人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第一章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末復(fù)習(xí)課

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1、2019 人教版精品教學(xué)資料高中選修數(shù)學(xué) 章末復(fù)習(xí)課 1 1注意區(qū)分曲注意區(qū)分曲線在點線在點P P處的切線與過點處的切線與過點P P的曲線的切線的曲線的切線 2 2導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則： (1)(1)要注意公式的適用范圍如要注意公式的適用范圍如( (x xn n)nxnxn n1 1中中，n nN N，若若n nQQ 且且n n00，則應(yīng)有則應(yīng)有x x0 0； (2)(2)注意公式不要用混注意公式不要用混，如如( (a ax x)a ax xln ln a a，而不是而不是( (a ax x)xaxax x 1 1. .還要特別注意還要特別注意( (uvu

2、v)u uv v，( (u uv v)u uv v. . 3 3利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意以下幾利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意以下幾個問題：個問題： (1)(1)注意定義域優(yōu)先原則注意定義域優(yōu)先原則，必須在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式必須在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f f(x x) )0(0(或或f f(x x) )0)0)； (2)(2)在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于 0 0 的點外的點外，還要注意函數(shù)的不連還要注意函數(shù)的不連續(xù)點或不可導(dǎo)點；續(xù)點或不可導(dǎo)點； (3)(3)注意在某一區(qū)間內(nèi)注意在某一區(qū)間內(nèi)f f(x x) )0(0(或或f

3、f(x x) )0)0)是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )在該區(qū)間上為增在該區(qū)間上為增( (或減或減) )函數(shù)函數(shù)的充分條件的充分條件 4 4 若若y yf f( (x x) )在在( (a a，b b) )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)，f f( (x x)0)0 或或f f(x x)0)0， 且且y yf f( (x x) )在在( (a a，b b) )內(nèi)內(nèi)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)f f(x x) )0 0 的點僅有有限個的點僅有有限個，則則y yf f( (x x) )在在( (a a，b b) )內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù)內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù) 5 5討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時性時，必須注意分類討論必須注意分類討

4、論 6 6極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系： (1)(1)函數(shù)的極值不一定是最值函數(shù)的極值不一定是最值，需對極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較需對極值和區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，或者考察函數(shù)在或者考察函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性； (2)(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間( (a a，b b) )內(nèi)只有一個極值內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值那么極大值就是最大值，極小值就是最極小值就是最小值；小值； (3)(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點導(dǎo)數(shù)為零可導(dǎo)函數(shù)的極值點導(dǎo)數(shù)為零，但是導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點；但是導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點； (4)(4)極值是一個局部概念極值是一

5、個局部概念，極大值不一定比極小值極大值不一定比極小值大大 7 7導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用： (1)(1)在求實際問題的最大在求實際問題的最大( (小小) )值時值時，一定要注意考慮實際問題的意義一定要注意考慮實際問題的意義，不符合實際意義的不符合實際意義的值應(yīng)舍去；值應(yīng)舍去； (2)(2)在實際問題中在實際問題中，有時會遇到有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f f(x x) )0 0 的情形的情形，如果函數(shù)如果函數(shù)在這點有極大在這點有極大( (小小) )值值，那么不與端點值比較那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大也可以知道這就是最大( (小小) )值值 8 8

6、應(yīng)用定積分求平面圖形的面積時應(yīng)用定積分求平面圖形的面積時，要特別注意面積值應(yīng)為正值要特別注意面積值應(yīng)為正值，故應(yīng)區(qū)分積分值為正故應(yīng)區(qū)分積分值為正和為負的情形和為負的情形 專題一專題一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率，即曲線上某點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線過該點的切線的斜即曲線上某點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線過該點的切線的斜率率. . 與曲線的切線有關(guān)的問題與曲線的切線有關(guān)的問題，主要有兩類：一類是求過某點的切線方程主要有兩類：一類是求過某點的切線方程，該點可能在曲線該點可能在曲線上上，也可能在曲線外；若該點在曲線上也可能在曲線外；若該點在

