《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)突破熱點題型》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第七章 ：第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)突破熱點題型（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
高頻考點[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
考點一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
1．直線與平面垂直的判定與性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的考查常有以下幾個命題角度：
(1)同真假命題的判斷相結(jié)合考查；
(2)以多面體為載體，證明線面垂直問題；
(3)以多面體為載體，考查與線面垂直有關(guān)的探索性問題．
[例1] (1)(2013浙江高考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面( )
A．
2、若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若m∥n，m⊥α，則n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β[來源:]
(2)(2013廣東高考)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐ABCF，其中BC＝.
①證明：DE∥平面BCF；
②證明：CF⊥平面ABF；
③當(dāng)AD＝時，求三棱錐FDEG的體積VFDEG.
[自主解答] (1)設(shè)直線a?α，b?α，a∩b＝A，
∵m⊥α，∴m⊥a，m⊥b.
又n∥m，∴n⊥a，n⊥b，
∴
3、n⊥α.
(2)①證明：在等邊三角形ABC中，AB＝AC.
∵AD＝AE，∴＝，∴DE∥BC，
∴DG∥BF，又BF?平面BCF，DG?平面BCF，
∴DG∥平面BCF.
同理可證GE∥平面BCF.
∵DG∩GE＝G，
∴平面GDE∥平面BCF，
又DE?平面GDE，
∴DE∥平面BCF.
②證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，
∴AF⊥CF，
∴BF＝FC＝BC＝.
在圖2中，∵BC＝，∴BC2＝BF2＋FC2，
∴∠BFC＝90，
∴CF⊥BF.
∵BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，
∴CF⊥平面ABF.
③∵AD＝，∴BD＝，
4、AD∶DB＝2∶1，
在圖2中，AF⊥FC，AF⊥BF，又BF∩FC＝F，∴AF⊥平面BCF，
由①知平面GDE∥平面BCF，∴AF⊥平面GDE.
在等邊三角形ABC中，AF＝AB＝，
∴FG＝AF＝，DG＝BF＝＝＝GE，
∴S△DGE＝DGEG＝，
∴VFDGE＝S△DGEFG＝.
[答案] (1)C
線面垂直問題的常見類型及解題策略
(1)與命題真假判斷有關(guān)的問題．解決此類問題的方法是結(jié)合圖形進(jìn)行推理，或者依據(jù)條件舉出反例否定．
(2)線面垂直的證明．證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面
5、垂直的基本思想．
(3)線面垂直的探索性問題．此類問題的解決方法同“線面平行的探索性問題”的求解方法(見本章第四節(jié)的[通關(guān)錦囊])．
如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2所示．
(1)求證：DE∥平面A1CB；
(2)求證：A1F⊥BE；
(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．[來源:]
解：(1)證明：因為D，E分別為AC，AB的中點，
所以DE∥BC.
又因為DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
所以DE∥平面A1
6、CB.
(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
又A1D∩CD＝D，A1D?平面A1DC，CD?平面A1DC，
所以DE⊥平面A1DC.
因為A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因為A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD?平面BCDE，DE?平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，
又BE?平面BCDE，
所以A1F⊥BE.
(3)線段A1B上存在點Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如圖所示，分別取A1C，A1B的中點P，Q，則PQ∥BC.
又因為DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即
7、為平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點，
所以A1C⊥DP.
又DP∩DE＝D，DP?平面DEP，DE?平面DEP，
所以A1C⊥平面DEP.
從而A1C⊥平面DEQ.
故線段A1B上存在點Q，使得A1C⊥平面DEQ.
考點二
面面垂直的判定與性質(zhì)
[例2] (2014濟(jì)南模擬)
如圖，四棱錐PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：
(1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面E
8、MN.
[自主解答] (1)法一：
取PA的中點H，連接EH，DH.
因為E為PB的中點，
所以EH∥AB，EH＝AB.
又AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四邊形DCEH是平行四邊形．
所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
法二：連接CF.
因為F為AB的中點，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，
所以AF＝CD.
又AF∥CD，
所以四邊形AFCD為平行四邊形．
因此CF∥AD.
又CF?平面PAD，AD?平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中
9、點，
所以EF∥PA.
又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因為CF∩EF＝F，
故平面CEF∥平面PAD.
又CE?平面CEF，
所以CE∥平面PAD.
(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，
所以EF∥PA.
又AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可證AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，
因此AB⊥平面EFG.
又M，N分別為PD，PC的中點，
所以MN∥CD.
又AB∥CD，
所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又MN?平面EMN，
所以平面EFG⊥平面EMN.
【互動探究】
在
10、本例條件下，證明：平面EMN⊥平面PAC.
證明：因為AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，
所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN?平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
【方法規(guī)律】
面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧
(1)兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．
(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面，此性質(zhì)是在課本習(xí)題中出現(xiàn)的，在不是很復(fù)雜的題目中，要對此進(jìn)行證明．
11、
如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中， 側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點．求證：
(1)EF∥平面A1CD；
(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.
證明：(1)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，
AC∥A1C1，且AC＝A1C1，連接ED，
在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，
所以DE＝AC，且DE∥AC.
又F為A1C1的中點，所以A1F＝A1C＝AC，且A1F∥A1C1∥AC，所以A1F＝DE，且A1F∥DE，
即四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EF∥DA1.
又EF?平面A1CD，DA1?
12、平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.
(2)由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點，[來源:
故CD⊥AB，又側(cè)棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，
所以AA1⊥CD，
又AA1∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，
而CD?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
考點三
垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
[例3] 如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
(1)證明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝，F(xiàn)C＝1，求三棱錐EBCF的
13、體積；
(3)證明：EF⊥平面PAB.
