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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
第6講 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題
例7 已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為－1，離心率為e＝.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(diǎn)(1,0)作直線l交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個定點(diǎn)M，使·為定值？若存在，求出這個定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
審題破題 (1)利用待定系數(shù)法求E的方程；(2)探求定點(diǎn)可以先根據(jù)特殊情況找出點(diǎn)，再對一般情況進(jìn)行證明．
解 (1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，
2、由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1.所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0)，
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.
①當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，
由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝－，
所以·＝
3、－m·＋m2－
＝.
因?yàn)閷τ谌我獾膋值，·為定值，
所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.
所以M，此時，·＝－.
②當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，
則x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，
由m＝，得·＝－.
綜上，符合條件的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為.
構(gòu)建答題模板
第一步：引進(jìn)參數(shù).從目標(biāo)對應(yīng)的關(guān)系式出發(fā)，引進(jìn)相關(guān)參數(shù).一般地，引進(jìn)的參數(shù)是直線的夾角、直線的斜率或直線的截距等；
第二步：列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表達(dá)出對應(yīng)的動態(tài)直線或曲線方程；
第三步：探求直線過定點(diǎn).若是動態(tài)的直線方程，將動態(tài)的直線
4、方程轉(zhuǎn)化成y－y0＝k(x－x0)的形式，則k∈R時直線恒過定點(diǎn)(x0，y0)；若是動態(tài)的曲線方程，將動態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，則λ∈R時曲線恒過的定點(diǎn)即是f(x，y)＝0與g(x，y)＝0的交點(diǎn)；,第四步：下結(jié)論；
第五步：回顧反思.在解決圓錐曲線問題中的定點(diǎn)、定值問題時，引進(jìn)參數(shù)的目的是以這個參數(shù)為中介，通過證明目標(biāo)關(guān)系式與參數(shù)無關(guān)，達(dá)到解決問題的目的.
對點(diǎn)訓(xùn)練7 已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M(4,0)．
(1)若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；
(2)設(shè)A，B為拋物線上的兩點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線
5、恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．
(1)解 由已知得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，
因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以＝，
解得k＝±，所以直線l的斜率為±.
(2)證明 設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€AB不與x軸垂直，所以AB斜率存在，
所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，
直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)，
聯(lián)立方程得
消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因?yàn)镹為線段AB的中點(diǎn)，所以＝y(tǒng)0，
即＝y(tǒng)0，
所以x0＝2.即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.
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