形共有3個，故所求概率為P＝. (理)(20xx·太原二模)已知實數(shù)a，b滿足x1，x2是關于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的兩個實根，

8、則不等式0<x1<1<x2成立的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　設f(x)＝x2－2x＋b－a＋3， ∵方程f(x)＝0的兩實根x1，x2滿足0<x1<1<x2， ∴∴ 作出表示的平面為正方形OABC，其中滿足的部分如圖中陰影部分所示，陰影部分的面積S1＝×2×2－×1×1＝，正方形的面積S＝4×4＝16，故所求概率P＝＝. [易錯分析]　本題易發(fā)生兩個錯誤：一是不能對方程x2－2x＋b－a＋3＝0的兩根x1，x2滿足0<x1<1<x

9、2正確地進行轉化；二是無法合理地求解幾何概型的測度．事實上，對于幾何概型的問題，關鍵是對測度的正確求解．糾錯的方法有：①加強對幾何概型測度的理解與求解；②平時注意積累解決幾何概型的方法，如長度法、面積法、體積法等． 6．(文)一個正方體玩具，其各面標有數(shù)字－3、－2、－1、0、1、2，隨機投擲一次，將其向上一面的數(shù)字記作m，則函數(shù)f(x)＝x3＋mx在(－∞，－)上單調的概率為(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　f ′(x)＝3x2＋m，當m≥0時，f ′(x)≥0，f(x)單調遞增；當m<0時，令f ′(x)＝0得，x＝±， ∴f(x)

10、在(－∞，－)上單調增加， ∵<<，∴－<－<－， ∴當m＝－1時，f(x)在(－∞，－)上單調遞增， ∴所求概率P＝＝. (理)(20xx·東北三省三校一模)一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a、b、c，當且僅當a > b，b < c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　解法1：任取3個數(shù)，共能構成24個三位數(shù)，A＝“該數(shù)為凹數(shù)”，則A＝{213,214,312,314,41

11、2,412,324,423}共包括8個基本事件， ∴P(A)＝＝. 解法2：從4個不同數(shù)中任取3個，這3個數(shù)字共組成6個不同三位數(shù)，其中凹數(shù)有2個，∴P＝＝. 7．有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： [10.5,14.5)　　2　　[14.5,18.5)　　4 [18.5,22.5)　　9　　[22.5,26.5)　　18 [26.5,30.5)　　11　 [30.5,34.5)　　12 [34.5,38.5)　　8　　[38.5,42.5)　　2 根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內的概率約是(　　) A． B． C． D．

12、[答案]　B [解析]　由已知可得，[30.5,42.5)的數(shù)據(jù)共有22個，所以數(shù)據(jù)落在[30.5,42.5)內的概率約是＝，選B． 8．(文)(20xx·陜西理，6)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． [答案]　C [解析]　如圖，基本事件共有C＝10個，小于正方形邊長的事件有OA，OB，OC，OD共4個， ∴P＝1－＝. (理)從－＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個，則此方程是焦點在x軸上的雙曲線方程的概率

13、為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　當m，n∈{－1,2,3}時，－＝1所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)共有7個，(m，n)的取值分別為(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦點在x軸上的雙曲線方程有4個，(m，n)的取值分別為(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率為，選B． 二、填空題 9．(文)在三棱錐的六條棱中任選兩條，則這兩條棱所在直線為異面直線的概率是________． [答案]　 [解析]　從六條棱中任選兩條有15種可能，其中構成異面直線的有3種情況，故

14、所求概率為P＝＝. (理)從正方體六個面的對角線中任取兩條，這兩條直線成60°角的概率為________． [答案]　 [解析]　六個面的對角線共有12條，從中任取兩條共有C＝66種不同的取法． 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面對角線AC成60°角的面對角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8條，同理與DB成60°角的面對角線也有8條，因此一個面上的對角線與其他四個相鄰面上的對角線成60°角的情形共有16對，故6個面共有16×6＝96對，因為每對被計算了2次，因此共有×96＝48對，

15、∴所求概率P＝＝. [方法點撥]　解答概率與其他知識交匯的問題，要通過審題，將所要解決的問題轉化為相應的概率模型，然后按相應公式計算概率，轉化時要特別注意保持等價． 10．(文)若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是________． [答案]　 [解析]　考查了幾何概型． 總面積2×1＝2. 半圓面積×π×12＝.∴p＝＝. (理)(20xx·呼和浩特第二次調研)在區(qū)間(0，)上任取一個數(shù)x，使得tanx<∫0cosxdx成立的概率是________． [

