【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第2節(jié) 圓與方程課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第2節(jié) 圓與方程課時(shí)訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 圓的方程 2 直線與圓的位置關(guān)系 1、6、8、9、10、13、15、16 圓與圓的位置關(guān)系 3、4、14 與圓有關(guān)的最值問題 5、7、12 與圓有關(guān)的軌跡問題 11、15 一、選擇題 1.對任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是(　C　) (A)相離 (B)相切 (C)相交但直線不過圓心 (D)相交且直線過圓心 解析:直線y=kx+1恒過定點(diǎn)(0,1),且定點(diǎn)

2、(0,1)在圓x2+y2=2內(nèi), 故直線y=kx+1一定與圓相交.又圓心(0,0)不滿足方程y=kx+1, ∴直線與圓相交但不過圓心. 2.(2014合肥模擬)已知圓x2+y2-2x+my-4=0上兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線2x+y=0對稱,則圓的半徑為(　B　) (A)9 (B)3 (C)23 (D)2 解析:由題意知,圓心(1,-m2)在直線2x+y=0上, ∴2-12m=0,解得m=4; ∴圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=9,圓的半徑為3. 3.(2014青島模擬)過點(diǎn)P(2,3)向圓x2+y2=1作兩條切線PA、PB,則弦AB所在直線的方程為(　B　) (A)2x-3y

3、-1=0 (B)2x+3y-1=0 (C)3x+2y-1=0 (D)3x-2y-1=0 解析:以PO為直徑的圓(x-1)2+(y-32)2=134與圓x2+y2=1的公共弦即為所求,直線方程為2x+3y-1=0. 4.(2013高考安徽卷)直線x+2y-5+5=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為(　C　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)46 解析:直線與圓相交問題必考慮圓心到直線的距離,圓半徑及半弦長組成的直角三角形.由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圓心為(1,2),半徑為5,又圓心到直線的距離為|1+4-5+5|5=1,所以半弦長為

4、2,弦長為4.故選C. 5.(2014銀川模擬)過圓x2+y2=1上一點(diǎn)作圓的切線與x軸,y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(　C　) (A)2 (B)3 (C)2 (D)3 解析:設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0,y0),其中x0>0,y0>0,則切線方程為x0x+y0y=1.分別令x=0,y=0得A(1x0,0),B(0,1y0),則|AB|=(1x0)2+(1y0)2=1x0y0≥1x02+y022=2.當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0時(shí),等號成立. 6.(2013高考山東卷)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB的方程為(　A　) (A)2x+y-

5、3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0 解析:由圖知切點(diǎn)A(1,1),圓心坐標(biāo) C(1,0), 所以kCM=1-03-1=12. 易證CM⊥AB, 所以kAB=-2. 直線AB的方程為y-1=-2(x-1), 即2x+y-3=0. 7.(2014高考北京卷)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90,則m的最大值為(　B　) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 解析:由題意知以AB為直徑的圓與圓C有公共點(diǎn),且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+

6、m即4≤m≤6. 故選B. 8.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(　B　) (A)52 (B)102 (C)152 (D)202 解析:圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-1)2+(y-3)2=10,由圓的性質(zhì)可知最長弦AC=210,最短弦BD恰以E(0,1)為中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)F為其圓心,坐標(biāo)為(1,3). 故EF=5, ∴BD=210-(5)2=25, ∴S四邊形ABCD=12ACBD=102. 9.(2014高考福建卷)已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面區(qū)域Ω:x+y-7≤0,x-y+3≥0,y≥0.

