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1、新編數學北師大版精品資料§3條件概率與獨立事件 條件概率100件產品中有93件產品的長度合格，90件產品的質量合格，85件產品的長度、質量都合格令A產品的長度合格，B產品的質量合格，AB產品的長度、質量都合格問題1：試求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).問題2：任取一件產品，已知其質量合格(即B發(fā)生)，求它的長度(即A發(fā)生)也合格概率提示：若用A|B表示上述事件，則A|B發(fā)生相當于從90件產品中任取1件長度合格，其概率為P(A|B).問題3：如何理解問題2?提示：在質量合格的情況下，長度又合格，即事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生問題4：試探求P(B)，P
2、(AB)，P(A|B)間的關系提示：P(A|B).條件概率(1)概念事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)(2)公式P(A|B)(其中，AB也可記成AB)(3)當P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A).獨立事件有這樣一項活動：甲箱里裝有3個白球，2個黑球，乙箱里裝有2個白球，2個黑球，從這兩個箱子里分別摸出1個球，記事件A從甲箱里摸出白球，B從乙箱里摸出白球問題1：事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？提示：不影響問題2：試求P(A)，P(B)，P(AB)提示：P(A)，P(B)，P(AB).問題3：P(AB)與P(A)，P(B)有
3、什么關系？提示：P(AB)P(A)·P(B)×.問題4：P(B|A)與P(B)相等嗎？提示：相等，由P(B|A)，可得P(B|A)P(B)獨立事件(1)概念：對兩個事件A，B，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立(2)推廣：若A與B相互獨立，則A與，與B，與也相互獨立(3)拓展：若A1，A2，An相互獨立，則有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1由條件概率的定義知，P(B|A)與P(A|B)是不同的；另外，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率為P(B|A)，其值不一定等于P(B)2事件A與B相互獨立就是事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，事件B
4、的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率 條件概率例1盒中裝有5個產品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產品，每次取1個求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率，(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率思路點撥由于是不放回地從中取產品，所以第二次抽取受到第一次的影響，因而是條件概率，應用條件概率中的乘法公式求解精解詳析記Ai為第i次取到一等品，其中i1,2.(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率，P(A1A2)P(A1)·P(A2|A1)×.(2)取兩次，第二次取得一等品，則第一次有可能取到一等品，也可能取到二
5、等品，則P(A2)P(A2)P(A1A2)××.(3)取兩次，已知第二次取得一等品，則第一次取得二等品的概率為P(|A2).一點通求條件概率一般有兩種方法：一是對于古典概型類題目，可采用縮減基本事件總數的辦法來計算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件個數，n(A)表示事件A包含的基本事件個數二是直接根據定義計算，P(B|A)，特別要注意P(AB)的求法1拋擲一枚質地均勻的骰子所出現的點數的所有可能結果為1,2,3,4,5,6，記事件A2,3,5，B1,2,4,5,6，則P(A|B)()A.B.C. D.解析：P(B)，P(AB)，P(A|B).答案：C2
6、已知P(A|B)，P(B)，則P(AB)_.解析：P(A|B)，P(AB)P(A|B)P(B)×.答案：3甲、乙兩地都位于長江下游，根據一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨的比例為12%，問：(1)乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是多少？解：設“甲地為雨天”為事件A，“乙地為雨天”為事件B，由題意，得P(A)0.20，P(B)0.18，P(AB)0.12.(1)乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是P(A|B)0.67.(2)甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是P(B|A)0.60.獨立事件的判斷例2
7、一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一個家庭中既有男孩又有女孩，B一個家庭中最多有一個女孩，對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩；(2)家庭中有三個小孩思路點撥先寫出家庭中有兩個小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分別求出A，B所含的基本事件數，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型來求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)精解詳析(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個基本事件，由等可能性知每個基本事件的概率
8、都為.A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，P(A)，P(B)，P(AB).P(A)P(B)P(AB)事件A，B不相互獨立(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，由等可能性知這8個基本事件的概率均為，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，顯然有P(AB)P(A)P(B)成立，從而事件A與B是相互獨立的一點通(1)利用相互獨立事件的定
9、義(即P(AB)P(A)·P(B)可以準確地判定兩個事件是否相互獨立，這是用定量計算方法判斷，因此我們必須熟練掌握(2)判別兩個事件是否為相互獨立事件也可以從定性的角度進行分析，也就是看一個事件的發(fā)生對另一個事件的發(fā)生是否有影響沒有影響就是相互獨立事件；有影響就不是相互獨立事件4若A與B相互獨立，則下面不是相互獨立事件的是()AA與 BA與C.與B D.與解析：當A，B相互獨立時，A與，與B以及與都是相互獨立的，而A與是對立事件，不相互獨立答案：A5從一副撲克牌(52張)中任抽一張，設A“抽得老K”，B“抽得紅牌”，判斷事件A與B是否相互獨立解：抽到老K的概率為P(A)，抽到紅牌的概
10、率P(B)，故P(A)P(B)×，事件AB即為“既抽得老K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃老K或方塊老K”，故P(AB)，從而有P(A)P(B)P(AB)，因此A與B互為獨立事件.獨立事件的概率例3(10分)某田徑隊有三名短跑運動員，根據平時訓練情況統(tǒng)計甲，乙，丙三人100 m跑(互不影響)的成績在13 s內(稱為合格)的概率分別為，若對這三名短跑運動員的100 m 跑的成績進行一次檢測，則(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現幾人合格的概率最大？思路點撥若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成績合格，則事件A，B，C相互獨立精解詳析記“甲、乙、丙三人100米
