人教版 高中數(shù)學選修23 2.3.1離散型隨機變量的均值教案

上傳人:仙*** 文檔編號:41728258 上傳時間:2021-11-23 格式:DOC 頁數(shù):10 大?。?18.50KB
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1、人教版高中數(shù)學精品資料 2.3.1離散型隨機變量的均值 教學目標: 知識與技能:了解離散型隨機變量的均值或期望的意義,會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望. 過程與方法:理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”,以及“若ξB(n,p),則Eξ=np”.能熟 練地應用它們求相應的離散型隨機變量的均值或期望。 情感、態(tài)度與價值觀:承前啟后,感悟數(shù)學與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文 價值。 教學重點:離散型隨機變量的均值或期望的概念 教學難點:根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值或期望 授課類型:新授課 課時安排:2課時 教 具:多媒體、實物投影儀

2、 教學過程: 一、復習引入: 1.隨機變量:如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示 2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量 3.連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值,可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量 4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果;但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出,而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出 若是隨機變量,是常

3、數(shù),則也是隨機變量 并且不改變其屬性(離散型、連續(xù)型) 5. 分布列:設(shè)離散型隨機變量ξ可能取得值為x1,x2,…,x3,…, ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率為,則稱表 ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量ξ的概率分布,簡稱ξ的分布列 6. 分布列的兩個性質(zhì): ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1. 7.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機變量.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中

4、這個事件恰好發(fā)生k次的概率是 ,(k=0,1,2,…,n,). 于是得到隨機變量ξ的概率分布如下: ξ 0 1 … k … n P … … 稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布,記作ξ~B(n,p),其中n,p為參數(shù),并記=b(k;n,p). 8. 離散型隨機變量的幾何分布:在獨立重復試驗中,某事件第一次發(fā)生時,所作試驗的次數(shù)ξ也是一個正整數(shù)的離散型隨機變量.“”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為,P()=p,P()=q(q=1-p),那么 (k=0,1,2,…, ).于是得到隨機變量ξ的概率分布如

5、下: ξ 1 2 3 … k … P … … 稱這樣的隨機變量ξ服從幾何分布 記作g(k,p)= ,其中k=0,1,2,…, . 二、講解新課: 根據(jù)已知隨機變量的分布列,我們可以方便的得出隨機變量的某些制定的概率,但分布列的用途遠不止于此,例如:已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射擊之前,可以根據(jù)這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要學習的離散型隨機變量的均值或期望 根據(jù)射手射擊所得

6、環(huán)數(shù)ξ的分布列, 我們可以估計,在n次射擊中,預計大約有     次得4環(huán);     次得5環(huán); …………   次得10環(huán). 故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為 , 從而,預計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為 . 這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的,只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應的概率有關(guān)的常數(shù),它反映了射手射擊的平均水平. 對于任一射手,若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列,即已知各個(i=0,1,2,…,10),我們可以同樣預計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù): …. 1. 均值或數(shù)學期望: 一般地,若離散型隨機變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p

7、1 p2 … pn … 則稱 …… 為ξ的均值或數(shù)學期望,簡稱期望.   2. 均值或數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù),它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 3. 平均數(shù)、均值:一般地,在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中,令…,則有…,…,所以ξ的數(shù)學期望又稱為平均數(shù)、均值 4. 均值或期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù)),ξ是隨機變量,則η也是隨機變量,它們的分布列為 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是…… =……)……) =, 由此,我們得到了

8、期望的一個性質(zhì): 5.若ξB(n,p),則Eξ=np 證明如下: ∵ , ∴ 0×+1×+2×+…+k×+…+n×. 又∵ , ∴ ++…++…+. 故  若ξ~B(n,p),則np. 三、講解范例: 例1. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分,已知他命中的概率為0.7,求他罰球一次得分的期望 解:因為, 所以 例2. 一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成,每個選擇題有4個選項,其中有且僅有一個選項是正確答案,每題選擇正確答案得5分,不作出選擇或選錯不得分,滿分100分 學生甲選對任一題的概率為0.9