7、若圓心C∈Ω,且圓C與x軸相切,則a2+b2的最大值為(　C　) (A)5 (B)29 (C)37 (D)49 解析:作出不等式組x+y-7≤0,x-y+3≥0,y≥0表示的平面區(qū)域Ω(如圖陰影部分所示,含邊界),圓C:(x-a)2+(y-b)2=1的圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為1.由圓C與x軸相切,得b=1.解方程組x+y-7=0,y=1,得x=6,y=1,即直線x+y-7=0與直線y=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),設(shè)此點(diǎn)為P. 又點(diǎn)C∈Ω,則當(dāng)點(diǎn)C與P重合時(shí),a取得最大值, 所以,a2+b2的最大值為62+12=37. 二、填空題 10.(2014高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系x

8、Oy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為　　　　. 解析:由題意可得,圓心為(2,-1),r=2,圓心到直線的距離d=|2-2-3|12+22=355, 所以弦長為2r2-d2=24-95=2555. 答案:2555 11.(2014 浙江省瑞安十校聯(lián)考)點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是　　　　. 解析:設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2, 又因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4上, 所以x02+y02=4, 即(2x-4)2+(

9、2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1. 答案:(x-2)2+(y+1)2=1 12.已知x,y滿足x2+y2=1,則y-2x-1的最小值為　　　　. 解析:y-2x-1表示圓上的點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率, 所以y-2x-1的最小值是當(dāng)直線PQ與圓相切時(shí)的斜率. 設(shè)直線PQ的方程為y-2=k(x-1), 即kx-y+2-k=0, 由|2-k|k2+1=1得k=34, 結(jié)合圖形可知y-2x-1≥34, ∴最小值為34. 答案:34 13.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|,其中O為坐標(biāo)

10、原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為　　　　. 解析:如圖,作平行四邊形OADB,則OA→+OB→=OD→,OA→-OB→=BA→, ∴|OD→|=|BA→|. 又|OA→|=|OB→|, ∴四邊形OADB為正方形. ∴a=2. 答案:2 14.在平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)距離為1,與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線共有 　　　　條. 解析:與點(diǎn)A距離為1的直線是以A為圓心,1為半徑的圓的切線,同理與點(diǎn)B距離為2的直線是以B為圓心,2為半徑的圓的切線,即所求直線為兩圓的公切線,由于|AB|=5,所以兩圓相交,公切線有2條. 答案:2 三、解答題 15.已知圓C:x2+(y-2)2=5,直

11、線l:mx-y+1=0. (1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn); (2)若圓C與直線相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. (1)證明:法一　直線方程與圓的方程聯(lián)立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0, ∵Δ=4m2+16(m2+1)=20m2+16>0, ∴對m∈R,直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn). 法二　直線l:mx-y+1=0恒過定點(diǎn)(0,1),且點(diǎn)(0,1)在圓C:x2+(y-2)2=5內(nèi)部, ∴對m∈R,直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn). (2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,

12、 得x1+x2=2mm2+1,∴x=mm2+1. 當(dāng)x=0時(shí)m=0,點(diǎn)M(0,1), 當(dāng)x≠0時(shí),由mx-y+1=0, 得m=y-1x, 代入x=mm2+1,得x[(y-1x)2+1]=y-1x , 化簡得x2+(y-32)2=14. 經(jīng)驗(yàn)證(0,1)也符合, ∴弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-32)2=14. 16.已知直線l:mx-(m2+1)y=4m(m∈R)和圓C:x2+y2-8x+4y+16=0,是否存在實(shí)數(shù)m,使得直線l將圓C分割成弧長的比值為12的兩段圓弧,若存在,求出m的值;若不存在,說明理由. 解:直線l的方程可化為y=mm2+1x-4mm2+1,此時(shí)l的斜率k=mm2+1,因?yàn)閨m|≤12(m2+1), 所以|k|=|m||m2+1|≤12,當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時(shí)等號成立,所以斜率k的取值范圍是[-12,12]. 又y=mm2+1(x-4), 即l的方程為y=k(x-4), 其中|k|≤12,圓C的圓心為C(4,-2),半徑r=2; 圓心C到直線l的距離d=21+k2, 由|k|≤12,得2>d≥45>1, 即r>d>r2, 從而l與圓C相交,且直線l截圓C所得的弦所對的圓心角小于2π3, 所以l不能將圓C分割成弧長的比值為12的兩段弧.