高考數(shù)學浙江理科一輪【第九章】解析幾何 第4講橢圓

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1、 精品資料 第4講 橢 圓 一、選擇題 1．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　依題意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝2a，∴c＝3， ∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴橢圓方程為＋＝1. 答案　A 2．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若

2、|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 (　　)． A. B. C. D.－2 解析　因為A，B為左、右頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c. 又因為|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2. 所以離心率e＝＝，故選B. 答案　B 3．已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈，則實數(shù)m的取值范圍是 (　　)． A. B. C.∪ D.∪ 解析　橢圓標準方程為x2＋＝1.當m>1時，e2

3、＝1－∈，解得m>；當0b>0)的兩頂點為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為(　　)

4、A. B. C. D. 解析 根據(jù)已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的橢圓的離心率為. 答案　B 6．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為 (　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　因為橢圓的離心率為，所以e＝

5、＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b，y2＝b2，y＝b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為，所以四邊形的面積為4bb＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1. 答案　D 二、填空題 7．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為________． 解析 由題意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝25－6＝4. 答案 4 8．在等差數(shù)列{an}中，

6、a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，則橢圓C：＋＝1的離心率為________． 解析　由題意，得a4＝10，設(shè)公差為d，則a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝. 答案　 9. 橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍． 解析 不妨設(shè)F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|. 答案 7 10.如圖，∠OFB＝，△ABF的面積為2－，則以O(shè)A為

7、長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個焦點的橢圓方程為________． 解析　設(shè)標準方程為＋＝1(a>b>0)， 由題可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a， ∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b. S△ABF＝|AF||BO|＝(a－c)b ＝(2b－b)b＝2－， ∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴橢圓的方程為＋＝1. 答案?。? 三、解答題 11．如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|. (1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度． 解　(1)

8、設(shè)M的坐標為(x，y)，P的坐標為(xP，yP)， 由已知得 ∵P在圓上，∴x2＋2＝25， 即C的方程為＋＝1. (2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0. ∴x1＝，x2＝. ∴線段AB的長度為|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 12．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2. (1)求橢圓C的焦距； (2)如果＝2，求橢圓

9、C的方程． 解　(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2. 所以橢圓C的焦距為4. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l(fā)的傾斜角為60，知y1<0，y2>0， 直線l的方程為y＝(x－2)． 由消去x， 整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因為＝2，所以－y1＝2y2， 即＝2，解得a＝3. 而a2－b2＝4，所以b2＝5. 故橢圓C的方程為＋＝1. 13． 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋

10、2＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)已知點P(0,1)，Q(0,2)．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T.求證：點T在橢圓C上． (1)解　由題意知，b＝＝. 因為離心率e＝＝，所以＝ ＝. 所以a＝2. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明　由題意可設(shè)M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)， 則直線PM的方程為y＝x＋1， ① 直線QN的方程為y＝x＋2. ② 法一　聯(lián)立①②解得x＝，y＝， 即T.由＋＝1，可得x＝8－4y. 因為2＋2＝ ＝＝＝＝1， 所以點T的坐標滿足

11、橢圓C的方程，即點T在橢圓C上． 法二　設(shè)T(x，y)，聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝. 因為＋＝1，所以2＋2＝1. 整理得＋＝(2y－3)2， 所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1. 所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上． 14．如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形． (1)求該橢圓的離心率和標準方程； (2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程． 解　(1) 如圖，設(shè)所求橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b

12、＞0)，右焦點為F2(c,0)． 因△AB1B2是直角三角形， 又|AB1|＝|AB2|， 故∠B1AB2為直角， 因此|OA|＝|OB2|，得b＝. 結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2， 故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝. 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2， 故S△AB1B2＝|B1B2||OA|＝|OB2||OA|＝b＝b2.由題設(shè)條件S△AB1B2＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標準方程為：＋＝1. (2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根， 因此y1＋y2＝，y1y2＝－， 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)， 所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝－－＋16＝－， 由PB2⊥QB2，得＝0， 即16m2－64＝0，解得m＝2. 所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.