7、曲線上，也可能是切點也可能是切點，也可能不是切點另一類是已知切也可能不是切點另一類是已知切線方程或切線斜線方程或切線斜率率，求參數(shù)的值求參數(shù)的值 已知曲線已知曲線y y1 13 3x x3 34 43 3. . (1)(1)求曲線在點求曲線在點P P(2(2，4 4) )處的切線方程；處的切線方程； (2)(2)求曲線過點求曲線過點P P(2(2，4 4) )的切線方程；的切線方程； (3)(3)求斜率為求斜率為 4 4 的曲線的切線方程的曲線的切線方程 解：解：(1)(1)因為因為P P(2(2，4 4) )在曲線在曲線y y1 13 3x x3 34 43 3上上，且且y yx x2 2，

8、 所以在點所以在點P P(2(2，4 4) )處的切線的斜率處的切線的斜率k ky y|x x2 24.4. 所以曲線在點所以曲線在點P P(2(2，4 4) )處的切線方程為處的切線方程為y y4 44(4(x x2)2)，即即 4 4x xy y4 40.0. (2)(2)設(shè)曲線設(shè)曲線y y1 13 3x x3 34 43 3與過點與過點P P(2(2，4 4) )的切線相切于點的切線相切于點A A x x0 0，1 13 3x x3 30 04 43 3，則切線的斜率則切線的斜率k ky y|x xx x0 0 x x2 20 0， 所以切線方程為所以切線方程為y y 1 13 3x x

9、3 30 04 43 3x x2 20 0( (x xx x0 0) )， 即即y yx x2 20 0 x x2 23 3x x3 30 04 43 3. . 因為點因為點P P(2(2，4 4) )在切線上在切線上，所以所以 4 42 2x x2 20 02 23 3x x3 30 04 43 3， 即即x x3 30 03 3x x2 20 04 40 0，所以所以x x3 30 0 x x2 20 04 4x x2 20 04 40 0， 所以所以( (x x0 01)(1)(x x0 02)2)2 20 0，解得解得x x0 01 1 或或x x0 02 2， 故所求的切線方程為故所

10、求的切線方程為 4 4x xy y4 40 0 或或x xy y2 20.0. (3)(3)設(shè)切點為設(shè)切點為( (x x1 1，y y1 1) )，則切線的則切線的斜率斜率k kx x2 21 14 4，得得x x0 02.2. 所以切點為所以切點為(2(2，4 4) )， 2 2，4 43 3， 所以切線方程為所以切線方程為y y4 44(4(x x2)2)和和y y4 43 34(4(x x2)2)， 即即 4 4x xy y4 40 0 和和 1212x x3 3y y20200.0. 歸納升華歸納升華 (1) (1) 解決此類問題一定要分清解決此類問題一定要分清“在某點處的切線在某點處

11、的切線”，還是還是“過某點過某點的切線的切線”的問法的問法 (2)(2)解決解決“過某過某點的切線”問題點的切線”問題，一般是設(shè)切點坐標(biāo)為，一般是設(shè)切點坐標(biāo)為P P( (x x0 0，y y0 0) )，然后求其切線斜率然后求其切線斜率k kf f(x x0 0) )，寫出其切線方程而寫出其切線方程而“在某點處的切線在某點處的切線”就是指就是指“某點某點”為切點為切點 (3)(3)曲線與直線相切并不一定只有一個公共點曲線與直線相切并不一定只有一個公共點，當(dāng)曲線是二次曲線時當(dāng)曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲我們知道直線與曲線相切線相切，有且只有一個公共點有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不