9、,學生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個,求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望 解:設(shè)學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是,則~ B(20,0.9),, 由于答對每題得5分,學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5 所以,他們在測驗中的成績的期望分別是: 例3. 根據(jù)氣象預報,某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0. 01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備,遇到大洪水時要損失60 000元,遇到小洪水時要損失10000元.為保護設(shè)備,有以下3 種方案: 方案1:運走設(shè)備,搬運費為3 800 元. 方案2:建保護圍墻,

10、建設(shè)費為2 000 元.但圍墻只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不發(fā)生洪水. 試比較哪一種方案好. 解:用X1 、X2和X3分別表示三種方案的損失. 采用第1種方案,無論有無洪水,都損失3 800 元,即 X1 = 3 800 . 采用第2 種方案,遇到大洪水時,損失2 000 + 60 000=62 000 元;沒有大洪水時,損失2 000 元,即 同樣,采用第 3 種方案,有 于是, EX1=3 800 , EX2=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 6200

11、0×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . 采取方案2的平均損失最小,所以可以選擇方案2 . 值得注意的是,上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地,我們可以這樣來理解“平均損失”:假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生,那么采用方案 2 將會使損失減到最小.由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都

12、是隨機的,所以對于個別的一次決策,采用方案 2 也不一定是最好的. 例4.隨機拋擲一枚骰子,求所得骰子點數(shù)的期望 解:∵, =3.5 例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品,其次品率是15%,對這批產(chǎn)品進行抽查,每次抽取1件,如果抽出次品,則抽查終止,否則繼續(xù)抽查,直到抽出次品為止,但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望(結(jié)果保留三個有效數(shù)字) 解:抽查次數(shù)取110的整數(shù),從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗可以認為是彼此獨立的,取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第次(=1,2,…,10)取出次品的概率: (=1,2,…,10) 需要抽查10次即前9次取出

13、的都是正品的概率:由此可得的概率分布如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316 根據(jù)以上的概率分布,可得的期望 例6.隨機的拋擲一個骰子,求所得骰子的點數(shù)ξ的數(shù)學期望. 解:拋擲骰子所得點數(shù)ξ的概率分布為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 所以 1×+2×+3×+4×+5×+6× =(1+

14、2+3+4+5+6)×=3.5. 拋擲骰子所得點數(shù)ξ的數(shù)學期望,就是ξ的所有可能取值的平均值. 例7.某城市出租汽車的起步價為10元,行駛路程不超出4km時租車費為10元,若行駛路程超出4km,則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計).從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km.某司機經(jīng)常駕車在機場與此賓館之間接送旅客,由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定,每停車5分鐘按lkm路程計費),這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量.設(shè)他所收租車費為η (Ⅰ)求租車費η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式; (Ⅱ)若隨機變量ξ的分布列為

15、 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租車費η的數(shù)學期望. (Ⅲ)已知某旅客實付租車費38元,而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘? 解:(Ⅰ)依題意得 η=2(ξ-4)十10,即 η=2ξ+2; (Ⅱ) ∵ η=2ξ+2 ∴ 2Eξ+2=34.8 (元) 故所收租車費η的數(shù)學期望為34.8元.   (Ⅲ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5(18-15)=15   所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘 四、課堂練習: 1. 口袋中有5只球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3球

16、,以表示取出球的最大號碼,則( ) A.4;  B.5;  C.4.5;  D.4.75 答案:C 2. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分,罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求 ⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學期望; ⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學期望; ⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學期望. 解:⑴因為,,所以 1×+0× ⑵η的概率分布為 η 0 1 2 P 所以 0×+1×+2×=1.4. ⑶ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P  

17、  所以 0×+1×+2×=2.1. 3.設(shè)有m升水,其中含有大腸桿菌n個.今取水1升進行化驗,設(shè)其中含有大腸桿菌的個數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學期望. 分析:任取1升水,此升水中含一個大腸桿菌的概率是,事件“ξ=k”發(fā)生,即n個大腸桿菌中恰有k個在此升水中,由n次獨立重復實驗中事件A(在此升水中含一個大腸桿菌)恰好發(fā)生k次的概率計算方法可求出P(ξ=k),進而可求Eξ.   解:記事件A:“在所取的1升水中含一個大腸桿菌”,則P(A)=.     ∴ P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1-)n-k(k=0,1,2,….,n).   ∴ ξ~B(n,),故 Eξ

