高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合素材 新人教A版選修45

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1、 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 單元整合 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專題探究 專題一　正確使用數(shù)學(xué)歸納法 同學(xué)們在剛開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，常常會(huì)遇到兩個(gè)困難，一是數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)不容易理解，二是歸納步驟的證明有時(shí)感到難以入手．本專題將對兩種常見的錯(cuò)誤進(jìn)行討論、整理，以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，弄清它的實(shí)質(zhì)，從而明確如何正確地使用數(shù)學(xué)歸納法． (1)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第二步． 有人覺得如果一個(gè)命題對于開頭的一些自然數(shù)都成立，那么由P(k)成立導(dǎo)出P(k＋1)成立是必然的，因此第二步歸納步驟是流于形式，證與不證似乎一樣，顯然這是不正確的．產(chǎn)生這種錯(cuò)誤想法的原因在于沒有認(rèn)識(shí)到歸納步驟

2、所起的遞推作用，如果沒有遞推性，那么一個(gè)命題可能對于開頭的許多自然數(shù)都成立，但是一般的并不成立，我們舉幾個(gè)例子來看看． 十七世紀(jì)法國卓越的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪考查了形如的數(shù)，n＝0,1,2,3,4時(shí)，它的值分別為3,5,17,257,65 537.這5個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)．因此費(fèi)爾瑪就猜想：對于任意的自然數(shù)n，式子22n＋1的值都是質(zhì)數(shù)．但是在十八世紀(jì)另一位卓越的數(shù)學(xué)家歐拉指出n＝5時(shí)， ＝4 294 967 297＝6416 700 417. 是個(gè)合數(shù)，費(fèi)爾瑪?shù)牟孪脲e(cuò)了． 這就充分說明我們不能把不完全歸納法當(dāng)成證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)第二步不可缺少． (2)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第一步． 也有人覺得既

3、然第二步歸納步驟中有遞推作用，而且k又可以任意取值，這樣就夠了，有沒有第一步P(1)無關(guān)緊要．這種認(rèn)識(shí)也是錯(cuò)誤的，它忽視了第一步的奠基作用，因?yàn)槿绻麤]有P(1)成立，歸納假設(shè)P(k)成立就沒有了依據(jù)，因此遞推性也就成了無源之水，無本之木，下面我們看一個(gè)這樣的例子． 【例】如果不要奠基步驟，我們就可以證明(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶數(shù)(n∈N＋)． 剖析：假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即(k＋1)2＋(k＋2)2是偶數(shù)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)， [(k＋1)＋1]2＋[(k＋1)＋2]2＝(k＋2)2＋(k＋1)2＋4(k＋1)＋4＝(k＋1)2＋(k＋2)2＋4(k＋2)． 由假設(shè)(k＋1)2＋

4、(k＋2)2是偶數(shù)，又4(k＋2)也是偶數(shù)，所以上式是偶數(shù)，這就是說n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由此，對于任意的正整數(shù)n，(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶數(shù)． 這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟，實(shí)際上，n＝1時(shí)，(1＋1)2＋(1＋2)2＝4＋9＝13不是偶數(shù)，這說明使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)缺第一步不可． 用數(shù)學(xué)歸納法證明，對于n∈N＋，＋＋＋…＋＝. 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝， 所以等式成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即 ＋＋＋…＋＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋＋…＋＋ ＝＋＝. 由(1)(2)可知，對于任意的n∈N＋，所證等式都成立．

5、 專題二　數(shù)學(xué)歸納法證題的幾種技巧 在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，一般說來，第一步驗(yàn)證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜．因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問題，歸納假設(shè)“P(k)”是問題的條件，而命題P(k＋1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下面簡要分析一些常用技巧． 1．分析綜合法 用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“P(k)”到“P(k＋1)”，常?？捎梅治鼍C合法． 求證：對任意正整數(shù)n，有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2成立． 提示：這是一個(gè)等式證明問題，它涉及