12、一定正確這種觀點對一般曲線不一定正確 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )x xa ax xb b( (x x0)0)，其中其中a a，b bR.R.若曲線若曲線y yf f( (x x) )在點在點P P(2(2，f f(2)(2)處的處的切線方程為切線方程為y y3 3x x1 1，則函數(shù)則函數(shù)f f( (x x) )的解析式為的解析式為f f( (x x) )_ 解析：解析：f f(x x) )1 1a ax x2 2. .由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f f(2)(2)3 3，即即 1 1a a4 43 3，所以所以a a8.8.由切由切點點P P(2(2，f f(2)(2)

13、在直線在直線y y3 3x x1 1 上上，得得f f(2)(2)32321 17 7，則則2 2b b7 7，解得解得b b9 9，所以函所以函數(shù)數(shù)f f( (x x) )的解析式為的解析式為f f( (x x) )x x8 8x x9(9(x x0)0) 答案：答案：x x8 8x x9(9(x x0)0) 專題二專題二 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲曲線變化規(guī)律時的一個重要應(yīng)用線變化規(guī)律時的一個重要應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)

14、形結(jié)合思想這類問題要注意的是體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想這類問題要注意的是f f( (x x) )為增函數(shù)為增函數(shù)f f( (x x)0)0 且且f f(x x) )0 0 的根有有限個的根有有限個，f f( (x x) )為減函數(shù)為減函數(shù)f f0 0 且且f f(x x) )0 0 的根有有限的根有有限個個 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點M M(1(1，4 4) )，曲線在點曲線在點M M處的切線恰好與直線處的切線恰好與直線x x9 9y y0 0 垂直垂直 (1)(1)求實數(shù)求實數(shù)a a，b b的值；的值； (2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f f

15、( (x x) )在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞增，求求m m的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)(1)因為因為f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點M M(1(1，4 4) )，所以所以a ab b4 4， f f( (x x) )3 3axax2 22 2bxbx，則則f f(1)(1)3 3a a2 2b b. . 由條件由條件f f(1)(1) 1 19 91 1，即即 3 3a a2 2b b9 9， 由由式解得式解得a a1 1，b b3.3. (2)(2)f f( (x x) )x x3 33 3x x2 2，f f( (x x) )3 3x

16、 x2 26 6x x 令令f f(x x) )3 3x x2 26 6x x00，得得x x00 或或x x2 2， 因為函數(shù)因為函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞增 所以所以 ( (，2)(02)(0，)， 解得解得m m00 或或m m112 2， 所以所以m m00 或或m m3.3. 歸納升華歸納升華 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：般步驟： ( (1)1)確定函數(shù)確定函數(shù)f f( (x x) )的定義域；的定義域； (2)(2)求求f f(x x) )，令令f f(x x) )0 0，求出它們在定義域內(nèi)的一切實數(shù)根；求出它們在定義域內(nèi)的一

17、切實數(shù)根； (3)(3)把函數(shù)把函數(shù)f f( (x x) )的間斷點的間斷點( (即即f f( (x x) )的無定義點的無定義點) )的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)然后用這些點把函數(shù)f f( (x x) )的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間； (4)(4)確定確定f f(x x) )在各個開區(qū)間內(nèi)的符號在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)根據(jù)f f(x x) )的符號判定函數(shù)的符號判定函數(shù)f f( (x x) )在每個相應(yīng)小在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性開區(qū)間內(nèi)的增減性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x

18、x) )x x2 2a aln ln (1(1x x) )有兩個有兩個極值點極值點x x1 1，x x2 2，且且x x1 1x x2 2. .求求a a的取值范圍的取值范圍，并討并討論論f f( (x x) )的單調(diào)性的單調(diào)性 解：由題意知解：由題意知，函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的定義域是的定義域是 x x| |x x11， f f( (x x) )2 2x x2 22 2x xa a1 1x x， 且且f f(x x) )0 0 有兩個不同的根有兩個不同的根x x1 1，x x2 2， 所以方程所以方程 2 2x x2 22 2x xa a0 0 的判別式的判別式4 48 8a a0

