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第七節(jié) 拋 物 線
【考綱下載】
1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(范圍、對稱性、頂點、離心率等)．
2．了解圓錐曲線的簡單應用．了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．
3．理解數(shù)形結合思想．
1．拋物線的定義
滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：
(1)在平面內；
(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等；
(3)定點不在定直線上．
2．拋物線的標準方程和幾何性質
標準
方程
y2＝2px
(p＞0)[來源:][來源:]
y2＝－2px
2、
(p＞0)[來源:]
x2＝2py
(p>0)[來源:][來源:]
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
F
F
F
F
離心率
e＝1
準線
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
開口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
|PF|＝
y0＋
3、|PF|＝
－y0＋
1．當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？
提示：當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過定點F且與直線l垂直的直線．
2．拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點M(x0，y0)到焦點F的距離與點M的橫坐標x0有何關系？若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，結果如何？
提示：由拋物線定義得|MF|＝x0＋；若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，則|MF|＝y(tǒng)0＋.
1．設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x
4、 D．y2＝4x
解析：選C 由拋物線準線方程為x＝－2知p＝4，且開口向右，故拋物線方程為y2＝8x.
2．拋物線y2＝4x的焦點F到準線l的距離為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B 因為拋物線y2＝4x，所以2p＝4，而焦點F到準線l的距離為p＝2.
3．拋物線y＝2x2的焦點坐標為( )
A. B．(1,0) C. D.
解析：選C 將拋物線y＝2x2化成標準方程為x2＝y(tǒng)，所以2p＝，＝，而拋物線x2＝y(tǒng)的焦點在y軸的非負半軸上，所以焦點坐標為.
4．拋物線的焦點為橢圓
5、＋＝1的左焦點，頂點為橢圓中心，則拋物線方程為________________．
解析：由c2＝9－4＝5，得F(－，0)，
則拋物線方程為y2＝－4x.
答案：y2＝－4x
5．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．
解析：F，則B，
∴2p×＝1，解得p＝.
∴B，
因此B到該拋物線的準線的距離為＋＝.
答案：
前沿熱點(十二)
與拋物線有關的交匯問題
1．拋物線是一種重要的圓錐曲線，在高考中，經常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考查拋物線的
6、方程及幾何性質，直線與拋物線的綜合應用，點到直線的距離等．
2．直線與拋物線的綜合問題，經常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x(或y)，利用方程的根與系數(shù)的關系求解，但一定要注意直線與拋物線相交的條件．
[典例] (2013·浙江高考) 已知拋物線C的頂點為O(0，0)，焦點為F(0,1)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點F作直線交拋物線C于A，B兩點．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點，求|MN|的最小值．
[解題指導] (1)由拋物線的頂點、焦點即可判斷拋物線的形狀、大小，從而可求拋物線方程．
(2)直線AB與拋物線相交，可得出A，
7、B兩點坐標之間的關系，再由AO、BO與直線l交于M，N兩點，可求出|MN|的表達式，用k來表示，利用函數(shù)即可求最值．
[解] (1)由題意可設拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則＝1，p＝2，
所以拋物線C的方程為x2＝4y.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
從而|x1－x2|＝4.
由
解得點M的橫坐標xM＝＝＝.
同理點N的橫坐標xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|
＝
＝8
＝.
令4k－3＝t，t≠0，則k＝.
當t&g
8、t;0時，
|MN|＝2 >2；
當t<0時，
|MN|＝2 ≥ .
綜上所述，當t＝－，即k＝－時，|MN|的最小值是 .
[名師點評] 解答本題的關鍵有以下幾點：
(1)由頂點O(0,0)，焦點F(0,1)確定拋物線的開口方向及P的值；
(2)|MN|的表達式中，注意x1＋x2，x1x2及|x1－x2|的值；
(3)注意4k－3＝t的換元，使問題簡單．
(2014·湖州模擬)已知拋物線C：y2＝2px的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不
9、同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．
解：(1)由題意知交點坐標為(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x.
(2)∵l1：y＝－x，又直線l2與l1垂直，
所以可設l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸交點為M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
由韋達定理，y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.
由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，
∴l(xiāng)2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)，
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.
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高考數(shù)學復習：第八章 ：第七節(jié)拋物線回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