[自主解答] (1)證明：由于AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，故AB⊥PH.
又∵PH為△PAD中AD邊上的高，∴AD⊥PH.
∵AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PH⊥平面ABCD.
(2)由于PH⊥平面ABCD，E為PB的中點，PH＝1，故E到平面ABCD的距離h＝PH＝.
又∵AB∥CD，AB⊥AD，∴AD⊥CD，
故S△BCF＝FCAD＝1＝.
因此VEBCF＝S△BCFh＝＝.
(3)證明：
過E作EG∥AB交PA于G，連接DG.
由于E為PB的中點，所以G為PA的中點．
∵AD＝PD
14、，
∴DG⊥PA.
∵AB⊥平面PAD，DG?平面PAD，
∴AB⊥DG.
又∵AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴DG⊥平面PAB.
又∵GE∥AB，GE=AB，DF∥AB，DF=AB
∴GE∥DF. GE=DF.
∴四邊形DFEG為平行四邊形，故DG∥EF.
∴EF⊥平面PAB.
【方法規(guī)律】
垂直關(guān)系綜合題的類型及解法
(1)三種垂直的綜合問題．一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．
(2)垂直與平行結(jié)合問題．求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用．
(3)垂直與體積結(jié)合問題．在求體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)
15、而求得體積．
如圖所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱)，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．求證：
(1)B1C∥平面A1BD；
(2)B1C1⊥平面ABB1A1.
證明：
(1)如圖所示，連接AB1，交A1B于點O，
則O為AB1的中點．連接OD，
∵D為AC的中點，
∴在△ACB1中，有OD∥B1C.
又∵OD?平面A1BD，B1C?平面A1BD.
∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵AB＝B1B，三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，
∴四邊形ABB1A1為正方形．
∴A1B⊥AB1.
又∵AC1⊥
16、平面A1BD，A1B?平面A1BD，
∴AC1⊥A1B.
又∵AC1?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，
∴A1B⊥平面AB1C1.
又∵B1C1?平面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1.
又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，
∴A1A⊥B1C1.
又∵A1A?平面ABB1A1，A1B?平面ABB1A1，A1A∩A1B＝A1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
考點四
線面角、二面角的求法
[例4]
(2014杭州模擬)在幾何體中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，CC1∥AA1，AB＝BC＝AA1＝2，
17、CC1＝1，D，E分別是AB，AA1的中點．
(1)求證：BC1∥平面CDE；
(2)求二面角EDCA的平面角的正切值．
[自主解答]
(1)證明：連接AC1交EC于點F，連接EC1，由題意知四邊形ACC1E是矩形，則F是AC1的中點，連接DF，
∵D是AB的中點，
∴DF是△ABC1的中位線，
∴BC1∥DF，
∵BC1?平面CDE，DF?平面CDE，
∴BC1∥平面CDE.
(2)過點A作AH⊥直線CD，垂足為H，連接HE，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD，
又AH∩AA1＝A，AH，AA1?平面AHE，
∴CD⊥平面AHE，
∴CD⊥EH，
∴
18、∠AHE是二面角EDCA的平面角．
∵D是AB的中點，
∴AH等于點B到CD的距離，
在△BCD中，求得點B到CD的距離為，則AH＝.
在△AEH中，tan ∠AHE＝＝，
即所求二面角的正切值為.
【方法規(guī)律】
1．求斜線與平面所成的角的步驟
(1)作圖：作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角)，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足(有時可以是兩垂足)作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算．
(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．
(3)計算：通常在垂線段
19、、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．
2．求二面角的步驟
(1)作出二面角的平面角；
(2)證明該角就是二面角的平面角；
(3)計算該角的大?。?
以上3步簡記為作、證、算．
3．作二面角平面角的方法
法一：(定義法)在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．
如圖①，∠AOB為二面角αaβ的平面角．
法二：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．
如圖②，∠AOB為二面角αlβ的平面角．
法三：(垂線法)過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面
20、垂直可找到二面角的平面角或其補角．
如圖③，∠AFE為二面角ABCD的平面角．
(2012廣東高考)如圖所示，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)證明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B PCA的正切值．
解：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可證得PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，PA、PC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
(2)如圖，設(shè)BD與AC交于點O，連接OE.
∵PC⊥平面BDE，BE、OE?平面B
21、DE，
∴PC⊥BE，PC⊥OE.
∴∠BEO即為二面角BPCA的平面角．
由(1)知BD⊥平面PAC.
又∵OE、AC?平面PAC，
∴BD⊥OE，BD⊥AC.
故矩形ABCD為正方形，
∴BD＝AC＝2，
BO＝BD＝.
由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PA⊥BC.
又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
而PB?平面PAB，∴BC⊥PB.
在Rt△PAB中，PB＝＝，
在Rt△PAC中，PC＝＝3，
在Rt△PBC中，由PBBC＝PCBE，得BE＝.
在Rt△BOE中，OE＝＝.
∴tan ∠B
22、EO＝＝3，
即二面角BPCA的正切值為3.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個轉(zhuǎn)化——三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
3種方法——三種垂直關(guān)系的證明[來源:]
(1)判定線線垂直的方法
①定義：兩條直線所成的角為90；
②平面幾何中證明線線垂直的方法；
③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；
④線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.
(2)判定線面垂直的常用方法
①利用線面垂直的判定定理；
②利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”；
③利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直”；
④利用面面垂直的性質(zhì)．
(3)判定面面垂直的方法
①利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
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