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1、【高考A計劃】2014高考數學第一輪復習 第59課時 直線與平面
垂直學案新人教A版
課題一：直線與平面垂直
一.復習目標：
1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理，并能運用它們進行論證和解決有
關的問題；2,會用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直，并會規(guī)范地寫出解題過程。
2 .知識要點：
1 .直線與平面垂直的判定定理是 ;
性質定理是;
2 .三垂線定理是;
三垂線定理的逆定理是 ;
3 .證明直線和平面垂直的常用方法有：
3 .課前預習：
1 .若a,b,c表示直線，ct表示平面，下列條件中，能使 a_Lc（的是 （ D ）
（A） a _b,a -
2、c,b 二："c 二：［ （B） a _b,b〃二
（C） aCb = A,b 二吃a _ b （D） a〃b,b 一
2 .已知l與m是兩條不同的直線，若直線 l _L平面口 ,①若直線ml l ,則m//a ；②若
m_La ,則m〃l ；③若mua ,則m_Ll ；④m〃l ,則m_La。上述判斷正確的是
（B ）
（A）①②③ （B）②③④ （C）①③④ （D）②④
3 .在直四棱柱ABCD - A1BC1D1中，當底面四邊形ABCD滿足條件AC L BD 時，
有AC -LB1D1 （注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）
4 .設三棱錐P-ABC
3、的頂點P在平面ABC上的射影是H ,給出以下命題：
①若PA _L BC , PB _L AC ,則H是MBC的垂心
②若PA, PB, PC兩兩互相垂直，則 H是AABC的垂心
③若/ABC=90\ H是AC的中點，則PA = PB = PC
④若PA = PB = PC ,則H是AABC的外心
其中正確命題的命題是 —①②③④
4 .例題分析：
,、2
例1.四面體ABCD中，AC =BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF = —AC ,
2
/BDC =90，求證：BD _L平面 ACD
證明：取CD的中點G ,連結EG,FG，; E,F分別為AD, BC的
4、中點，，EG //1 AC
2
FG//1BD ,又 AC 幻 ，，FG =1 AC , .??在 &EFG 中，EG2 + FG2 =1 AC2 = EF 2 2 2 2
EG _LFG , ? . BD_LAC,又/BDC =90,即 BD _L CD , AC^CD=C
BD _L平面 ACD
例2 .如圖P是AABC所在平面外一點， PA = PB,CB，平面PAB , M是PC的中點,
N是AB上的點，AN=3NB
(1)求證：MN _L AB; (2)當 NAPB =901，AB = 2BC = 4時，求 MN 的長。
(1)證明：取PA的中點Q,連結MQ,NQ ,
5、 .? M是PC的中點，
? . MQ // BC，: CB，平面 PAB ,， MQ _L 平面 PAB
QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D ,連結C
PD , PA = PB, PD _L AB ,又 AN =3NB , BN = ND
QN // PD，.二 QN .L AB ,由三垂線定理得 MN _L AB
(2) ??? /APB =90，, PA = PB, PD =AB = 2, QN = 1 , 「MQ _L 平面 PAB
2
1 —
MQ _L NQ ,且 MQ =—BC =1,，MN =V2
2
例 3.如圖，直三棱柱 ABC—AB1c
6、l 中，/ACB =90，AC =1,CB = J2,側棱 AA1 =1 ,
側面AA1B1B的兩條對角線交于點 D, B1cl的中點為M ,求證：CD_L平面BDM
ABC — A1B1cl 中
BDM
證明：連結 AC，: /ACB =90，BC _L AC ,在直三棱柱 CC1 .L AC , AC _L平面 CB1 , ??? AA1 =1 , AC =1
AC = J2，AC =BC , D 是側面 AAB〔B 的兩條對角
線的交點，，D是A1B與ABaq中點，??. CD_LBD,連結 B〔C ,取B1C的中點O ,連結DO ,則DO//AC ,
??? AC _L平
7、面 CB1 , DO _L平面 CB1，.二 CO 是 CD 在 平面B1C內的射影。在 ABBQ中，tan/BB1c =4i B 在 ABB1M 中，tan/BMB1=拒，.. /BB1C =/BMB1
? ? B1c IBM , CD _L BM ,BM □ BD = B , CD -L平面
D五.課后作業(yè)： 班級 學號 姓名
1 .下列關于直線l,m與平面a, P的命題中，真命題是 ( )
(A)若 1=日且口_1日，則 l_La (B)若 l_LP 且 a//P,則 l_La
(C)若 l _L P 且a _L P ,則 l //“ (D)a 八日=m 且l 〃m ,則 l
8、 〃口
2 .已知直線a、b和平面M N,且a _L M ,那么 ( )
(A) b II M=^ ba
(C) NlM- a// N
3.在正方體 ABCD — ABC1D1中，點
AP 1 BD1 ,則動點P的軌跡為
(A)線段BiC
(C)BBi的中點與CCi的中點連成的線段
(8) b，a= b // M
(D) a 二 N 二 M N =
P在側面BCCiBi及其邊界上運動，并且保持
(A )
(B)線段BCi
(D)BC的中點與BiCi的中點連成的線段
4
4 .三條不同的直線， u、p、為三個不同的平面
①若豆_LP, P_L工則口"P ②
9、若a _Lb,b _Lc,則a// c或a _L c .
③若 a u a,b、c u P,a _Lb, a J_c,則 a _L P ④若 a J_a,b c P,a // b,則u_lP 上面四個命題中真命題的個數是
5 .如圖，PA_L矩形ABCD所在的平面，M,N分別是AB,PC的中點,
(i)求證：MN 〃平面PAD;
(2)求證：MN - CD
Ji
(3)若 /PDA =一，求證:
4
MN _L 平面 PCD
6 . ABCD是矩形，AB =a, BC =b(a >b),沿對角線 AC 把 AADC 折起，使 AD _L BC , (1)求證：BD是異面直線 AD與BC的公垂線；(2)求BD的長。
7 .如圖，已知SA, SB, SC是由一點S引出的不共面的三條射線， .ASC =/ASB =450,. BSC =601 . SAB=90，求證：AB _ SC
8 .矩形 ABCD 中，AB =1,BC =a(a >0) , PA_L平面 AC ,且 PA = 1, BC邊上存在 點Q ,使得PQ _L QD ,求a的取值范圍。
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