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1、
平均不等式
一、引入：
1．定理1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
證明：
指出定理適用范圍：
強(qiáng)調(diào)取“=”的條件。
2．定理2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
證明：∵ ∴
即： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
注意：（1）這個(gè)定理適用的范圍：；
（2）語(yǔ)言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
3．定理3：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
證明：∵
∵ ∴上式≥0 從而
指出：這里 ∵就不能保證。
推論：如果，那么。（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
證明：
4．算術(shù)—幾何平均不等式：
2、①如果 則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)；
②基本不等式： ≥（）
這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明（這里從略）
語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
③的幾何解釋?zhuān)?
以為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過(guò)C作弦DD’^AB 則，
從而，而半徑。
二、典型例題：
例1 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：。
證：∵
以上三式相加：
∴
例2 設(shè)為正數(shù)，求證：。
例3 設(shè)，，，…，為正數(shù)，證明：。
例4 若，設(shè)
求證：
加權(quán)平均；算術(shù)平均；幾何平均；調(diào)和平均
證：∵
∴即：（俗稱(chēng)冪平均不等式）
由平均不等式
即：
綜上所述：
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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