19、 0， 即即a a1 12 2，且且x x1 11 1 1 12 2a a2 2，x x2 21 1 1 12 2a a2 2. . 又因為又因為x x1 11 1，所以所以a a0 0，所以所以a a的取值范圍是的取值范圍是 0 0，1 12 2. . 當(dāng)當(dāng)x x變化時變化時，f f( (x x) )與與f f( (x x) )的變化情況如下表所示：的變化情況如下表所示： x x ( (1 1，x x1 1) ) x x1 1 ( (x x1 1，x x2 2) ) x x2 2 ( (x x2 2，) f f(x x) ) 0 0 0 0 f f( (x x) ) 極大值極大值 極小值極小

20、值 所以所以f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (1 1，x x1 1) )和和( (x x2 2，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，在區(qū)間在區(qū)間( (x x1 1，x x2 2) )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 專題三專題三 導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值與最值中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值與最值中的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的極值或最值利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的極值或最值，反之反之，已知函數(shù)的極值或最值也能求出參數(shù)的值或已知函數(shù)的極值或最值也能求出參數(shù)的值或取值范圍該部分內(nèi)容也可能與恒成立問題、函數(shù)零點問題等結(jié)合在一起進行綜合考查取值范圍該部分內(nèi)容也可能與恒成立問題、函數(shù)零點問題等結(jié)合在一起進行綜合考查，是是高考的重點內(nèi)容高考的重

21、點內(nèi)容 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )ln ln x xa a(1(1x x) ) (1)(1)討論討論f f( (x x) )的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)(2)當(dāng)當(dāng)f f( (x x) )有最大值有最大值，且最大值大于且最大值大于 2 2a a2 2 時時，求求a a的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)(1)f f( (x x) )的定義域為的定義域為(0(0，)，f f( (x x) )1 1x xa a. . 若若a a00，則則f f(x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )在在(0(0，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 若若a a0 0，則當(dāng)則當(dāng)x x 0 0，1 1a

22、a時時， f f( (x x) )0 0； 當(dāng)當(dāng)x x 1 1a a， 時，時，f f(x x) )0.0. 所以所以f f( (x x) )在在 0 0，1 1a a上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，在在 1 1a a， 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 (2)(2)由由(1)(1)知知，當(dāng)當(dāng)a a00 時時，f f( (x x) )在在(0(0，)上無最大值；當(dāng)上無最大值；當(dāng)a a0 0 時時，f f( (x x) )在在x x1 1a a處取得處取得最大值最大值，最大值為最大值為f f 1 1a aln ln 1 1a aa a 1 11 1a aln ln a aa a1.1. 因此因此f f 1 1a a2

23、 2a a2 2 等價于等價于 ln ln a aa a1 10.0. 令令g g( (a a) )ln ln a aa a1 1，則則g g( (a a) )在在(0(0，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 又又g g(1)(1)0 0， 于是于是，當(dāng)當(dāng) 0 0a a1 1 時時，g g( (a a) )0 0；當(dāng)；當(dāng)a a1 1 時時，g g( (a a) )0.0. 因此因此，a a的取值范圍是的取值范圍是(0(0，1 1) ) 歸納升華歸納升華 (1)(1)運用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y yf f( (x x) )的極值的步驟：的極值的步驟： 先求函數(shù)的定義域先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)再求

24、函數(shù)y yf f( (x x) )的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f f( (x x) )； 求方程求方程f f(x x) )0 0 的根；的根； 檢查檢查f f(x x) )在方程根的左右的值的符號在方程根的左右的值的符號，如果左正右負如果左正右負，那么那么f f( (x x) )在這個根處取得極在這個根處取得極大值大值，如果左負右正如果左負右正，那么那么f f( (x x) )在這個根處取得極小值在這個根處取得極小值 (2)(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值對函數(shù)極值是極大值還是極小值，可不再作判斷可不再作判斷，只只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得需要直