16、答案]　 [解析]　求出定積分后結合三角函數(shù)的圖象解不等式．因為∫0cosxdx＝sinx|0＝1，所以原不等式即為tanx<1，x∈(0，)，解得0<x<，故所求概率為＝. [易錯分析]　考生不能正確計算定積分，或者不能正確解簡單的三角不等式，都會導致幾何概型計算錯誤，所以幾何概型問題，正確運算是關鍵． 三、解答題 11．(文)(20xx·太原市一模)為了考查某廠2000名工人的生產(chǎn)技能情況，隨機抽查了該廠a名工人某天的產(chǎn)量(單位：件)，整理后得到如下的頻率分布直方圖(產(chǎn)量的分組區(qū)間分別為[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[3

17、0,35])，其中產(chǎn)量在[20,25)的工人有6名． (1)求這一天產(chǎn)量不小于25的工人人數(shù)； (2)工廠規(guī)定從產(chǎn)量低于20件的工人中選取2名工人進行培訓，求這2名工人不在同一分組的概率． [解析]　(1)由題意得，產(chǎn)量為[20,25)的頻率為0.06×5＝0.3， ∴n＝＝20， ∴這一天產(chǎn)量不小于25的工人人數(shù)為(0.05＋0.03)×5×20＝8. (2)由題意得，產(chǎn)量在[10,15)的工人人數(shù)為20×0.02×5＝2，記他們分別是A，B，產(chǎn)量在[15,20)的工人人數(shù)為20×0.04×5＝4，記他們?yōu)?/p>

18、a，b，c，d， 則從產(chǎn)量低于20件的工人中選取2位工人的結果為：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15種不同的結果， 其中2位工人不在同一分組的結果為(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共有8種， ∴所求概率為P＝. (理)某電視臺舉辦“青工技能大賽”，比賽共設三關，第一、二關各有兩個問題，兩個問題全解決方可進入下一關，第三關有三個問題，只要解決其中的兩個問題，則闖關成功．每過一關

19、可依次獲得100分、300分、500分的積分．小明對三關中每個問題正確解決的概率依次為、、，且每個問題正確解決與否相互獨立． (1)求小明通過第一關但未過第二關的概率； (2)用X表示小明的最后積分，求X的分布列和期望． [解析]　(1)設事件A＝“小明通過第一關但未過第二關”，第一關第i個問題正確解決為事件Ai(i＝1,2)， 第二關第i個問題正確解決為事件Bi(i＝1,2)，則 P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝. 又∵A＝A1·A2·(·＋B1·＋·B2)， ∴P(A)＝P(A1)·P(A2)

20、83;(1－P(B1)·P(B2)) ＝()2×[1－()2]＝. (2)X∈{0,100,400,900}． P(X＝0)＝1－()2＝，P(X＝100)＝. P(X＝400)＝()2×()2×[()2＋C××()2]＝， P(X＝900)＝1－－－＝. ∴X的分布列為 X 0 100 400 900 P E(X)＝0×＋100×＋400×＋900×＝. 12．(文)(20xx·河南商丘市二模)某校團委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利

21、用周末時間進行了一次社會實踐活動，且每個小組有5名同學，在實踐活動結束后，學校團委會對該班的所有同學都進行了測評，該班的A，B兩個小組所有同學所得分數(shù)(百分制)的莖葉圖如右圖所示，其中B組一同學的分數(shù)已被污損，但知道B組學生的平均分比A組學生的平均分高1分． (1)若在B組學生中隨機挑選1人，求其得分超過85分的概率； (2)現(xiàn)從A組這5名學生中隨機抽取2名同學，設其分數(shù)分別為m，n，求|m－n|≤8的概率． [解析]　(1)A組學生的平均分為＝85(分)， ∴B組學生平均分為86分，設被污損的分數(shù)為x，由＝86， ∴x＝88， 故B組學生的分數(shù)分別為93,91,88,83,7

22、5， 則在B組學生隨機選1人所得分超過85分的概率P＝. (2)A組學生的分數(shù)分別是94,88,86,80,77， 在A組學生中隨機抽取2名同學，其分數(shù)組成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10個， 隨機抽取2名同學的分數(shù)m，n滿足|m－n|≤8的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6個． 故學生得分m，n滿足|m－n|≤8的概率P＝＝. (理)(20xx·河北

23、衡水中學一模)已知關于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)若a，b分別表示將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次時第一次、第二次正面朝上出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率； (2)設點(a，b)是區(qū)域內的隨機點，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． [解析]　(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝. 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當且僅當a>0且≤1，即2b≤a. 基本事件共有36個； 所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6

24、,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)． 所求事件包含基本事件的個數(shù)是9 ∴所求事件的概率為P＝＝. (2)由(1)知當且僅當2b≤ a且a>0時，函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)． 依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為，表示的三角形OAB，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，構成所求事件的區(qū)域為三角形OAC部分． 由得交點C坐標為. 故所求事件的概率為P＝＝. 13．(文)(20xx·石家莊市一模)某商店計劃每天購進某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲利潤50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件