6、全體正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明．用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式，關(guān)鍵是第二步要用上假設(shè)，證明n＝k＋1時(shí)，原等式成立． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，左邊＝右邊，所以原等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3 ＝(1＋2＋…＋k)2＋(k＋1)3 ＝2＋(k＋1)3＝2[k2＋4(k＋1)] ＝2＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原等式也成立． 綜合(1)(2)可知，對任何n∈N＋，原等式都成立． 設(shè)a，b為正數(shù)，n∈N＋，求證：

7、≥n. 提示：這是一個(gè)不等式證明問題，它涉及全體正整數(shù)n，用數(shù)學(xué)歸納法證明． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，≥，顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，不等式成立， 即≥k.則n＝k＋1時(shí)，要證明不等式成立，即證明≥k＋1. 在≥k的兩邊同時(shí)乘以，得 ≥k＋1. 要證明≥k＋1，只需證明 ≥. 因?yàn)椤? 2(ak＋1＋bk＋1)≥(a＋b)(ak＋bk) 2(ak＋1＋bk＋1)－(ak＋1＋abk＋bak＋bk＋1)≥0 ak＋1－abk－bak＋bk＋1≥0 (a－b)(ak－bk)≥0. 又a－b與(ak－bk)同正負(fù)(或同時(shí)為0)，所以最后一個(gè)不等式顯

8、然成立，這就證明了當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 綜合(1)(2)可知，對任何n∈N＋，不等式≥n成立． 2．放縮法 涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“k”過渡到“k＋1”，有時(shí)也考慮用放縮法． 求證：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 提示：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮、湊假設(shè)、湊結(jié)論．但要注意從n＝k變化到n＝k＋1時(shí)增加了多少項(xiàng)，減少了多少項(xiàng)，一般用f(k＋1)－f(k)研究增加或減少的項(xiàng)的多少． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝，左邊＞右邊， ∴不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋

9、＞＋2k－1＝. ∴n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 由(1)(2)可知：1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)． 3．遞推法 用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，有時(shí)要利用an與an＋1的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從“k”到“k＋1”的過渡． 設(shè)0＜a＜1，定義a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求證：對一切正整數(shù)n，有1＜an＜. 提示：數(shù)列類問題用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，一般先用遞推公式，后用歸納假設(shè)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＞1，a1＝1＋a＜，顯然命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，命題成立，即1＜ak＜. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由遞推公式，知 ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1. 同時(shí)，a

10、k＋1＝＋a＜1＋a＝＜， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立，即1＜ak＋1＜. 綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，有1＜an＜. 4．拼湊法 用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題(尤其是整除)時(shí)，從“k”過渡到“k＋1”常用拼湊法． 對于任意正整數(shù)n，求證：an－bn能被a－b整除(對于多項(xiàng)式A，B，如果存在多項(xiàng)式C，使得A＝BC，那么稱A能被B整除)． 提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清n由k到k＋1時(shí)，問題的變化情況，創(chuàng)造條件一定要用上歸納假設(shè)． 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，an－bn＝a－b能被a－b整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，ak－bk能被a－b

11、整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因?yàn)?a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．這也就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1能被a－b整除． 根據(jù)(1)(2)，由數(shù)學(xué)歸納法知對一切正整數(shù)n，an－bn都能被a－b整除． 5．幾何法 “幾何類”命題的證題關(guān)鍵是先要從證n＝k＋1時(shí)命題成立的結(jié)論中，分解出n＝k時(shí)命題成立的部分，然后去證余下的部分． 在同一平面內(nèi)有n條直線，每兩條不平行，任意三條不共點(diǎn)，求證：它們將此平面分成個(gè)部分(n∈N＋)． 提

12、示：利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出由n＝k到n＝k＋1時(shí)所增加的項(xiàng)． 證明：設(shè)f(n)＝. (1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線將平面分成兩部分，f(1)＝2，故命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，k條直線將平面分成個(gè)部分． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，第(k＋1)條直線與前k條直線交于k個(gè)點(diǎn)，使平面增加(k＋1)個(gè)部分，即將平面分成＋k＋1＝個(gè)部分，所以n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)得原命題成立． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375