25、接與端點的函數(shù)值比較即可獲得 (3)(3)當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )x xln ln x x，g g( (x x) )x x3 3axax2 2x x2(2(a aR)R) (1)(1)如果函數(shù)如果函數(shù)g g( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為 1 13 3，1 1 ，求函數(shù)求函數(shù)g g( (x x) )的解析式；的解析式； (2)(2)若不等式若不等式 2 2f f( (x x)g g(x x) )2 2 恒成立恒成立，求實數(shù)求實數(shù)a a的取值范圍的取值

26、范圍 解：解：(1)(1)g g(x x) )3 3x x2 22 2axax1 1 由題意由題意 3 3x x2 22 2axax1 10 0 的解集是的解集是 1 13 3，1 1 ， 即即 3 3x x2 22 2axax1 10 0 的兩根是的兩根是1 13 3和和 1.1. 將將x x1 1 或或1 13 3代入方程代入方程 3 3x x2 22 2axax1 10 0 得得a a1.1. 所以所以g g( (x x) )x x3 3x x2 2x x2.2. (2)2(2)2f f( (x x)g g(x x) )2 2 對對x x(0(0，)恒成立恒成立， 即：即：2 2x xl

27、n ln x x3 3x x2 22 2axax1 1 對對x x(0(0，)恒成立恒成立， 可得可得a aln ln x x3 32 2x x1 12 2x x對對x x(0(0，)恒成立恒成立， 設(shè)設(shè)h h( (x x) )ln ln x x3 3x x2 21 12 2x x，則則h h(x x) )1 1x x3 32 21 12 2x x2 2（x x1 1）（）（3 3x x1 1）2 2x x2 2， 令令h h(x x) )0 0，得得x x1 13 3( (舍舍) )或或x x1 1， 當(dāng)當(dāng) 0 0 x x1 1 時時，h h( (x x) )0 0；當(dāng)；當(dāng)x x1 1 時時

28、，h h( (x x) )0 0， 所以當(dāng)所以當(dāng)x x1 1 時時，h h( (x x) )取得最大值取得最大值，最大值為最大值為2 2， 所以所以a a2.2. 所以實數(shù)所以實數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是 (2015(2015福建卷福建卷) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )ln ln x x（x x1 1）2 22 2. . (1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)(2)證明：當(dāng)證明：當(dāng)x x1 1 時時，f f( (x x) )x x1.1. (1)(1)解：解：f f(x x) )1 1x xx x1 1x x2 2x x1

29、1x x，x x(0(0，) 由由f f(x x) )0 0 得得 x x0 0，x x2 2x x1 10 0，解得解得 0 0 x x1 1 5 52 2. . 故故f f( (x x) )的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 0 0，1 1 5 52 2. . (2)(2)證明：令證明：令F F( (x x) )f f( (x x) )( (x x1)1)，x x(0(0，) 則有則有F F(x x) )1 1x x2 2x x. . 當(dāng)當(dāng)x x(1(1，)時時，F(xiàn) F( (x x) )0 0， 所以所以F F( (x x) )在在 當(dāng)當(dāng)x x 0 0，2 2時時，證明：證明：tan tan

30、 x xx x. . 證明：設(shè)證明：設(shè)f f( (x x) )tantan x xx x，x x 0 0， 2 2. . 則則f f(x x) ) sin sin x xcos cos x x1 1coscos2 2 x xsinsin2 2 x xcoscos2 2 x x1 1sinsin2 2 x xcoscos2 2 x xtantan2 2 x x0 0， 所以所以f f( (x x) )在在 0 0，2 2上是增函數(shù)上是增函數(shù) 又又f f( (x x) )tan tan x xx x在在x x0 0 處可導(dǎo)處可導(dǎo)，且且f f(0)(0)0.0. 所以當(dāng)所以當(dāng)x x 0 0，2 2時

