2020高中數(shù)學(xué) 2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修11

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.2.2拋物線的簡單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，過點(diǎn)(－2,3)的拋物線方程是(　　) A．y2＝x B．x2＝y(tǒng) C．y2＝－x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝y(tǒng) [答案]　D [解析]　∵點(diǎn)(－2,3)在第二象限， ∴設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)， 又點(diǎn)(－2,3)在拋物線上， ∴9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝. 2．(2014山師大附中高二期中)拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好與橢圓＋

2、＝1的一個焦點(diǎn)重合，則p＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．4　　 D．8 [答案]　C [解析]　橢圓中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點(diǎn)F(－，0)與F1重合，∴－＝－2，∴p＝4，故選C. 3．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點(diǎn)(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) [答案]　B [解析]　∵圓心到直線x＋2＝0的距離等于到拋物線焦點(diǎn)的距離，∴定點(diǎn)為(2,0)． 4．拋物線y2＝4x上點(diǎn)P(a,2

3、)到焦點(diǎn)F的距離為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案]　B [解析]　∵點(diǎn)P(a,2)在拋物線上， ∴4a＝4，∴a＝1，∴點(diǎn)P(1,2)． 又拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)， ∴|PF|＝＝2. 5．P為拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，A、B、P三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|、|BB1|、|PP1|，則有(　　) A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1|>|AB| D．|PP1|<|AB| [答案]　B [解析]　如圖， 由題意可知|PP1|＝， 根據(jù)拋物線的定義，得 |AA1|＝|AF|，|B

4、B1|＝|BF|， ∴|PP1|＝＝|AB|. 6．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為(　　) A．45 B．60 C．90 D．120 [答案]　C [解析]　設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)． 如圖，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B. 又AA1∥Ox∥B1B， ∴∠A1FO＝∠AF1A，∠B1FO＝∠FB1B， ∴∠A1FB1＝∠AFB＝90. 二、填空題 7．沿直線y＝－2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2＝ax反射后，與x軸相

5、交于點(diǎn)A(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________． [答案]　x＝－2 [解析]　由拋物線的幾何性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行，及直線y＝－2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點(diǎn)，故準(zhǔn)線方程為x＝－2. 8．一個正三角形的兩個頂點(diǎn)在拋物線y2＝ax上，另一個頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，如果這個三角形的面積為36，則a＝________. [答案]　2 [解析]　設(shè)正三角形邊長為x. 由題意得，36＝x2sin60，∴x＝12. 當(dāng)a>0時，將(6，6)代入y2＝ax，得a＝2. 當(dāng)a<0時，將(－6，6)代入y2＝ax，得a＝－2，故a＝2. 三、解答題 9．已知

6、拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2，求拋物線的方程． [答案]　y2＝3x或y2＝－3x [解析]　如圖，設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由對稱性知y2＝－y1，∴y1＝.將y1＝代入x2＋y2＝4得x＝1，∴點(diǎn)(1，)、(－1，)分別在拋物線y2＝2px，y2＝－2px上．∴3＝2p或3＝(－2p)(－1)．∴p＝.故所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x. 10．已知拋物線y2＝－x與直線y＝

7、k(x＋1)相交于A，B兩點(diǎn)． (1)求證：OA⊥OB； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時，求k的值． [答案]　(1)略　(2) [解析]　(1)如圖所示，由方程組，消去x得，ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2＝－1，y1＋y2＝－. ∵A，B在拋物線y2＝－x上， ∴y＝－x1，y＝－x2，∴yy＝x1x2. ∵kOAkOB＝＝＝＝－1， ∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線與x軸交于N，顯然k≠0. 令y＝0，則x＝－1，即N(－1,0)． ∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2|

8、＝|ON||y1－y2|， ∴S△OAB＝1 ＝. ∵S△OAB＝， ∴＝， 解得k＝. 一、選擇題 1．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(　　) A.　 B．－　 C．8　　 D．－8 [答案]　B [解析]　y＝ax2?x2＝y(tǒng)，由題意得 ＝－2，a＝－，故選B. 2．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)．若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 [答案]　B [解析]　本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線定義的應(yīng)用等知識． 由于拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原

9、點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)M(2，y0)，可設(shè)方程為y2＝2px，由點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距為3，則由拋物線定義得2＋＝3，解得p＝2，則y2＝4x，又M(2，y0)在拋物線y2＝4x上，則y＝8，|OM|＝＝＝2. 3．(2014湖南省長沙一中期中考試)已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為30的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若∈(0,1)，則＝(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為(0，)，直線方程為y＝x＋，與拋物線方程聯(lián)立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p， 所以＝＝.故選C. 4．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸相交

10、于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是(　　) A．[－，] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] [答案]　C [解析]　準(zhǔn)線x＝－2，Q(－2,0)，設(shè)y＝k(x＋2)， 由，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0， 當(dāng)k＝0時，x＝0，即交點(diǎn)為(0,0)；當(dāng)k≠0時，由Δ≥0得，－1≤k<0或0

11、代入拋物線的方程，得x＝3，即xM＝3. 由拋物線的方程y2＝4x，知F(1,0)． ∴焦點(diǎn)F到AB的距離為2. 6．過點(diǎn)P(2,2)作拋物線y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，則AB所在的直線方程為______________． [答案]　3x－4y＋2＝0 [解析]　解法一：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有y＝3x1，　 ① y＝3x2，　 ② x1＋x2＝4，y1＋y2＝4.　 ③ ①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝3(x1－x2)． ④ 將③代入④得 y1－y2＝(x1－x2)，即＝，∴k＝. ∴所求弦AB所在直線方程

12、為y－2＝(x－2)，即3x－4y＋2＝0. 解法二：設(shè)弦AB所在直線方程為y＝k(x－2)＋2. 由消去x，得ky2－3y－6k＋6＝0， 此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得y1＋y2＝，又y1＋y2＝4，∴k＝. ∴所求弦AB所在直線方程為3x－4y＋2＝0. 三、解答題 7．已知拋物線x2＝4y，點(diǎn)P是此拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐 標(biāo)為(12,6)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值． [答案]　12 [解析]　將x＝12代入x2＝4y得y＝36>6， ∴點(diǎn)A在拋物線外部，拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線l：y＝－1，過點(diǎn)

13、P作PB⊥l于B，交x軸于C，如上圖所示，則|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1，要使|PA|＋|PC|最小，只需P，A，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，此時，|PA|＋|PF|＝|AF|＝13. 故|PA|＋|PC|的最小值為12. 8．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程． [答案]　y2＝4x [解析]　如圖所示，依題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， 則直線方程為y＝－x＋p. 設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋， 即x1＋＋x2＋＝8. ① 又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點(diǎn)， 由，消去y得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p.將其代入①得p＝2，∴所求拋物線方程為y2＝4x. 當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.