11、跑成績合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨立，則P(A)，P(B)，P(C).(3分)設恰有k人合格的概率為Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C)××.(5分)(2)三人都不合格的概率：P0P()P()P()P()××.(7分)(3)恰有兩人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC)××××××.恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.結合(1)(2)可知P1最大所以出現恰有1人合格的概率最大 (10分)一點通(1)公式P(
12、AB)P(A)P(B)可以推廣到一般情形：如果事件A1，A2，An相互獨立，那么這n 個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的程序：首先確定各事件之間是相互獨立的；確定這些事件可以同時發(fā)生；求出每個事件發(fā)生的概率，再求其積6先后拋擲一枚骰子兩次，則兩次都出現奇數點的概率為_答案：7(北京高考改編)李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設各場比賽相互獨立)：場次投籃次數命中次數場次投籃次數命中次數主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場4181
13、5主場52420客場52512(1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；解：(1)根據投籃統(tǒng)計數據，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.(2)設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機選擇的一場客觀比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的
14、投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”則CAB，A，B獨立根據投籃統(tǒng)計數據，P(A)，P(B).P(C)(A)P(B)××.所以在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為.8一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：(1)第一次取出的2 個球都是白球，第二次取出的2個球都是紅球的概率；(2)第一次取出的2 個球1個是白球、1個是紅球，第二次取出的2個球都是白球的概率解：記“第一次取出的2 個球都是白球”事件為A，“第二次取出的2個球都是紅球”為事件B，“第一次取出的2個球1個是白球、1個是紅球
15、”為事件C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨立事件(1)P(AB)P(A)P(B)··.故第一次取出的2個球都是白球，第二次取出的2個球都是紅球的概率是.(2)P(CA)P(C)P(A)··.故第一次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第二次取出的2個球都是白球的概率是.1計算條件概率要明確：(1)準確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個事件是互相影響的，其結果受兩個條件的概率的制約；(2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的關系2互斥事件、對立事件
16、、相互獨立事件的區(qū)別與聯系名稱區(qū)別聯系定義事件個數互斥事件在一次試驗中不能同時發(fā)生的事件兩個或兩個以上兩事件互斥，但不一定對立；反之一定成立；兩事件獨立，則不一定互斥(或對立)；兩事件互斥(或對立)，則不相互獨立對立事件在一次試驗中不能同時發(fā)生但必有一個發(fā)生的事件兩個獨立事件一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個或兩個以上 1拋擲一顆骰子一次，A表示事件：“出現偶數點”，B表示事件：“出現3點或6點”，則事件A與B的關系是()A相互互斥事件B相互獨立事件C既相互互斥又相互獨立事件D既不互斥又不獨立事件解析：A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB)
17、5;，所以A與B是相互獨立事件答案：B2設A，B為兩個事件，若事件A和B同時發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為()A.B.C. D.解析：由題意知：P(AB)，P(B|A)，P(A).答案：B3某農業(yè)科技站對一批新水稻種子進行試驗，已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.9，在這批水稻種子中，隨機地取出一粒，則這粒水稻種子發(fā)芽能成長為幼苗的概率為()A0.02 B0.08C0.18 D0.72解析：設“這粒水稻種子發(fā)芽”為事件A，“這粒水稻種子發(fā)芽又成長為幼苗”為事件AB，“這粒種子能成長為幼苗”為事件B|A，則P(A)0.8，P(B
18、|A)0.9，由條件概率公式，得P(AB)P(B|A)·P(A)0.9×0.80.72.答案：D4從某地區(qū)的兒童中挑選體操學員，已知兒童體型合格的概率為，身體關節(jié)構造合格的概率為，從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關節(jié)構造合格與否相互之間沒有影響)()A. B.C. D.解析：設“兒童體型合格”為事件A，“身體關節(jié)構造合格”為事件B，則P(A)，P(B).又A，B相互獨立，則，也相互獨立，則P( )P()P()×，故至少有一項合格的概率為P1P( ).答案：D5有一個數學難題，在半小時內，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地
19、在半小時內解決它，則兩人都未解決的概率為_，問題得到解決的概率為_解析：甲、乙兩人都未能解決為×，問題得到解決就是至少有1 人能解決問題P1.答案：6從編號為1,2，10的10個大小相同的球中任取4個，已知選出4號球的條件下，選出球的最大號碼為6的概率為_解析：令事件A選出的4個球中含4號球，B選出的4個球中最大號碼為6，依題意可知n(A)C84，n(AB)C6，P(B|A).答案：71號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱中隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？(2
20、)從2號箱取出紅球的概率是多少？解：“最后從2號箱中取出的是紅球”為事件A，“從1號箱中取出的是紅球”為事件B.P(B)，P()1P(B)，(1)P(A|B)，(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P()××.8一張儲蓄卡的密碼共有6位數字，每位數字都可從09中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字求：(1)任意按最后一位數字，不超過2次就按對密碼的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位數字是偶數，不超過2次就按對密碼的概率解：(1)設“第i次按對密碼”為事件Ai(i1,2)，則事件AA1(1A2)表示不超過2次就按對密碼因為事件A1與1A2互斥，由概率加法公式，得P(A)P(A1)P(1A2).(2)用B表示“最后一位數字是偶數”這個事件，則A|BA1|B(1A2)|B.P(A|B)P(A1|B)P(1A2)|B).
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