25、商品虧損10元，若供不應求，則從外部調劑，此時每件調劑商品可獲利潤30元． (1)若商店一天購進該商品10件，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：件，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表： 日需求量 8 9 10 11 12 頻數(shù) 9 11 15 10 5 若商店一天購進10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當天的利潤在區(qū)間[400,500]的概率． [解析]　(1)當日需求量n≥10時， 利潤為y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200

26、； 當日需求量n<10時，利潤為y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100 所以，y關于日需求量n函數(shù)關系式為： y＝. (2)50天內有9天獲得的利潤380元，有11天獲得的利潤為440元，有15天獲得利潤為500元，有10天獲得的利潤為530元，有5天獲得的利潤為560元． 若利潤在區(qū)間[400,550]時，日需求量為9件、10件、11件該商品，其對應的頻數(shù)分別為11天、15天、10天． 則利潤區(qū)間[400,550]的概率為： p＝＝. (理)(20xx·東北三省四市聯(lián)考)太陽島公園引進了兩種植物品種甲與乙，株數(shù)分別為18與12，這

27、30株植物的株高編寫成莖葉圖如圖所示(單位：cm)， 甲 乙 9　8　6　6　5 16 2 9　7　6　5　4　2 17 3　7 7　7　4　3　2 18 1　5　7　8 2　0 19 1　5　7 20 1　7 若這兩種植物株高在185cm以上(包括185cm)定義為“優(yōu)秀品種”，株高在185cm以下(不包括185cm)定義為“非優(yōu)秀品種”． (1)求乙品種的中位數(shù)； (2)在以上30株植物中，如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀品種”和“非優(yōu)秀品種”中抽取5株，再從這5株中選2株，那么至少有一株是“優(yōu)秀品種”的概率是多少？ (3)若從所有“優(yōu)秀品種

28、”中選3株，用X表示3株中含甲類“優(yōu)秀品種”的株數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學期望． [解析]　(1)乙的中間有兩個數(shù)187和188，因此乙的中位數(shù)為187.5cm. (2)根據(jù)莖葉圖知“優(yōu)秀品種”有12株，“非優(yōu)秀品種”有18株， 用分層抽樣的方法抽取，每株被抽中的概率是＝， 故樣本中“優(yōu)秀品種”有12×＝2(株)， “非優(yōu)秀品種”有18×＝3(株)． 用事件A表示“至少有一株‘優(yōu)秀品種’被選中”， 則P(A)＝1－＝1－＝， 因此從5株植物中選2株，至少有一株“優(yōu)秀品種”的概率是. (3)依題意，一共有12株“優(yōu)秀品種”，其中乙種植物有8株，甲種植

29、物有4株，則X的所有可能取值為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 因此X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 14．(文)某高中社團進行社會實踐，對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次是否開通“微博”的調查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”．通過調查分別得到如圖1所示統(tǒng)計表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖. 組數(shù) 分組 時尚族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [2

30、5,30) 120 0.6 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 0.5 第四組 [40,45) a 0.4 第五組 [45,50) 30 0.3 第六組 [50,55] 15 0.3 請完成以下問題： (1)補全頻率直方圖，并求n，a，p的值； (2)從[40,45)歲和[45,50)歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡時尚達人大賽，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊年齡在[40,45)歲的概率． [解析]　(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)

31、×5＝0.3， 所以高為＝0.06.頻率直方圖如下： 第一組的人數(shù)為＝200，頻率為0.04×5＝0.2， 所以n＝＝1000， 所以第二組的人數(shù)為1000×0.3＝300，p＝＝0.65， 第四組的頻率為0.03×5＝0.15，第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150， 所以a＝150×0.4＝60. (2)因為[40,45)歲與[45,50)歲年齡段的“時尚族”的比值為6030＝21， 所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人． 記a1、a2、a3、a4為[40,45

32、)歲中抽得的4人，b1、b2為[45,50)歲中抽得的2人，全部可能的結果有： (a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)， (a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)， (a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15個， 選取的兩名領隊都在[40,45)歲的有6種， 所以所求概率為P＝＝. (理)(20xx·湖北七市聯(lián)考)小明家訂了一份報紙，寒假期間他收集了每天報紙送達時間的數(shù)據(jù)，并繪制成頻率分布直方圖如圖所示． (1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，寫出眾數(shù)x0； (2)小明的父親上班離家的時間y在上午700至730之間，而送報人每天在x0時刻前后半小時內把報紙送達(每個時間點送達的可能性相等)． ①求小明的父親在上班離家前能收到報紙(稱為事件A)的概率； ②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數(shù)X的數(shù)學期望． [解析]　(1)x0＝700. (2)①設報紙送達時間為x，則小明父親上班前能收到報紙等價于 由圖可知，所求概率為P＝1－＝. ②X服從二項分布B(5，)，故E(X)＝5×＝(天)．