31、時，f f( (x x) )f f(0)(0)恒成立恒成立 所以所以 tan tan x xx x0 0，即即 tan tan x xx x. . 專題五專題五 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 定積分的基本應(yīng)用主要有兩個方面：一個是求坐標(biāo)平面上曲邊梯形的面積定積分的基本應(yīng)用主要有兩個方面：一個是求坐標(biāo)平面上曲邊梯形的面積，另一個是求另一個是求變速運動的路程變速運動的路程( (位移位移) )或變力所做的功或變力所做的功高考中要求較低高考中要求較低，一般只考一個小題一般只考一個小題 已知拋物線已知拋物線y yx x2 22 2x x及直線及直線x x0 0，x xa a，y y0 0 圍成的平面圖形

32、的面積為圍成的平面圖形的面積為4 43 3， 求求a a的值的值 解：作出解：作出y yx x2 22 2x x的圖象如圖所示的圖象如圖所示 (1)(1)當(dāng)當(dāng)a a0 0 時時，S S0 0a a( (x x2 22 2x x) )d dx x 1 13 3x x3 3x x2 2| |0 0a a a a3 33 3a a2 24 43 3，所以所以( (a a1)(1)(a a2)2)2 20 0， 因為因為a a0 0，所以所以a a1.1. (2)(2)當(dāng)當(dāng)a a0 0 時時， 若若 0 0a a22，則則 S Sa a0 0( (x x2 22 2x x) )d dx x 1 13

33、3x x3 3x x2 2| |a a0 0a a2 2a a3 33 34 43 3， 所以所以a a3 33 3a a2 24 40 0， 即即( (a a1)(1)(a a2)2)2 20.0. 因為因為a a0 0，所以所以a a2.2. 當(dāng)當(dāng)a a2 2 時時，不合題意不合題意 綜上綜上a a1 1 或或a a2.2. 歸納升華歸納升華 (1)(1)用微積分基本定理求定積分用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，這就需要利用求導(dǎo)運算這就需要利用求導(dǎo)運算與求原函數(shù)是互逆運算的關(guān)系來求原函與求原函數(shù)是互逆運算的關(guān)系來求原函數(shù)數(shù) (2) (2) 利用

34、利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：畫出圖形定積分求平面圖形的面積的步驟如下：畫出圖形，確定圖形范圍；，確定圖形范圍；解方程解方程組求出圖形交點坐標(biāo)組求出圖形交點坐標(biāo)，確定積分上、下限；，確定積分上、下限；確定被積函數(shù)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；置；計算定積分計算定積分，求出平面圖，求出平面圖形面積形面積 (3)(3)利用定積分求加速度或路程利用定積分求加速度或路程( (位移位移) )， 要先根據(jù)物理知識得出被積函數(shù)要先根據(jù)物理知識得出被積函數(shù)， 再確定時間段再確定時間段，最后用求定積分方法求出結(jié)果最后用求定積分方法求出結(jié)果 (1)(1)若函數(shù)若函

35、數(shù)f f( (x x) )在在 R R 上可導(dǎo)上可導(dǎo)，f f( (x x) )x x3 3x x2 2f f(1)(1)，則則2 20 0f f( (x x)d)dx x _； (2)(2)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中中，直線直線y ya a( (a a0)0)與拋物線與拋物線y yx x2 2所圍成的封閉圖形的面積所圍成的封閉圖形的面積為為8 8 2 23 3，則則a a_ 解析：解析：(1)(1)因為因為f f( (x x) )x x3 3x x2 2f f(1)(1)， 所以所以f f(x x) )3 3x x2 22 2xfxf(x x) )， 所以所以f f(1)(