18、 =n×= 五、小結(jié) :(1)離散型隨機變量的期望,反映了隨機變量取值的平均水平; (2)求離散型隨機變量ξ的期望的基本步驟:①理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值;②求ξ取各個值的概率,寫出分布列;③根據(jù)分布列,由期望的定義求出Eξ 公式E(aξ+b)= aEξ+b,以及服從二項分布的隨機變量的期望Eξ=np 六、課后作業(yè):P64-65練習1,2,3,4 P69 A組1,2,3 1.一袋子里裝有大小相同的3個紅球和兩個黃球,從中同時取出2個,則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是 (用數(shù)字作答) 解:令取取黃球個數(shù) (=0、1、2)則的要布列為

19、 0 1 2 p 于是 E()=0×+1×+2×=0.8 故知紅球個數(shù)的數(shù)學期望為1.2 2.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球,從中任取2個球,每取到一個黑球記0分,每取到一個白球記1分,每取到一個紅球記2分,用表示得分數(shù) ①求的概率分布列 ②求的數(shù)學期望 解:①依題意的取值為0、1、2、3、4 =0時,取2黑 p(=0)= =1時,取1黑1白 p(=1)= =2時,取2白或1紅1黑p(=2)= + =3時,取1白1紅,概率p(=3)= =4時,取2紅,概率p(=4)= 0 1

20、2 3 4 p ∴分布列為 (2)期望E=0×+1×+2×+3×+4×= 3.學校新進了三臺投影儀用于多媒體教學,為保證設(shè)備正常工作,事先進行獨立試驗,已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3,求試驗中三臺投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學期望 解:設(shè)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù),Ai表示第i臺儀器出現(xiàn)故障(i=1、2、3) 表示第i臺儀器不出現(xiàn)故障,則: p(=1)=p(A1··)+ p(·A2·)+ p(··A3) =p1(1-p2) (1-p

21、3)+ p2(1-p1) (1-p3)+ p3(1-p1) (1-p2) = p1+ p2+p3-2p1p2-2p2p3-2p3p1+3p1p2p3 p(=2)=p(A1· A2·)+ p(A1··)+ p(·A2·A3) = p1p2 (1-p3)+ p1p3(1-p2)+ p2p3(1-p1) = p1p2+ p1p3+ p2p3-3p1p2p3 p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3 ∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=

22、 p1+p2+p3 注:要充分運用分類討論的思想,分別求出三臺儀器中有一、二、三臺發(fā)生故障的概率后再求期望 4.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球,從中同時取出2個,含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是 1.2 解:從5個球中同時取出2個球,出現(xiàn)紅球的分布列為 0 1 2 P 5. 、兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?,每隊三名隊員,隊隊員是,隊隊員是,按以往多次比賽的統(tǒng)計,對陣隊員之間勝負概率如下: 對陣隊員 A隊隊員勝的概率 B隊隊員勝的概率 A1對B1 A2對B2 A3對B3 現(xiàn)按表中對陣方式出場,每場勝隊得1分,負隊得0分,設(shè)隊,隊最后所得分分別為, (1)求,的概率分布; (2)求, 解:(Ⅰ),的可能取值分別為3,2,1,0 根據(jù)題意知,所以 (Ⅱ); 因為,所以 七、板書設(shè)計(略) 八、教學反思: (1)離散型隨機變量的期望,反映了隨機變量取值的平均水平; (2)求離散型隨機變量ξ的期望的基本步驟: ①理解ξ的意義,寫出ξ可能取的全部值; ②求ξ取各個值的概率,寫出分布列; ③根據(jù)分布列,由期望的定義求出Eξ 公式E(aξ+b)= aEξ+b,以及服從二項分布的隨機變量的期望Eξ=np 。

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