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第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
考點一
平面向量基本定理的應(yīng)用
[例1] 在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.
[自主解答] 選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝
＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝＋，
于是得即故λ＋μ＝.
[答案]
【互動探究】
在本例條件下，若＝c，＝d，試用c，d表示，.
解：設(shè)＝a，＝b，因為E，F(xiàn)分別為CD和BC的中點，所以＝b，＝a，于是有：
解得
即＝(2d－c)＝d－c，
＝(2c－d)＝c－d
2、.
【方法規(guī)律】[來源:]
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．
如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.
解析：因為AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝BC.因為點M為AH的中點，所以＝＝(＋)＝＝＋，即λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案：
考點二
平面向量的坐標(biāo)運算
3、
[例2] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求：
(1)3a＋b－3c；
(2)滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；
(3)M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．
[自主解答] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c[來源:]
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0
4、,20)，
∴M的坐標(biāo)為(0,20)．
又＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N的坐標(biāo)為(9,2)．
故＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
【方法規(guī)律】
平面向量坐標(biāo)運算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．
(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用．
已知平行四邊形的三個頂點分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3，4)，求第四個頂點D的坐標(biāo)．
解：設(shè)頂點D(x，y)．若
5、平行四邊形為ABCD.
則由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)，
得所以
若平行四邊形為ACBD，則由＝(－7,2)，＝(5－x，7－y)，得所以
若平行四邊形為ABDC，則由＝(1,5)，＝(x＋3，y－4)，
得所以
綜上所述，第四個頂點D的坐標(biāo)為(－4，－1)或(12,5)或(－2,9).
高頻考點
考點三平面向量共線的坐標(biāo)表示
1．平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題．
2．高考對平面向量共線的坐標(biāo)表示的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)利用兩向量共線求參數(shù)；
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐
6、標(biāo)；
(3)三點共線問題．
[例3] (1)(2013陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于( )
A．－ B.
C．－或 D．0
(2)(2011湖南高考)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________．
(3)(2014東營模擬)若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值等于________．
[自主解答] (1)因為a∥b，所以m2＝2，解得m＝－或m＝.
(2)∵a與b方向相反，∴可設(shè)a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2，
7、1)＝(2λ，λ)．由|a|＝＝2，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，
故a＝(－4，－2)．[來源:]
(3) ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
[答案] (1)C (2)(－4，－2) (3)
平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略
(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所
8、求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．
1．(2013遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為( )
A. B.
C. D.
解析：選A ∵A(1,3)，B(4，－1)，
∴＝(3，－4)，又∵| |＝5，
∴與同向的單位向量為＝.
2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.
解析：由題意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝
9、(－1,2)，
由(a＋b)∥c，得(－3)(－1)－(m－1)2＝0，
即2(m－1)＝3，故m＝.
答案：
3．已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為________．
解析：法一：由O，P，B三點共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)6－4λ(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以P點的坐標(biāo)為(3,3)．
法二：設(shè)點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng).
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，
所以(x－4
10、)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，[來源:]
所以P點的坐標(biāo)為(3,3)．
答案：(3,3)
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個區(qū)別——向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的區(qū)別
在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為起點的向量＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式
(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
3個注意點——解決平面向量共線問題應(yīng)注意的問題
(1)注意0的方向是任意的；[來源:]
(2)若a、b為非零向量，當(dāng)a∥b時，a，b的夾角為0或180，求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯；
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.
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