36、1)3 32 2f f(1)(1)， 所以所以f f(1)(1)3 3， 所以所以2 20 0f f( (x x) )d dx x 1 14 4x x4 41 13 3x x3 3f f（1 1） | |2 20 04.4. (2)(2)由由 y yx x2 2，y ya a可得可得A A( (a a，a a) )，B B( (a a，a a) )， S S ( (a ax x2 2) )d dx x axax1 13 3x x3 3| | 2 2 a a a a1 13 3a a a a4 4a a3 32 23 38 8 2 23 3， 解得解得a a2.2. 答案：答案：(1)(1)4

37、4 (2)2(2)2 專題六專題六 化歸與轉(zhuǎn)化思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 化歸與轉(zhuǎn)化就是在處理問題時化歸與轉(zhuǎn)化就是在處理問題時，把待解決的問題或難解決的問題把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已解決或易解決的問題歸結(jié)為一類已解決或易解決的問題，最終求得問題的解答最終求得問題的解答 設(shè)設(shè)f f( (x x) )e ex x1 1axax2 2，其中其中a a為正實數(shù)為正實數(shù) (1)(1)當(dāng)當(dāng)a a4 43 3時時，求求f f( (x x) )的極值點；的極值點； (2)(2)若若f f( (x x) )為為 R R 上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函

38、數(shù)，求求a a的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)(1)對對f f( (x x) )求導(dǎo)得求導(dǎo)得f f(x x) )e ex x1 1axax2 22 2axax（1 1axax2 2）2 2. . 當(dāng)當(dāng)a a4 43 3時時， 若若f f(x x) )0 0，則則 4 4x x2 28 8x x3 30 0， 解得解得x x1 13 32 2，x x2 21 12 2. . 綜合綜合，可知：可知： x x ，1 12 2 1 12 2 1 12 2，3 32 2 3 32 2 3 32 2， f f( (x x) ) 0 0 0 0 f f( (x x) ) 極大值極大值 極小值極小值 所以

39、所以，x x1 13 32 2是極小值點是極小值點，x x2 21 12 2是極大值點是極大值點 (2)(2)若若f f( (x x) )為為 R R 上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù)， 則則f f(x x) )在在 R R 上不變號上不變號，結(jié)合結(jié)合與條件與條件a a0 0， 知知axax2 22 2axax1010 在在 R R 上恒成立上恒成立， 因此因此4 4a a2 24 4a a4 4a a( (a a1)01)0， 由此并結(jié)合由此并結(jié)合a a0 0，知知 0 0a a1.1. 歸納升華歸納升華 本題中本題中，將將f f( (x x) )為為 R R 上的單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)上的單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)

40、化為其導(dǎo)數(shù)f f( (x x) )0 0 在在 R R 恒成立恒成立，使問題得以解使問題得以解決與函數(shù)相關(guān)的問題中決與函數(shù)相關(guān)的問題中，化歸與轉(zhuǎn)化思想隨處可見化歸與轉(zhuǎn)化思想隨處可見，如如，函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)可轉(zhuǎn)化為函函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上符號不變數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上符號不變，不等式的證明可轉(zhuǎn)化為最值問題等不等式的證明可轉(zhuǎn)化為最值問題等 如果函數(shù)如果函數(shù)f f( (x x) )2 2x x2 2ln ln x x在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間( (k k1 1，k k1)1)上不是單調(diào)函數(shù)上不是單調(diào)函數(shù)，則則實實數(shù)數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：顯然

41、函數(shù)解析：顯然函數(shù)f f( (x x) )的定義域為的定義域為(0(0，)，y y 4 4x x1 1x x4 4x x2 21 1x x. . 由由y y0 0，得函數(shù)得函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 1 12 2， ； 由由y y0 0，得函數(shù)得函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 0，1 12 2， 由于函數(shù)在區(qū)間由于函數(shù)在區(qū)間( (k k1 1，k k1)1)上不是上不是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)， 所以所以 k k1 11 12 2k k1 1，k k1010， 解得解得 11k k3 32 2. . 答案：答案： 1 1，3 32 2